Мерзляк 5 класс — § 15. Прямоугольник. Ось симметрии фигуры

Вопросы к параграфу

1. Какой четырёхугольник называют прямоугольником?

Прямоугольник — это четырёхугольник, у которого все углы прямые.

2. Какие стороны прямоугольника называют соседними? Противолежащими? 

  • соседние стороны прямоугольника — это стороны, которые имеют общую вершину
  • противолежащие стороны прямоугольника — это стороны, которые не имеют общих вершин

3. Что называют длиной и шириной прямоугольника?

Длиной и шириной прямоугольника называют соседние стороны прямоугольника.

4. Каким свойством обладают противолежащие стороны прямоугольника?

Противолежащие стороны прямоугольника равны.

5. Какую фигуру называют квадратом?

Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны.

6. Объясните, какие фигуры называют симметричными относительно прямой.

Фигуру называют симметричной, относительно прямой, если при сгибе по этой прямой противоположные части фигуры совпадают друг с другом.

7. Как называют прямую, относительно которой симметрична фигура?

Ось симметрии.

8. Какие вы знаете фигуры, имеющие ось симметрии?

Круг, равнобедренный и равносторонний треугольник, квадрат, прямоугольник.

9. Сколько осей симметрии имеет прямоугольник, отличный от квадрата? Квадрат? Равносторонний треугольник?

  • Прямоугольник, отличный от квадрата, имеет 2 оси симметрии.
  • Квадрат имеет 4 оси симметрии.
  • Равносторонний треугольник имеет 3 оси симметрии.

Решаем устно

1. Каждая сторона треугольника равна 12 см. Как называют такой треугольник? Чему равен его периметр?

Такой треугольник называют равносторонним. Его периметр равен P = 3a = 3 • 12 = 36 см.

Ответ: равносторонний, 36 см.

2. Периметр равнобедренного треугольника равен 32 см, а одна из его сторон — 12 см. Найдите длины двух других сторон треугольника. Сколько решений имеет задача?

Задача может иметь 2 решения.

Решение 1.

Пусть 12 см — это длина основания равнобедренного треугольника. Тогда, при периметре 32 см, боковые стороны этого треугольника будут равны:

(32 — 12) : 2 = 20 : 2 = 10 (см) — длина каждой из боковых сторон треугольника.

Ответ: двумя другими сторонами будут две боковые стороны: 10 см и 10 см.

Решение 2:

Пусть 12 см — это длина одной из боковых сторон равнобедренного треугольника. Тогда вторая боковая сторона этого треугольника также равна 12 см, а основание, при периметре треугольника 32 см, будет равно:

32 — 12 • 2 = 32 — 24 = 8 (см) — длина основания треугольника.

Ответ: двумя другими сторонами будут: основание — 8 см и вторая боковая сторона — 12 см.

3. Найдите сторону равностороннего треугольника, если она меньше его периметра на 10 см.

У равностороннего треугольника все три стороны равны, а периметр — это сумма все сторон треугольника.

Если одна сторона равностороннего треугольника меньше периметра на 10 см, значит сумма двух оставшихся сторон равна 10 см.

10 : 2 = 5 (см) — длина стороны равностороннего треугольника.

Ответ: 5 см.

4. Вычислите значение у по формуле у = х • х + 12, если:

1) х = 1

у = 1 • 1 + 12 = 1 + 12 = 13

Ответ: у = 13

2) х= 10

у = 10 • 10 + 12 = 100 + 12 = 112

Ответ: у = 112

Упражнения

359. Постройте:

1) прямоугольник, соседние стороны которого равны 4 см и 2 см

Мерзляк 5 класс - § 15. Прямоугольник. Ось симметрии фигуры

AB = DC = 4 см

AD = BC = 2 см

2) квадрат со стороной 3 см

Мерзляк 5 класс - § 15. Прямоугольник. Ось симметрии фигуры

AB = BC = CD = DA = 3 см

360. Постройте прямоугольник, соседние стороны которого равны 25 мм и 35 мм.

Мерзляк 5 класс - § 15. Прямоугольник. Ось симметрии фигуры

AB = DC = 35 мм

AD = BC = 5 мм

361. Вычислите периметр:

1) прямоугольника, соседние стороны которого равны 42 см и 23 см

P = 2a + 2b = 2 • 42 + 2 • 23 = 84 + 46 = 130 (см)

Ответ: P = 130 см.

2) квадрата со стороной 8 дм

P = 4a = 4 • 8 = 32 (дм)

Ответ: P = 32 дм.

362. Найдите периметр прямоугольника, соседние стороны которого равны 13 мм и 17 мм.

P = 2a + 2b = 2 • 13 + 2 • 17 = 26 + 34 = 60 (мм)

60 мм = 6 см

Ответ: P = 6 см.

363. Какие из букв, изображённых на рисунке 135, имеют ось симметрии?

Мерзляк 5 класс - § 15. Прямоугольник. Ось симметрии фигуры

Ось симметрии имеют в данном случае буквы А, В, Е, Т.

364. Сколько осей симметрии имеет многоугольник, изображённый на рисунке 136?

Мерзляк 5 класс - § 15. Прямоугольник. Ось симметрии фигуры

  • а) робм — 2 оси симметрии
  • б) правильный пятиугольник — 5 осей симметрии
  • в) правильный шестиугольник — 6 осей симметрии

365. 1) Длина одной из сторон прямоугольника равна 14 см, что на 5 см больше длины соседней стороны. Найдите периметр прямоугольника.

1) 14 — 5 = 9 (см) — длина соседней стороны прямоугольника

P = 2a + 2b 

2) 2 • 14 + 2 • 9 = 28 + 18 = 46 (см)

Ответ: P = 46 см.

2) Периметр прямоугольника равен 34 см, а одна из его сторон — 12 см. Найдите длину соседней стороны прямоугольника.

1) 12 • 2 = 24 (см) — сумма длин двух противоположных сторон прямоугольника

2) 34 — 24 = 10 (см) — сумма длин двух других, соседних им, противоположных сторон треугольника.

3) 10 : 2 = 5 (см) — длина соседней стороны прямоугольника.

Ответ: 5 см.

366. Одна сторона прямоугольника равна 8 см, а соседняя — в 4 раза больше. Найдите периметр прямоугольника.

1) 8 • 4 = 32 (см) — длина соседней стороны прямоугольника.

P = 2a + 2b 

2) 2 • 8 + 2 • 32 = 16 + 64 = 80 (см)

Ответ: P = 80 см.

367. Квадрат со стороной 12 см и прямоугольник, одна из сторон которого равна 8 см, имеют равные периметры. Найдите неизвестную сторону прямоугольника.

1) 12 • 4 = 48 (см) — периметр квадрата.

2) 8 • 2 = 16 (см) — сумма двух противоположных сторон прямоугольника.

3) 48 — 16 = 32 (см) — сумма длин двух других, соседних им, противоположных сторон треугольника.

4) 32 : 2 = 16 см (см) — длина соседней стороны прямоугольника.

Ответ: 16 см.

368. Прямоугольник, соседние стороны которого равны 42 см и 14 см, и квадрат имеют равные периметры. Найдите длину стороны квадрата.

1) 2 • 42 + 2 • 14 = 84 + 28 = 112 (см) — периметр прямоугольника.

2) 112 : 4 = 28 (см) — длина стороны квадрата.

Ответ: 28 см.

369. Сколько квадратов изображено на рисунке 137?

Мерзляк 5 класс - § 15. Прямоугольник. Ось симметрии фигуры

  • а) На рисунке изображено 14 квадратов (9 маленьких + 4 средних + 1 большой).
  • б) На рисунке изображено 13 квадратов (4 очень маленьких + 4 маленьких + 4 средних + 1 большой).

370. Из куска проволоки сделали модель пятиугольника (рис. 138). 

Мерзляк 5 класс - § 15. Прямоугольник. Ось симметрии фигуры

Какие из моделей перечисленных фигур, длины сторон которых выражаются натуральным числом сантиметров, можно сделать из этого куска проволоки: 1) квадрат; 2) пятиугольник, все стороны которого равны; 3) равносторонний треугольник?

1) 5 + 3 + 2 + 4 + 6 = 20 (см) — проволоки потребовалось для изготовления первоначальной модели.

2) 20 : 4 = 5 (см) — длина стороны квадрата, сделанного из этого куска проволоки.

3) 20 : 5 = 4 (см) — длина стороны пятиугольника, сделанного из этого куска проволоки.

4) 20 : 3 ≠ натуральному числу. Значит из этого куска проволоки нельзя изготовить равносторонний треугольник, длины сторон которого выражаются натуральным числом.

Ответ: квадрат и пятиугольник.

371. Прямоугольник ABCD разрезали на квадраты так, как показано на рисунке 139. Сторона наименьшего из квадратов равна 4 см. Найдите длины сторон прямоугольника ABCD.

Мерзляк 5 класс - § 15. Прямоугольник. Ось симметрии фигуры

  • На рисунки мы видим три вида квадратов: большие, средние и маленькие.
  • По условию, сторона маленького квадрата равна 4 см. По рисунку видно, что сторона большого квадрата соответствует трём длинам сторон маленьких квадратов:

1) 4 • 3 = 12 (см) — длина стороны большого квадрата.

  • Вдоль стороны AD прямоугольника ABCD расположено два больших квадрата и один маленький. Значит:

2) AD = 12 + 12 + 2 = 24 + 4 = 28 (см) — длина нижней стороны прямоугольника ABCD.

  • У прямоугольника противоположные стороны равны. Значит:

3) AD = BC = 28 (см) — длина верхней стороны прямоугольника ABCD.

  • Вдоль верхней стороны прямоугольника ABCD расположено 4 средних квадрата. Значит: 

4) 28 : 4 = 7 (см) — длина стороны среднего квадрата.

  • Вдоль боковой стороны AB прямоугольника ABCD расположен один большой квадрат и один средний квадрат. Значит:

5) AB = 12 + 7 = 19 (см) — длина боковой стороны прямоугольника ABCD

  • У прямоугольника противоположные стороны равны. Значит:

6) AB = CD = 19 (см) — длина противоположной боковой стороны прямоугольника ABCD

Ответ: у прямоугольника ABCD две стороны по 19 см и дву стороны по 28 см.

372. Начертите прямоугольник, соседние стороны которого равны 3 см и 6 см. Разделите его на три равных прямоугольника. Вычислите периметр каждого из полученных прямоугольников. Сколько решений имеет задача?

Задача имеет 2 решения.

Решение 1.

Мерзляк 5 класс - § 15. Прямоугольник. Ось симметрии фигуры

ABGE = EGHF = FHCD

a = AB = EG = FH = DC = 6 (см) — длина стороны малого прямоугольника.

b = AE = EF = FD = BG = GH = HC = 3 : 3 = 1 (см) — длина соседней стороны малого прямоугольника.

P = 2a + 2b = 2 • 6 + 2 • 1 = 12 + 2 = 14 (см) — периметр малого прямоугольника.

Ответ: P = 14 см.

Решение 2. 

Мерзляк 5 класс - § 15. Прямоугольник. Ось симметрии фигуры

AKMD = KLNM = LBCN

a = AD = KM = LN = BC = 3 (см) — длина стороны малого прямоугольника.

b = AK = KL = LB = DM = MN = NC = 6 : 3 = 2 (см) — длина соседней стороны малого прямоугольника.

P = 2a + 2b = 2 • 3 + 2 • 2 = 6 + 4 = 10 (см) — периметр малого прямоугольника.

Ответ: P = 10 см.

373. Существует ли среди прямоугольников с периметром 12 см такой, который можно разделить на два равных квадрата? В случае положительного ответа выполните рисунок и вычислите периметр каждого из полученных квадратов.

Мерзляк 5 класс - § 15. Прямоугольник. Ось симметрии фигуры

Да, такой прямоугольник существует. Например, прямоугольник ABCD со сторонами AB = DC= 4 см и AD = BC = 2 см. Его периметр P = 12 см (2 • 4 + 2 • 2 = 8 + 4 = 12) и его можно разделить на 2 равных квадрата со сторонами 2 см. Это квадраты AMLD и MBCL.

Вычислим периметр полученных квадратов (так как квадраты равные, то и их периметры тоже равны):

P = 4а = 4 • 2 = 8 (см).

Ответ: Да, возможно. Периметр каждого из образованных квадратов AMLD и MBCL равен 8 см.

374. Как надо разрезать квадрат на четыре равные части, чтобы из них можно было сложить два квадрата?

Мерзляк 5 класс - § 15. Прямоугольник. Ось симметрии фигуры

375. Как надо разрезать равнобедренный прямоугольный треугольник на четыре равные части, чтобы из них можно было сложить квадрат?

Мерзляк 5 класс - § 15. Прямоугольник. Ось симметрии фигуры

376. Как надо разрезать прямоугольник со сторонами 8 см и 4 см на четыре части, чтобы из них можно было сложить квадрат?

Мерзляк 5 класс - § 15. Прямоугольник. Ось симметрии фигуры

377. Как надо разрезать квадрат на треугольник и четырёхугольник, чтобы из них можно было сложить треугольник?

Мерзляк 5 класс - § 15. Прямоугольник. Ось симметрии фигуры

378. Как надо разрезать квадрат со стороной 6 см на две части по ломаной, состоящей из трёх звеньев, чтобы из полученных частей можно было сложить прямоугольник?

Мерзляк 5 класс - § 15. Прямоугольник. Ось симметрии фигуры

Упражнения для повторения

379. Проведите прямую МК, луч PS и отрезок АВ так, чтобы луч PS пересекал отрезок АВ и прямую МК, а прямая МК не пересекала отрезок АВ.

Мерзляк 5 класс - § 15. Прямоугольник. Ось симметрии фигуры

380. В магазине имеются лимоны, апельсины и мандарины, всего 740 кг. Если бы продали 55 кг лимонов, 36 кг апельсинов и 34 кг мандаринов, то оставшиеся массы лимонов, апельсинов и мандаринов оказались бы равными. Сколько килограммов фруктов каждого вида имеется в магазине?

  • Предположим, что в магазине продали 55 кг лимонов 36 кг апельсинов и 34 кг мандаринов. Тогда можно найти массу фруктов оставшихся в магазине:

1) 740 — (55 + 36 + 34) = 740 — (55 + 70) = 740 — 125 = 615 (кг) — фруктов осталось в магазине после продажи.

  • По условию задачи в магазине остались равные массы лимонов, апельсинов и мандарины. Узнаем сколько килограммов каждого вида фруктов осталось:

2) 615 : 3 = 205 (кг) — масса каждого вида фруктов осталось в магазине.

  • Теперь найдём какова масса фруктов изначально:

3) 205 + 55 = 260 (кг) — лимонов было в магазине изначально.

4) 205 + 36 = 241 (кг) — апельсинов было в магазине изначально.

5) 205 + 34 = 239 (кг) — мандаринов было в магазине изначально.

Ответ: лимонов — 260 кг, апельсинов — 241 кг, мандаринов — 239 кг.

381. От дома до дачи можно доехать на автобусе, или на электропоезде, или на маршрутном такси. В таблице указано время, которое надо затратить на каждый участок пути. Какое наименьшее время потребуется на дорогу? Каким видом транспорта при этом надо воспользоваться?

Мерзляк 5 класс - § 15. Прямоугольник. Ось симметрии фигуры

1) 10 мин + 1 ч 15 мин + 5 мин = 1 ч 30 мин — потребуется для поездки на автобусе.

2) 8 мин + 56 мин + 10 мин = 74 мин = 1 ч 14 мин — потребуется для поездки на электропоезде.

3) 7 мин + 1 ч 5 мин + 8 мин = 1 ч 20 мин — потребуется для поездки на маршрутном такси.

Ответ: наименьшее время на дорогу — 1 ч 14 мин, для этого надо воспользоваться электропоездом.

382. Найдите сумму корней уравнений:

Мерзляк 5 класс - § 15. Прямоугольник. Ось симметрии фигуры

Задача от мудрой совы

383. Как с помощью пятилитрового бидона и трёхлитровой банки набрать на берегу реки 4 л воды?

  1. Наливаем из реки полный 5-литровый бидон.
  2. Переливаем 3 литра в 3-х литровую банку. В 5-ти литровом бидоне останется 2 литра воды.
  3. Выливаем из 3-х литровой банки воду обратно в реку.
  4. Переливаем остаток воды из 5-литрового бидона (2 литра) в 3-литровую банку.
  5. Наливаем из реки полный 5-литровый бидон.
  6. Переливаем воду из 5-литрового бидона в 3-литровую банку.

При последнем действии мы сможем вылить в банку только 1 литр воды, так как в ней уже есть 2 литра воды. То есть в 5-литровом бидоне останется искомые 4 литра воды (5 — 1 = 4).