Мерзляк 5 класс — § 26. Правильные и неправильные дроби. Сравнение дробей

Вопросы к параграфу

1. Чему равна дробь, у которой числитель равен знаменателю?

Если числитель дроби равен знаменателю, то дроби равна единице.

2. Какую дробь называют правильной?

Дробь, у которой числитель меньше знаменателя, называют правильной.

3. Какую дробь называют неправильной?

Дробь, у которой числитель больше знаменателя или равен ему, называют неправильной.

4. Какая из двух дробей с равными знаменателями больше? Меньше?

  • Из двух дробей  одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше.
  • Из двух дробей с одинаковыми меньше та, у которой числитель меньше.

5. Сравните с единицей любую правильную дробь; любую неправильную дробь.

  • Все правильные дроби меньше единицы.
  • Все неправильные дроби больше либо равны единице (в случае если числитель равен знаменателю).

6. Сравните любую неправильную дробь с любой правильной дробью.

Каждая неправильная дробь больше любой правильной дроби.

Каждая правильная дробь меньше любой неправильной дроби.

7. Какая из двух дробей с одинаковыми числителями больше? Меньше?

  • Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше.
  • Из двух дробей с одинаковыми числителями меньше та, у которой знаменатель больше.

Решаем устно

1. Какую часть составляет:

1) длина стороны квадрата от его периметра

\frac{1}{4}

2) секунда от часа

\frac{1}{60}

3) угол, градусная мера которого равна 15° от прямого угла

\frac{15}{90}

4) угол, градусная мера которого равна 20°, от развёрнутого угла

\frac{20}{180}

2. Дима находится в школе с 8 ч 30 мин до 14 ч 30 мин. Какую часть суток Дима проводит в школе?

1) 14 ч 30 мин — 8 ч 30 мин = 6 ч — время, которое Дима проводит в школе.

2) 6 ч = \frac{6}{24} суток.

Ответ: Дима проводит в школе \frac{6}{24} суток.

3. Ваня собрал 35 грибов, из которых \frac{4}{7} составляют белые. Сколько белых грибов собрал Ваня?

35 : 7 • 4 = 5 • 4 = 20 (грибов) — белые.

Ответ: 20 белых грибов.

4. В саду растёт 36 вишнёвых деревьев, что составляет \frac{4}{9} всех деревьев. Сколько деревьев растёт в саду?

36 : 9 • 4 = 6 • 4 = 24 (дерева) — вишнёвые.

Ответ: 24 вишнёвых дерева.

5. Пешеход и велосипедист отправились навстречу друг другу из двух посёлков, расстояние между которыми равно 28 км. Пешеход до встречи прошёл \frac{2}{7}  пути. Сколько километров проехал до встречи велосипедист?

1) 28 : 7 • 2 = 2 • 2 = 4 (км) — прошёл пешеход до встречи.

2) 28 — 4 = 24 (км) — проехал велосипедист до встречи.

Ответ: 24 км.

Упражнения

719. Запишите все правильные дроби со знаменателем 8.

\frac{1}{8}\frac{2}{8}  , \frac{3}{8}\frac{4}{8}\frac{5}{8}\frac{6}{8}\frac{7}{8} .

720. Запишите все правильные дроби со знаменателем 11.

\frac{1}{11}\frac{2}{11}\frac{3}{11}\frac{4}{11} , \frac{5}{11}\frac{6}{11}\frac{7}{11}\frac{8}{11}\frac{9}{11}\frac{10}{11} .

721. Запишите все неправильные дроби с числителем 8.

\frac{8}{1}\frac{8}{2}\frac{8}{3}\frac{8}{4}\frac{8}{5}\frac{8}{6} , \frac{8}{7}\frac{8}{8} .

722. Запишите все неправильные дроби с числителем 11.

\frac{11}{1}\frac{11}{2}\frac{11}{3}\frac{11}{4}\frac{11}{5}\frac{11}{6}\frac{11}{7}\frac{11}{8}\frac{11}{9} , \frac{11}{10}\frac{11}{11} .

723. Сравните числа:

1) \frac{5}{13} < \frac{7}{13}

 

2) \frac{37}{41} > \frac{34}{41}

 

3) \frac{9}{25} > \frac{4}{25}

4) \frac{11}{15} < \frac{11}{13}

 

5) \frac{29}{5} > \frac{29}{6}

 

6) \frac{5}{23} > \frac{5}{24}

7) \frac{7}{12} < 1

 

8) \frac{16}{15} > 1

 

9) \frac{34}{34} = 1

10) \frac{3}{3} = \frac{19}{19}

 

11) \frac{3}{4}\frac{4}{3}

 

12) \frac{32}{37}\frac{5}{4}

724. Сравните числа:

1) \frac{16}{23}\frac{9}{23}

 

2) \frac{29}{58} < \frac{31}{58}

 

3) \frac{17}{100} < \frac{21}{100}

4) \frac{17}{40} > \frac{17}{45}

 

5) \frac{9}{4} < \frac{9}{2}

 

6) \frac{3}{98} < \frac{3}{94}

7) 1> \frac{11}{14}

 

8) 1 < \frac{28}{25}

 

9) 1 = \frac{68}{68}

10) \frac{22}{22} = \frac{4}{4}

 

11) \frac{27}{28} < \frac{28}{27}

 

12) \frac{7}{6}\frac{57}{59}

725. Расположите дроби в порядке убывания:

\frac{24}{27}\frac{20}{27}\frac{9}{27}\frac{8}{27} , \frac{5}{27} , \frac{4}{27} .

726. Расположите дроби в порядке возрастания:

\frac{1}{20}\frac{3}{20}\frac{6}{20}\frac{7}{20} , \frac{9}{20}\frac{17}{20} .

727. Масса осколка Царь-колокола равна 11 500 кг. Масса царь-колокола составляет —  \frac{400}{23} массы этого осколка. Найдите массу Царь-колокола.

Мерзляк 5 класс - § 26. Правильные и неправильные дроби. Сравнение дробей

1) 11 500 : 23 • 400 = 500 •  400 = 200 000 (кг) — масса Царь-колокола.

Ответ: 200 000 кг.

728. Порция пельменей в кафе «Пампушечка» состоит из 18 пельменей. Иван Гурманов съедает за обедом \frac{20}{9} порции. Сколько пельменей съедает за обедом Иван? На сколько пельменей больше одной порции он съедает?

Мерзляк 5 класс - § 26. Правильные и неправильные дроби. Сравнение дробей

1) 18 : 9 • 20 = 2 • 20 = 40 (шт) — пельменей съедает Иван Гурманов.

2) 40 — 18 = 22 (шт) — пельменей съедает Иван Гурманов больше одной порции.

Ответ: 40 штук пельменей, на 22 штуки больше одной порции.

729. Найдите все натуральные значения x, при которых дробь \frac{x}{9} будет правильной.

Дробь \frac{x}{9} будет правильной при х = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

730. Найдите все натуральные значения х, при которых дробь \frac{x}{15} будет правильной.

Дробь \frac{x}{15} будет правильной при х = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14.

731. Найдите все натуральные значения х, при которых дробь \frac{6}{x} будет неправильной.

Дробь \frac{6}{x} будет неправильной при х = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

732. Найдите все натуральные значения х, при которых дробь \frac{13}{x} будет неправильной.

Дробь \frac{13}{x} будет неправильной при х = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13.

733. Найдите все натуральные значения х, при которых выполняется неравенство:

1)  \frac{x}{14} < \frac{9}{14} , при х = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

2)  \frac{9}{16} < \frac{9}{x} , при х = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15.

734. Найдите все натуральные значения х, при которых выполняется неравенство:

1)  \frac{7}{17} > \frac{x}{17} , при х = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

2)  \frac{12}{x} > \frac{12}{11} , при х = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

735. Какие цифры можно поставить вместо звёздочки, чтобы: 

1) дробь \frac{4*6}{476}  была неправильной

\frac{476}{476} , \frac{486}{476} , \frac{486}{476}  — неправильные дроби.

Значит можно подставить вместо звёздочек цифры 7, 8 и 9.

2) дробь  \frac{584}{5*6} была правильной

\frac{584}{586} , \frac{584}{596} — правильные дроби.

Значит можно подставить вместо звёздочек цифры 8 и 9.

736. Найдите все натуральные значения b, при которых дробь  \frac{3b+2}{16} будет правильной.

Дробь называют правильной, если числитель дроби меньше, чем её знаменатель.

Значит:

3b + 2 < 16
3b <  16 — 2
3b < 14

Такое соотношение возможно, если b = 1, 2, 3, 4.

737. Найдите все натуральные значения b, при которых дробь  \frac{42}{10+4b}  будет правильной.

Дробь называют неправильной, если числитель дроби больше, чем её знаменатель или если числитель равен знаменателю.

Значит:

42 ≥ 10 + 4b
42 — 10 ≥ 4b
32 ≥ 4b

Такое соотношение возможно, если b = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

738. Найдите все натуральные значения а, при которых:

1) обе дроби  \frac{a}{12}  и  \frac{7}{a}  будут правильными

Дробь  \frac{a}{12}  будет правильной при а = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 и 11.

Дробь   \frac{7}{a}  будет правильной при а = 8, 9, 10, 11, 12, 13 и т.д.

Значит, обе дроби будут правильными при а = 8, 9, 10 и 11.

Ответ: а = 8, 9, 10 и 11.

2) дробь  \frac{3}{a}  будет правильной, а дробь — \frac{6}{a}  неправильной

Дробь   \frac{3}{a}  будет правильной при а = 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 и т.д.

Дробь  \frac{6}{a}  будет неправильной при а = 1, 2, 3, 4, 5 и 6.

Значит, первая дробь будет правильной , а вторая неправильной при а = 4, 5 и 6.

Ответ: а = 4, 5 и 6.

739. Найдите все натуральные значения а, при которых:

1) обе дроби  \frac{a}{8}   и  \frac{9}{a}  будут неправильными

Дробь \frac{a}{8}   будет неправильной при а = 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 и т.д.

Дробь \frac{9}{a}  будет неправильной при а = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9.

Значит, обе дроби будет неправильными при а = 8 и 9.

Ответ: а = 8 и 9.

2) обе дроби  \frac{a}{10}  и  \frac{15}{a}  будут неправильными, а дробь  \frac{a}{13} — правильной.

Дробь \frac{a}{10} будет неправильной при а = 10, 11, 12, 13, 14, 15 и т.д.

Дроби \frac{15}{a} будет неправильной при а = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 и 15.

Дробь \frac{a}{13} будет правильной при а = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 и 12.

Значит, первые две дроби будет неправильными, а третья дробь правильной при а = 10, 11 и 12.

Ответ: а = 10, 11 и 12.

Упражнения для повторения

740. Объём прямоугольного параллелепипеда равен 180 дм³, а два его измерения — 6 дм и 15 дм. Найдите сумму длин всех рёбер параллелепипеда.

Дано:

a = 6 дм
b = 15 дм
V = 180 дм³
c = ? см
Сумма длин всех рёбер параллелепипеда = ? дм

Решение:

V = abc, значит c = V : (ab)

1) 180 : (6 • 15) = 180 : 90 = 2 (дм) — длина третьего измерения прямоугольного параллелепипеда.

Сумма длин всех рёбер прямоугольного параллелепипеда = 4a + 4b + 4c.

2) 4 • 6 + 4 • 15 + 4 • 2 = 24 + 60 + 8 = 92 (см) — сумма длин всех рёбер прямоугольного параллелепипеда.

Ответ: 92 см.

741. Из двух городов, расстояние между которыми равно 392 км, выехали одновременно навстречу друг другу два автомобиля. Скорость одного автомобиля равна 48 км/ч, что составляет \frac{6}{7} скорости второго. Какое расстояние будет между автомобилями через 5 ч после начала движения?

Мерзляк 5 класс - § 26. Правильные и неправильные дроби. Сравнение дробей

1) 48 : 6 • 7 = 8 • 7 = 56 (км/ч) — скорость второго автомобиля.

2) 48 • 5 = 240 (км) — проехал за 5 часов первый автомобиль.

3) 56 • 5 = 280 (км) — проехал за 5 часов второй автомобиль.

4) 240 + 280 = 520 (см) — проехали за 5 часов оба автомобиля.

5) 520 — 392 = 128 (км) — будет расстояние между автомобилями через 5 часов.

Ответ: 128 км.

Задача от мудрой совы

742. Мартышка, Удав, Слонёнок и Попугай съели вместе 70 бананов, причём каждый из них съел хотя бы один банан. Мартышка съела больше, чем кто-либо из них, Попугай и Слонёнок съели вместе 45 бананов. Сколько бананов съел Удав?

Мерзляк 5 класс - § 26. Правильные и неправильные дроби. Сравнение дробей

1) 70 — 45 = 25 (бананов) — съели Мартышка и Удав.

2) 25 — 1 = 24 (банана) — самое большое количество бананов, которое могла съесть Мартышка.

И Слонёнок, и Удав, и Попугай съели меньше, чем Мартышка — меньше, чем 24 банана.

Найдём два числа, которые меньше чем 24, и сумма которых равна 45. Единственная пара подходящих чисел — это числа 23 и 22 (23 + 22 = 45).

Значит: 

  • Слонёнок съел 22 или 23 банана
  • Попугай съел 22 или 23 банана
  • Мартышка съела 24 банана — самое большое число
  • Удав съел 1 банан (25 — 24 = 1).

Ответ: Удав съел 1 банан.