Мерзляк 5 класс — § 24. Комбинаторные задачи
Вопросы к параграфу
1. Какие задачи называют комбинаторными?
Комбинаторные задачи — это задачи, решение которых требует рассмотрения и подсчёта все возможных случаев (всех возможных комбинаций).
2. Как называют схему, с помощью которой удобно и наглядно решать комбинаторные задачи?
Дерево возможных вариантов.
Решаем устно
1. Одним слоем бумаги оклеили куб, длина ребра которого равна 3 дм. Сколько квадратных дециметров бумаги потребовалось на оклеивание куба?
Найдём площадь поверхности куба:
S = 6a² = 6 • 3² = 6 • 9 = 54 (дм²) — бумаги потребовалось для оклеивания куба.
Ответ: 54 дм².
2. Объём прямоугольного параллелепипеда равен 240 см³. Какая из следующих троек чисел может задавать измерения этого параллелепипеда:
1) 4 см, 6 см, 12 см
4 • 6 • 12 = 24 • 12 = 288 (см³) — нет, эти числа не могут быть измерениями данного прямоугольного параллелепипеда.
2) 5 см, 6 см, 8 см
5 • 6 • 8 = 30 • 8 = 240 (см³) — да, эти числа могут быть измерениями данного прямоугольного параллелепипеда.
3) 3 см, 5 см, 10 см
3 • 5 • 10 = 15 • 10 = 150 (см³) — нет, эти числа не могут быть измерениями данного прямоугольного параллелепипеда.
4) 10 см, 10 см, 24 см
10 • 10 • 24 = 100 • 24 = 2 400 (см³) — нет, эти числа не могут быть измерениями данного прямоугольного параллелепипеда.
Ответ: числа 5 см, 6 см и 8 см.
3. Сколько центнеров пшеницы можно засыпать в бункер, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда, если его длина равна 8 м, ширина — 2 м, высота — 1 м, а масса 1 м³ зерна составляет 8 ц?
1) 8 • 2 • 1 = 16 (м²) — объём бункера.
2) 16 • 8 = 128 (ц) — пшеницы можно засыпать в бункер.
Ответ: 128 центнеров.
4. Что больше и на сколько:
1) квадрат суммы чисел 4 и 3 или сумма их квадратов
(4 + 3)² > 4² + 3²
7² > 16 + 9
49 > 25
2) разность квадратов чисел 10 и 8 или квадрат их разности
10² — 8² > (10 — 8)²
100² — 64² > 2²
36 > 4
3) разность кубов чисел 5 и 3 или куб их разности
5³ — 3³ > (5 — 3)³
125 — 27 > 2³
98 > 8
Упражнения
645. Запишите все двузначные числа, в записи которых используются только цифры 1, 2 и 3 (цифры могут повторяться).
Таких двузначных чисел всего 9:
- 11, 12, 13
- 22, 21, 23
- 33, 31, 32
646. Запишите все двузначные числа, в записи которых используются только цифры 1, 2 и 0 (цифры могут повторяться).
Таких двузначных чисел всего 6:
- 11, 12, 10
- 22, 21, 20
647. У ослика Иа-Иа есть три надувных шарика: красный, зелёный и жёлтый. Он хочет подарить по одному шарику своим друзьям: Винни-Пуху, Пятачку и Кролику. Сколько у ослика Иа-Иа есть вариантов сделать подарки своим друзьям?
Решим задачу при помощи схемы «Дерево возможных вариантов».
Итак, у нас получилось шесть возможных вариантов:
|
Винни-Пуха |
Пятачок |
Кролик |
|
|
Вариант 1 |
Зелёный | Красный | Жёлтый |
|
Вариант 2 |
Зелёный | Жёлтый | Красный |
|
Вариант 3 |
Красный | Зелёный | Жёлтый |
| Вариант 4 | Красный | Жёлтый |
Зелёный |
| Вариант 5 | Жёлтый | Зелёный |
Красный |
| Вариант 6 | Жёлтый | Красный |
Зелёный |
Ответ: 6 вариантов.
648. Сколько двузначных чисел, все цифры которых различны, можно составить из цифр 0, 1 и 2?
Таких двузначных чисел всего 4:
- 12, 10
- 21, 20
649. В футбольном турнире участвуют команды 5 «А» класса, 5 «Б» класса и 5 «В» класса. Сколько существует способов распределения первого и второго мест среди этих команд? Решение какой задачи из номеров 645—648 аналогично решению этой задачи?
Решим задачу при помощи схемы «Дерево возможных вариантов».
Итак, у нас получилось шесть возможных вариантов (последовательно места, занятые 5″А», 5″Б» и 5″В»):
Итак, у нас получилось шесть возможных вариантов (последовательно цвет шарика для Винни-Пуха, Пятачка и Кролика):
|
5″А» |
5″Б» |
5″В» |
|
|
Вариант 1 |
1 | 2 | — |
|
Вариант 2 |
1 | — | 2 |
|
Вариант 3 |
2 | 1 | — |
| Вариант 4 | 2 | — |
1 |
| Вариант 5 | — | 1 |
2 |
| Вариант 6 | — | 2 |
1 |
Задача аналогична задаче № 647.
Ответ: 6 вариантов.
650. Запишите все трёхзначные числа, для записи которых используются только цифры (Цифры не могут повторяться.):
1) 3, 4 и 6
- 346, 364
- 436, 463
- 634, 643
2) 4, 7 и 0
- 470, 407
- 740, 704
651. Сколько различных трёхзначных чисел можно составить из цифр (Цифры могут повторяться.):
1) 1 и 2
- 111, 112, 121, 122
- 222, 221, 212, 211
Ответ: 8 чисел.
2) 0 и 1
- 111, 110, 101, 100
Ответ: 4 числа.
652. Запишите все двузначные числа, в записи которых используются только цифры 2, 4, 9 и 0. (Цифры могут повторяться.)
- 22, 24, 29, 20
- 42, 44, 49, 40
- 92, 94, 99, 90
653. Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 6, 7, 8 и 9 так, чтобы цифры были записаны в порядке возрастания?
- 67, 68, 69
- 78, 79
- 89
Ответ: 6 чисел.
654. Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 6, 7, 8 и 9 так, чтобы цифры были записаны в порядке убывания?
- 98, 97, 96
- 87, 86
- 76
Ответ: 6 чисел.
655. Сколько существует двузначных чисел, сумма цифр которых равна 5?
Всего 5 чисел: 14, 23, 32, 41, 50.
Ответ: 5 чисел.
656. Сколько двузначных чисел, сумма цифр которых равна чётному числу, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 (цифры могут повторяться)?
Всего 8 чисел: 11, 13, 22, 24, 31, 33, 42, 44.
Ответ: 8 чисел.
657. Сколько двузначных чисел, сумма цифр которых равна нечётному числу, можно составить из цифр 0, 1,2, 3?
Всего 6 чисел: 10, 12, 21, 23, 30, 32.
Ответ: 6 чисел.
658. Кот Базилио и лиса Алиса решили украсть золотой ключик, который хранится в каморке папы Карло. Чтобы туда проникнуть, нужно подобрать двузначный код. Им известно, что дверь в каморку закрывает Буратино, который знает пока что только четыре цифры: 0, 1, 2 и 3. Какое наибольшее количество вариантов придётся перебрать коту и лисе, чтобы открыть дверь?
Составим таблицу:
- в первом столбце запишем возможные варианты первой цифры кода
- в верхней строке — возможные варианты второй цифры кода
- на пересечении строк и столбцов — возможные варианты кодов.
|
|
0 | 1 | 2 | 3 |
|
0 |
00 | 01 | 02 | 03 |
|
1 |
10 | 11 | 12 |
13 |
| 2 | 20 | 21 | 22 |
23 |
| 3 | 30 | 31 | 32 |
33 |
Итак, возможное количество вариантов кода — 16.
Ответ: 16 вариантов.
659. Сколько существует различных прямоугольников, периметры которых равны 24 см, а длины сторон выражены целым числом сантиметров?
P = (a + b) • 2
Если P = 24 см, то сумма длин сторон равна 24 : 2 = 12 см.
Существует 6 возможных вариантов таких прямоугольников. Длины сторон у них должны быть:
- 1 см и 11 см
- 2 см и 10 см
- 3 см и 9 см
- 4 см и 8 см
- 5 см и 7 см
- 6 см и 6 см (квадрат, который также соответствует определению прямоугольника).
Ответ: 6 прямоугольников.
660. У Ани есть 30 одинаковых кубиков. Сколько различных прямоугольных параллелепипедов она может из них составить, если для построения одного параллелепипеда надо использовать все имеющиеся 30 кубиков?
V = abc
Если V = 30, то можно подобрать 5 вариантов постройки прямоугольного параллелепипеда из одинаковых кубиков:
- 30 • 1 • 1 = 30
- 15 • 2 • 1 = 30
- 10 • 3 • 1 = 30
- 6 • 5 • 1 = 30
- 5 • 3 • 2 = 30
Ответ: 5 вариантов.
661. На прямой отметили четыре точки А, В, С и D. Сколько отрезков с концами в отмеченных точках можно провести? Какой из рисунков § 24 помогает решить эту задачу?
Для решения этой задачи можно ориентироваться на рисунок 184 § 24:
Но лучше сделать свой рисунок для этой конкретно задачи:
- AB, AC, AD
- BC, BD
- CD
Ответ: 6 отрезков.
662. Подножие горы и её вершину связывают три тропы. Сколько существует маршрутов, ведущих от подножия к вершине и затем вниз к подножию?
Нарисуем эти три маршрута схематично, изобразив их в виде лучей, выходящих из единой точки, где:
- O — вершина горы
- A — первая точка у подножия горы
- B — вторая точка у подножия горы
- C — третья точка у подножия горы.
Тогда возможные следующие варианты маршрутов (начало маршрута — вершина — конец маршрута):
- AOA, AOB, AOC
- BOA, BOB, BOC
- COA, COB, COC
Итого — 9 вариантов маршрутов.
Ответ: 9 вариантов.
663. Спортивной команде предлагают футболки трёх цветов — красного, зелёного и синего, а шорты двух цветов — белого и жёлтого. Сколько вариантов выбора формы есть у команды?
Составим таблицу:
- в первом столбце запишем возможные варианты шорт
- в верхней строке — возможные варианты футболок
- на пересечении строк и столбцов — возможные варианты формы
|
Форма |
Футболки | |||
| Красные | Зелёные |
Синие |
||
|
Шорты |
Белые | Красная футболка
белые шорты |
Зелёная футболка
белые шорты |
Синяя футболка
белые шорты |
| Жёлтые | Красная футболка
жёлтые шорты |
Зелёная футболка
жёлтые шорты |
Синяя футболка жёлтые шорты |
|
Итак, возможное количество вариантов формы — 6.
Ответ: 6 вариантов.
664. У Тани есть четыре платья и две пары туфель. Сколько у Тани есть вариантов выбора наряда?
Составим таблицу:
- в первом столбце запишем возможные варианты туфель
- в верхней строке — возможные варианты платьев
- на пересечении строк и столбцов — возможные варианты наряда
|
Наряд
|
Платья | ||||
| 1 | 2 | 3 |
4 |
||
|
Туфли |
1 | Платье № 1
Туфли № 1 |
Платье № 2
Туфли № 1 |
Платье № 3
Туфли № 1 |
Платье № 4
Туфли № 1 |
| 2 | Платье № 1
Туфли № 2 |
Платье № 2
Туфли № 2 |
Платье № 3
Туфли № 2 |
Платье № 4 Туфли № 2 |
|
Итак, возможное количество вариантов нарядов — 8.
Ответ: 8 вариантов.
665. В отряде космонавтов есть три пилота и два инженера. Сколько существует способов составить экипаж, состоящий из одного пилота и одного инженера?
Составим таблицу:
- в первом столбце запишем возможные варианты инженеров
- в верхней строке — возможные варианты пилотов
- на пересечении строк и столбцов — возможные варианты экипажа
|
Экипаж |
Пилоты | |||
| 1 | 2 |
3 |
||
|
Инженеры |
1 | Пилот 1
Инженер 1 |
Пилот 2
Инженер 1 |
Пилот 3
Инженер 1 |
| 2 | Пилот 1
Инженер 2 |
Пилот 2
Инженер 2 |
Пилот 3 Инженер 2 |
|
Итак, возможное количество вариантов нарядов — 6.
Ответ: 6 вариантов.
666. На рисунке 185 изображён план одного района города. Отрезками изображены улицы. Сколько существует маршрутов из точки А в точку В, если передвигаться разрешено по улицам, идущими вверх или вправо?
Существуют следующие варианты маршрутов:
- Вверх — вверх — вправо — вправо
- Вверх — вправо — вверх — вправо
- Вверх — вправо — вправо — вверх
- Вправо — вверх — вверх — вправо
- Вправо — вверх — вправо — вверх
- Вправо — вправо — вверх — вверх
Итак, возможное количество вариантов маршрутов — 6.
Ответ: 6 вариантов.
667. В записи 1 * 2 * 3 * 4 вместо каждой звёздочки можно поставить один из знаков «+» или «•». Чему равно наибольшее значение выражения, которое можно получить?
Наибольшее значение выражения можно получить, если расставить знаки в таком порядке:
1 + 2 • 3 • 4 = 1 + 6 • 4 = 1 + 24 = 25.
Упражнения для повторения
668. Расстояние между двумя сёлами равно 28 км. Из этих сёл одновременно в одном направлении выехали мотоциклист и автобус. Автобус ехал впереди со скоростью 42 км/ч, а мотоциклист ехал со скоростью 56 км/ч. Через сколько часов после начала движения мотоциклист догонит автобус?
1) 56 — 42 = 14 (км/ч) — скорость, с которой мотоциклист догоняет автобус — скорость сближения.
2) 28 : 14 = 2 (часа) — время, за которое мотоциклист догонит автобус.
Ответ: 2 часа.
669. Решите уравнение:
670. 1) Одно из слагаемых в 14 раз больше другого. Во сколько раз их сумма больше меньшего слагаемого?
Пусть х — первое слагаемое. Тогда второе слагаемое равно 14х.
(14х + х) : х = 15х : х = 15
Ответ: в 15 раз.
2) Вычитаемое в 12 раз больше разности. Во сколько раз уменьшаемое больше разности?
Пусть х — разность, тогда вычитаемое равно 12х, а уменьшаемое равно (12х + х).
(12х + х) : х = 13х : х = 13
Ответ: в 13 раз.
671. На ферме есть 156 коров, каждая из которых даёт в день 12 л молока. Молоко с фермы вывозят в бидонах ёмкостью 40 л. В некоторый день на ферме было в наличии 42 пустых бидона. Хватит ли бидонов, чтобы вывезти с фермы надоенное за день молоко?
1) 156 • 12 = 1 872 (литра) — молока надаивают на ферме за 1 день.
2) 42 • 40 = 1 680 (литров) — молока помещается в 42 пустых бидона.
3) 1 680 литров < 1 872 литра, значит 42 бидона не хватит для вывоза всего надоенного за день молока.
Ответ: Нет, не хватит.
672. Решите кроссворд.
По горизонтали:
2. Результат арифметического действия (Частное)
3. Единица измерения времени (Секунда)
4. Единица измерения углов (Градус)
5. Компонент умножения (Множитель)
6. Компонент сложения (Слагаемое)
По вертикали:
1. «Царица наук» (Математика)
Задача от мудрой совы
673. В классе 30 учащихся. Они сидят по двое за 15 партами так, что половина всех девочек сидит с мальчиками. Можно ли учеников класса пересадить так, чтобы половина всех мальчиков сидела с девочками?
1) Если половина всех девочек сидят с мальчиками, значит вторая половина девочек сидит друг с другом по двое за партой. Значит половина девочек — это чётное количество человек.
2) Если половина девочек — это чётное количество человек, то общее количество девочек (две половины) также будет чётным числом.
3) Предположим, что условие задачи выполнимо и половину мальчиков можно посадить с девочками. Это значит, что другая половина мальчиков будет сидеть по двое за партой. То есть половина мальчиков также должно быть чётным числом.
4) Половина мальчиков и половина девочек — это ровно половина класса. По нашему предположению это чётное количество человек, так как и половина мальчиков, и половина девочек чётные числа.
5) Но мы знаем, что в классе 30 учащихся, а половина от 30 человек — это 15 человек — нечётное число. Значит наше предположение о мальчиках было неверно и их нельзя посадить так, чтобы половина мальчиков сидела с девочками.
Ответ: Нет, нельзя.