Мерзляк 6 класс — § 4. Простые и составные числа

Вопросы к параграфу

1. Какое натуральное число называют простым?

Простыми называют числа, которые имеют только два делителя: 1 и само это число. Например: 5, 7, 11, 13 — это простые числа.

2. Какое натуральное число называют составным?

Составными называют числа, которые имеют боле двух делителей. Например, 4, 6, 9, 12 — составные числа.

3. Почему число 1 не относят ни к простым, ни к составным числам?

Число 1 не относят ни к простым, ни к составным числам потому, что у него только 1 делитель — само число 1.

4. Существует ли чётное простое число?

Да, это число 2. У этого числа только 2 делителя: 1 и 2.

5. Назовите наименьшее простое число.

Наименьшее простое число — 2.

6. Любое ли составное число можно разложить на простые множители?

Да, на простые множители можно разложить любое составное число.

Решаем устно

1. Выполните действия:

  1. 4,99 + 4,01 = 9
  2. 4,99 + 4,1 = 9,09
  3. 0,6 — 025 = 0,35
  4. 3,4 — 3,04 = 0,36
  5. 6 • 0,01 = 0,06
  6. 0,6 • 0,1 = 0,06
  7. 6 : 0,1 = 60
  8. 0,6 : 0,01 = 60

2. Какие из чисел 165, 106, 207, 253, 271, 282, 305, 315, 374, 389 делятся нацело:

1) на 2

106, 282, 374

2) на 5

165, 305, 315

3) на 3

165, 207, 282, 315

4) на 9

207, 315

3. Назовите все делители числа:

1) 28

1, 2, 4, 7, 14, 28.

2) 29

1, 29.

3) 30

1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.

4) 31

1, 31.

4. Число 204 равно произведению чисел 34 и 6. Является ли число 34 делителем числа 204? А число 6?

Да, оба числа: и 34, и 6, являются делителями числа 204.

5. Чему равно частное чисел 945 и 9? Является ли полученное частное делителем числа 945?

645 : 9 = 105

Число 105 является делителем числа 945, так как 945 длится на 105 нацело.

6. У Пети было на 156 р. больше, чем у Димы. После того как Петя купил новую книгу, у него стало на 142 р. меньше, чем у Димы. Сколько стоила книга?

156 + 142 = 298 (р.) — стоила книга.

Ответ: 296 рублей.

Упражнения

104. Среди чисел 1, 3, 6, 7, 12, 13, 21, 23, 24, 28, 29, 33, 45, 46, 47 укажите:

1) простые

1, 3, 7, 13, 23, 29, 47

2) составные

6, 12, 21, 24, 28, 33, 45, 46.

105. Запишите все делители данного числа, подчеркните те из них, которые являются простыми числами:

Простые числа выделены красным

1) 21

1, 3, 7, 21.

2) 30

1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.

3) 48

1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.

4) 54

1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54.

106. Разложите на простые множители число:

Мерзляк 6 класс - § 4. Простые и составные числа

107. Разложите на простые множители число:

Мерзляк 6 класс - § 4. Простые и составные числа

108. Запишите:

1) все простые числа, которые больше 10 и меньше 25

11, 13, 17, 19, 23.

2) все составные числа, которые больше 35 и меньше 49

36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48.

109. Запишите:

1) все простые числа, которые больше 22 и меньше 38

23, 29, 31, 37.

2) все составные числа, которые больше 60 и меньше 78

62, 63, 64, 65, 66, 68, 69, 70, 72, 74, 75, 76, 77.

110. Простым или составным числом является произведение:

  1. 13 • 1 — произведение является простым числом, так как число 13 простое, а 1 не относится ни к простым числам, ни к составным.
  2. 14 • 1 — произведение является составным числом, так как число 14 составное, а 1 не относится ни к простым числам, ни к составным.
  3. 4 • 7 — произведение является составным числом, так как оно будет делиться как минимум на 3 числа: 1, 4 и 7.
  4. 11 • 13 — произведение является составным числом, так как оно будет делиться как минимум на 3 числа: 1, 11 и 13.
  5. 43 • 1 — произведение является простым числом, так как число 43 простое, а 1 не относится ни к простым числам, ни к составным.
  6. 1 • 111 — произведение является составным числом, так как число 111 составное, а 1 не относится ни к простым числам, ни к составным.

111. Запишите все делители числа, равного произведению:

1) 2 • 2 • 5

1, 2, 4, 5, 10, 20

2) 3 • 5 • 7

1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105.

112. Запишите все делители числа, равного произведению:

1) 2 • 5 • 13

1, 2, 5, 10, 13, 26, 65, 130.

2) 3 • 3 • 3 • 7

1, 3, 7, 9, 21, 27, 63, 189.

113. Чему равно частное от деления числа a на число b, если:

1) а = 2 • 2 • 2 • 3 • 3 • 7, b = 2 • 2 • 3 • 7

a : b = (2 • 2 • 2 • 3 • 3 • 7) : (2 • 2 • 3 • 7) = 2 • 3 = 6

2) а = 3 • 5 • 5 • 13 • 17 • 19, b = 3 • 13 • 19

a : b = (3 • 5 • 5 • 13 • 17 • 19) : (3 • 13 • 19) = 5 • 5 • 17 = 425

114. Чему равно частное от деления числа a на число b, если:

1) a = 2 • 3 • 5 • 5 • 7 • 11 • 13, b = 2 • 5 • 13

a : b = (2 • 3 • 5 • 5 • 7 • 11 • 13) : (2 • 5 • 13) = 3 • 5 • 7 • 11 = 1 155

2) a = 2 • 2 • 3 • 5 • 23 • 37, b = 2 • 3 • 37

a : b = (2 • 2 • 3 • 5 • 23 • 37) : (2 • 3 • 37) = 2 • 5 • 23 = 230

115. Запишите все двузначные числа, в разложении которых на простые множители один из множителей равен:

1) 7

14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98.

2) 17

17, 34, 51, 68, 85.

3) 23

23, 46, 69, 92.

116. Запишите все двузначные числа, разложение которых на простые множители состоит:

1) из двух одинаковых множителей

  1. 16 = 4 • 4
  2. 25 = 5 • 5
  3. 36 = 6 • 6
  4. 49 = 7 • 7
  5. 64 = 8 • 8
  6. 81 = 9 • 9

2) из трёх одинаковых множителей

  1. 8 = 2 • 2 • 2
  2. 27 = 3 • 3 • 3
  3. 64 = 4 • 4 • 4

117. Сколько существует чисел, которые можно разложить на два двузначных простых множителя, один из которых на 2 больше другого? Воспользуйтесь таблицей простых чисел.

  1. 143 = 11 • 13
  2. 323 = 17 • 19
  3. 899 = 29 • 31
  4. 1 763 = 41 • 43
  5. 3 599 = 59 • 61
  6. 5 183 = 71 • 73

Ответ: 6 чисел.

118. Найдите все числа, которые можно разложить на два двузначных простых множителя, разность которых равна 4. Воспользуйтесь таблицей простых чисел.

  1. 221 = 13 • 17
  2. 437 = 19 • 23
  3. 1 517 = 37 • 41
  4. 2 021 = 43 • 47
  5. 4 757 = 67 • 71
  6. 6 557 = 79 • 83

Ответ: 6 чисел.

119. Задумали простое число. Известно, что следующее за ним натуральное число тоже простое. Какое число задумали?

В таблице простых чисел только два натуральных числа следуют друг за другом. Это 2 и 3. Значит задумали число 2.

Ответ: задумали число 2.

120. Может ли сумма двух простых чисел быть простым числом? В случае утвердительного ответа приведите пример.

Да, например: 

  • 2 + 3 = 5, при этом 2, 3 и 5 простые числа;
  • 2 + 5 = 7, при этом 2, 5 и 7 простые числа;
  • и т.д.

Ответ: да, может.

121. Может ли быть простым числом:

1) произведение двух различных чисел

Да, может, если это произведение простого числа и единицы. Например: 

  • 1 • 31 = 31 — простое число;
  • 1 • 107 = 107 — простое число;
  • 1 •  227 — простое число.

2) значение площади квадрата, длина стороны которого выражается натуральным числом

Нет, не может, так как площадь квадрата равна произведению длин двух его сторон — а • а. Значит число, обозначающее площадь квадрата будет иметь как минимум 3 делителя: 1, число равное длине стороны квадрата — а и число равное площади квадрата — а². 

Если же длина стороны квадрата равна 1, то его площадь также будет равна 1 • 1 = 1. Но 1 не является простым числом, так что этот вариант также не подходит.

Ответ обоснуйте.

122. Может ли сумма двух составных чисел быть простым числом? В случае утвердительного ответа приведите примеры.

Да, может. Например:

  • 3 + 5 = 8
  • 7 + 11 = 18
  • 29 + 31 = 60

123. Существует ли прямоугольник, длины сторон которого выражаются натуральными числами, а периметр — простым числом (длины сторон и периметр прямоугольника выражены в одних и тех же единицах измерения)? Ответ обоснуйте.

  • Мы знаем, что периметр прямоугольника равен сумме его соседних сторон умноженной на два: P = (a + b) • 2.
  • Значит он может быть выражен только чётным числом, а единственное простое чётное число — это 2. 
  • Если бы такой прямоугольник существовал, то сумма его соседних сторон должна была бы равняться 1, но это невозможно, так как по условию длины сторон выражаются натуральными числами. Не существует двух натуральных чисел, сумма которых равнялась бы 1.
  • Вывод, такого прямоугольника не существует.

Ответ: Нет, такого прямоугольника не существует.

124. Может ли произведение ста различных простых чисел делиться нацело:

1) на 3

Да, это возможно в том случае, если один из множителей равен 3.

2) на 9

Нет, это невозможно:

  • По условию все множители — это простые числа, делителями которого являются либо они сами, либо 1.
  • Чтобы такое произведение делилось на 9, надо чтобы один из множителей равнялся 9.
  • Это невозможно, так как 9 — это составное число.

125. Существуют ли три последовательных натуральных числа:

1) каждое из которых является простым

Нет, не существует, так как при последовательном счёте четные числа чередуются с нечётными, а единственное чётное простое число — это 2. При этом предыдущее двойке нечётное число — 1 — не является ни простым, ни составным. 

2) ни одно из которых не является составным

Да, это последовательность 1, 2, 3:

  • 1 — ни простое и ни составное число;
  • 2 — простое число;
  • 3 — простое число.

Ответ обоснуйте.

126. При каком натуральном значении n будет простым числом значение выражения:

1) 2n — будет простым числом при n = 1. 

  • 2n = 2 • 1 = 2 — простое число.

2) n² — не будет простым числом ни при каких условиях, так как:

  • 1² = 1 — не является ни простым, ни составным числом;
  • 2² = 4 — является составным числом;
  • и т.д.

3) n (n + 1) — будет простым числом при n = 1. 

n (n + 1) = 1 • (1 + 1) = 1 • 2 = 2 — простое число.

127. Натуральное число а, которое больше 1 и меньше 100, не делится нацело ни на одно из чисел 2, 3, 5 и 7. Верно ли, что число а — простое? Ответ обоснуйте.

  1. Число а является нечётным, так как не делится на 2.
  2. Число а не делится ни на одно число из первого десятка, так как:
    • не делится на 2 — по условию;
    • не делится на 3 — по условию;
    • не делится на 4 — так как один из делителей 4 является число 2, а наше число не делится на него по условию;
    • не делится на 5 — по условию;
    • не делится на 6 — так как делителями 6 являются числа 2 и 3, а наше число не делится на них по условию;
    • не делится на 7 — по условию;
    • не делится на 8 — так как один из делителей 8 является число 2, а наше число не делится на него по условию;
    • не делится на 9 — так как один из делителей 9 является число 3, а наше число не делится на него по условию.
  3. Число а не может делиться на составное число от 10 до 100, так как все составные числа от 1 до 100 делятся на кое-либо число из первого десятка. Например: 99 = 9 • 11. Это не подходит нам по условию.
  4. Число а не может делиться на себя, на 1 и ещё один простой делитель больше 9, так как в этом случае оно должно также делиться и на какое-то число из первого десятка. Например:
    • число 33 — составное и его делители 1, 3, 11 и 33 — не подходит, так как число а не должно делится на 3;
    • число 85 — составное и его делители 1, 5, 17 и 85 — не подходит, так как число а не должно делится на 5;
    • и т.д.
  5. Число а не может делиться на себя, на 1 и ещё два простых делителя больше 9, так как наименьшее простое число больше 9 — это 11, а 11 • 11 = 121 — число, которое больше 100. Это не подходит нам по условию.

Получается, что число а:

  • нечётное;
  • не делится ни на одно число из первого десятка;
  • не делится ни на одно составное число от 10 до 100;
  • не может делится на одно простое число больше 9;
  • не может делиться на два или более простых чисел больше 9.

Значит число а может делиться только на 1 и на себя, а это значит, что число а — простое число.

128. Простое число, большее 1 000. поделили на 6. Чему может быть равным остаток?

Пусть х — задуманное простое число больше 1 000, а неполное частное равно а. Тогда:

  • х = а • 6 + 1 — может быть простым числом;
  • х = а • 6 + 2 — не может быть простым числом,  так как 6 = 3 • 2 и можно будет записать, что х = а • 3 • 2 + 2 = (3а + 1) • 2, то есть получится чётное число;
  • х = а • 6 + 3 — не может быть простым числом,  так как 6 = 2 • 3 и можно будет записать, что х = а • 2 • 3 + 3 = (2а + 1) • 3, то есть получится число, делящееся на 3;
  • х = а • 6 + 4 — не может быть простым числом,  так как 6 = 3 • 2 и можно будет записать, что х = а • 3 • 2 + 2 • 2 = (3а + 2) 2, то есть получится чётное число;
  • х = а • 6 + 5 — может быть простым числом.

Значит остаток при делении простого числа на 6 может быть равен либо 1, либо 5. Отметим, что это справедливо для всех простых чисел.

Ответ: остаток равен 1 или 5.

Комментарий: Для выполнения задания надо вспомнить распределительный закон умножения: a • c + b • c = (a + b) • c

129. Найдите все пары простых чисел, разность которых равна 17.

  • 17 — это нечётное число.
  • Мы знаем, что для того чтобы при сложении получить нечётное число, надо сложить чётное и нечётное число.
  • Значит одним числом из искомой пары может быть только число 2 — единственное нечётное простое число.
  • 2 + 17 = 19 — простое число.
  • Значит искомая пара — числа 2 и 17.

Ответ: существует единственна пара таких чисел: 2 и 17.

130. Найдите количество делителей числа, равного значению выражения:

1) 2^{4}

2^{4}=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2

Значит делителями этого числа могут быть:

  1. 2
  2. 2 • 2 = 4
  3. 2 • 2 • 2 = 8
  4. 2 • 2 • 2 • 2 = 16
  5. 1

Ответ: 5 делителей.

2) 2^{3}\cdot 3^{2}

2^{3}\cdot 3^{2}=2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3

Значит делителями этого числа могут быть:

  1. 2
  2. 2 • 2 = 4
  3. 2 • 3 = 6
  4. 2 • 3 • 3 = 18
  5. 2 • 2 • 2 = 8
  6. 2 • 2 • 3 = 12
  7. 2 • 2 • 3 • 3 = 36
  8. 2 • 2 • 2 • 3 = 24
  9. 2 • 2 • 2 • 3 • 3 = 72
  10. 3
  11. 3 • 3 = 9
  12. 1

Ответ: 12 делителей.

3) 2^{n}\cdot 3^{m}, m и n — натуральные числа.

Для поиска количества всех делителей натурального числа существует формула: 

Количество делителей d равно произведению всех степеней простых делителей, увеличенных на единицу.

В нашем случае степенью первого простого множителя 2 является число n, а степенью второго простого множителя 3 является число m.

Значит количество делителей можно вычислить по формуле:

d = (n + 1) • (m + 1).

Ответ: (n + 1) • (m + 1) делителей.

Проверим формулу на примере:

  • Для числа 2^{4} количество делителей d = 4 + 1 = 5 делителей — правильно.
  • Для числа 2^{3}\cdot 3^{2} количество делителей d = (3 + 1) • (2 + 1) = 4 • 3 = 12 делителей — правильно.

Комментарий: Для выполнения задания вспомним, что любое составное число можно разложить на простые множители и одинаковые простые множители заменить в записи степенью.

Все возможные варианты произведений имеющихся простых множителей и будут делителями заданного числа.

Не стоит забывать и о том, что у каждого натурального числа одним из множителей является единица.

Кроме того, для выполнения последнего задания необходимо найти в Интернете формулу, позволяющую посчитать количество натуральных делителей числа. 

Упражнения для повторения

131. Решите уравнение:

Мерзляк 6 класс - § 4. Простые и составные числа

132. Запишите пять чисел, кратных:

1) числу 8

8, 16, 24, 32, 40

2) числу 18

18, 36, 54, 180, 1 800

3) числу n

1n, 2n, 3n, 5n, 27n

133. При делении нацело числа а на 15 получили число, кратное 6. Делится ли нацело число а на 10? Ответ обоснуйте.

Мы знаем, что:

  • число а делится нацело на 15. Значит оно делится также на числа 3 и 5, так как 15 = 3 • 5;
  • в результате деления числа а получили число, кратное 6, значит и число а тоже делится на 6;
  • если число а делится на 6, то оно также делится на числа 2 и 3, так как 6 = 2 • 3;

Мы видим, что среди делителей числа а находятся числа 2 и 5, а значит число 10 = 2 • 5 также является делителем числа а.

Ответ: Да, число а нацело делится на на число 10.

134. При делении нацело числа а на 6 получили число, кратное 12. Делится ли нацело число а на 9? Ответ обоснуйте.

Мы знаем, что:

  • число а делится нацело на 6. Значит оно делится также на числа 2 и 3, так как 6 = 2 • 3;
  • в результате деления числа а получили число, кратное 12, значит и число а тоже делится на 12;
  • если число а делится на 12, то оно также делится на числа 3 и 4, так как 12 = 3 • 4;

Мы видим, что среди делителей числа а находится как минимум две тройки: 3 и 3, а значит число 9 = 3 • 3 также является делителем числа а.

Ответ: Да, число а нацело делится на на число 9.

Готовимся к изучению новой темы

135. Найдите значение степени:

3^{4}=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81

6^{2}=6\cdot 6=36

5^{3}=5\cdot 5\cdot 5=125

2^{7}=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=128

7^{3}=7\cdot 7\cdot 7=343

11^{2}=11\cdot 11=121

136. Из чисел 348, 975, 1 026, 2 531, 12 120, 43 674, 58 121 выпишите те, которые делятся нацело:

1) на 2

348, 1 026, 12 120, 43 674.

2) на 3

348, 975, 1 026, 12 120, 43 674.

3) на 5

975, 12 120.

Задача от мудрой совы

137. Шахматный конь начинает свой маршрут в левом нижнем углу доски, а заканчивает его в правом верхнем углу. Может ли конь при этом побывать на всех полях доски по одному разу?

Мерзляк 6 класс - § 4. Простые и составные числа

Мы знаем, что:

  • на шахматной доске всего 64 клетки: 32 белые клетки и 32 коричневые;
  • шахматный конь ходит по доске буквой Г — например он может пойти на три клетки вправо и на одну вверх, или на одну клетку вниз и на три клетки вправо, или на три клетки вверх и на одну влево, или любым другим подобным образом.

Если конь ходит буквой Г, то в процессе каждого хода он переходит с клетки одного цвета на клетку другого цвета: с белой на чёрную, потом с чёрной на белую и т.д. 

Чтобы побывать на каждой клетке доски, надо сделать конём 63 хода: 1 клетка начальная, а затем ещё 63 оставшиеся клетки. И каждый раз он будет менять цвет клетки. Например:

  • Начало маршрута — коричневая клетка (нижний левый угол);
  • 1 ход — белая клетка;
  • 2 ход — коричневая клетка;
  • 3 ход — белая клетка;
  •  и т.д.

То есть каждый чётный ход конь будет находится на коричневой клетке, а каждый нечётный — на белой

Так как ходов всего будет 63, то после последнего хода — нечётного — конь окажется на белой клетке.

Это не соответствует условию задачи, так как в верхнем правом углу находится коричневая клетка. Значит выполнить условие задачи невозможно.

Ответ: шахматный конь не сможет переместиться из нижнего левого угла в верхний правый угол побывав на каждой клетке доски по одному разу.