Мерзляк 6 класс — § 3. Признаки делимости на 9 и на 3

Опубликовано автором

Вопросы к параграфу

1. Как узнать, делится ли число нацело на 9?

Надо посчитать сумму цифр числа. Если сумма цифр делится на 9, то и само число делится на 9.

Например:

  • В числе 387 сумма цифр равна 3 + 8 + 7 = 18 — делиться на 9. Значит и само число должно делиться на 9. Действительно, 387 : 9 = 43 — число делится на 9 нацело.
  • В числе 115 сумма цифр равна 1 + 1 + 5 = 7 — не делится на 9. Значит и само число не должно делиться на 9. Действительно, 115 : 9 = 12 (ост. 7).

2. Как по записи натурального числа определить, кратно оно 3 или нет?

Надо посчитать сумму цифр числа. Если сумма цифр делится на 3, то и само число делится на 3.

Например:

  • В числе 285 сумма цифр равна 2 + 8 + 5 = 15 — делиться на 3. Значит и само число должно делиться на 3. Действительно, 285 : 3 = 95 — число делится на 3 нацело.
  • В числе 460 сумма цифр равна 4 + 6 + 0 = 10 — не делится на 3. Значит и само число не должно делиться на 3. Действительно, 460 : 3 = 153 (ост. 1).

Решаем устно

1. Буквой n обозначили некоторое чётное число. Чётным или нечётным является число:

  1. n + 1 — нечётное число
  2. n + 2 — чётное число

2. Какой цифрой оканчивается произведение:

1) 1 • 2 • 3 • 4 • 5 • 6 • 7 — цифрой 0, так как в произведении есть множители 2 и 5, которые дают произведению 0 на конце.

2) 1 • 3 • 5 • 7 • 9 • 11 • 13 — цифрой 5, так как в произведении есть цифра 5, но нет цифры 2. Значит произведение будет кратно 5, но не кратно 10.

3. Какие из чисел 184, 162, 243, 145, 210, 144, 153, 105, 230, 201 делятся нацело:

1) на 2

184, 162, 210, 144, 230 — все чётные числа.

2) на 5

145, 210, 105, 230 — все числа, оканчивающиеся на 5 или на 0.

3) на 10

210, 230 — все числа, оканчивающиеся на 0.

4) на 3

162, 243, 210, 144, 153, 105, 201 — все числа, сумма цифр которых делится на 3.

5) на 9

162, 243, 144, 153 — все числа, сумма цифр которых делится на 9.

4. Какое из чисел 2 045, 4 750, 7 254, 6 225 делится нацело на 3, но не делится на 2?

6 225 — так как это нечётное число, сума цифр которого делится на 3.

5. Какую из цифр 5, 8, 2, 1 надо поставить вместо звёздочки, чтобы число 5 6*5 было кратным 9?

  • 5 + 6 + 5 = 16
  • Ближайшее кратное 9 число, большее 16 — это 18.
  • Значит нам не хватает цифры 2 (18 — 2 = 16).

Ответ: 5 625.

6. Сколько существует двузначных чисел, кратных числу:

1) 5

Это все двузначные числа, оканчивающиеся на 0 или на 5:

  • 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95 — всего 18 чисел.

2) 9

Это все двузначные числа, сумма цифр которых делится на 9:

  • 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99 — всего 10 чисел.

Упражнения

73. Заполните таблицу (поставьте знак «+» в случае утвердительного ответа или знак «—» в ином случае).

Мерзляк 6 класс - § 3. Признаки делимости на 9 и на 3

74. Заполните таблицу (поставьте знак «+» в случае утвердительного ответа или знак «—» » ином случае).

Мерзляк 6 класс - § 3. Признаки делимости на 9 и на 3

75. Из чисел 8 937, 6 585, 37 828, 44 292, 9 462, 58 395, 23 646 выпишите те, которые делятся нацело:

1) на 3

8 937, 6 585, 44 292, 9 462, 58 395, 23 646 — так как сумма их цифр делится на 3.

2) на 9

8 937 — так как сумма цифр этого числа делится на 9.

3) на 3 и на 2

44 292, 9 462, 23 646 — так как это чётные числа и сумма их цифр делится на 3.

76. Из чисел 7 826, 1 215, 4 075, 2 880, 3 921, 9 319, 6 072, 8 142 выпишите те, которые делятся нацело:

1) на 3

1 215, 2 880, 3 921, 6 072, 8 142 — так как сумма цифр этих чисел делится на 3.

2) на 9

1 215, 2 880 — так как сумма цифр этих чисел делится на 9.

3) на 9 и на 5

1 215, 2 880 — так как эти числа заканчиваются на 0 или на 5, а сумма их цифр делится на 9. 

77. Найдите все значения у, кратные:

1) числу 3, при которых верно неравенство 143 < у < 162

144, 147, 150, 153, 156, 159

2) числу 9, при которых верно неравенство 92 < у < 128

99, 108, 117, 126.

78. Найдите все значения m, кратные:

1) числу 3, при которых верно неравенство 324 < m < 345

327, 330, 333, 336, 339, 342.

2) числу 9, при которых верно неравенство 423 < m < 480

432, 441, 450, 459, 468, 477.

79. Вместо звёздочки поставьте такую цифру, чтобы получилось число, кратное 3 (рассмотрите все возможные случаи):

1) 54 84*

54 840, 54 843, 54 846, 54 849.

2) 3*6 393

306 393, 336 393, 366 393, 396 393.

3) 7 9*8

7 908, 7 938, 7 968, 7 998.

80. Вместо звёздочки поставьте такую цифру, чтобы получилось число, кратное 9 (рассмотрите все возможные случаи):

1) 62 8*1

62 811

2) 57* 582

570 582, 579 582.

3) 7 *51

7 551

81. Запишите:

  1. наименьшее число, для записи которого используется только цифра 2 и которое делится нацело на 3  — 222
  2. наименьшее трёхзначное число, которое делится нацело на 9 — 108

82. Какую цифру можно поставить вместо звёздочки в записи 6 27*. чтобы полученное число делилось нацело и на 3, и на 5?

Цифру 0, чтобы получилось число 6 270:

  • сумма цифр этого числа равна 15, то есть делится на 3;
  • на конце этого числа цифра 0, то есть делится на 5.

83. Какую цифру можно поставить вместо звёздочки в записи 21 85*. чтобы полученное число делилось нацело на 3, но не делилось нацело на 2?

Цифру 5, чтобы получилось число 21 855:

  • сумма цифр этого числа равна 21, то есть делится на 3;
  • это число нечётное, то есть не делится на 2.

84. Какую цифру можно поставить вместо звёздочки в записи 3 47*, чтобы полученное число делилось нацело и на 2, и па 3?

Цифру 4, чтобы получилось число 3 474:

  • это чётное число, то есть делится на 2;
  • сумма цифр этого числа равна 18, то есть делится на 3.

85. Запишите наименьшее:

  1. четырёхзначное число, кратное 3 — 1 023;
  2. пятизначное число, кратное 9 — 10 249;
  3. шестизначное число, кратное 3 и 2 — 102 354;
  4. четырёхзначное число, кратное 5 и 9 — 1 035.

Цифры в записи числа не могут повторяться.

86. Запишите наибольшее четырёхзначное число, которое делится нацело:

  1. на 2 и на 3 — 9 996; 
  2. на 3 и на 5 — 9 990; 
  3. на 3 и на 10 — 9 990;
  4. на 2 и на 9 — 9 990.

87. Какое наименьшее число надо прибавить к данному, чтобы получить число, кратное 9:

  1. 1 275 — число 3, так как 1 275 + 3 = 1 278 — делится на 9;
  2. 3 333 — число 6, так как 3 333 + 6 = 3 339 — делится на 9; 
  3. 25 718 — число 4, так как 25 718 + 4 = 25 722 — делится на 9; 
  4. 987 652 — число 8, так как 987 652 + 8 = 987 660 — делится на 9;
  5. 10 203 040 — число 8, так как 10 203 040 + 8 = 10 203 048 — делится на 9;
  6. 19 191 919 191 — число 3, так как 19 191 919 191 + 3 = 19 191 919 194 — делится на 9.

88. Запишите, используя по одному разу каждую из цифр 0, 1. 4, 7, наибольшее и наименьшее четырёхзначные числа, кратные 15.

  • Наибольшее четырёхзначное число, состоящее из цифр 0, 1, 4, 7 и кратное 15 — 7 410, так как оно делится и на 5, и на 3.
  • Наименьшее четырёхзначное число, состоящее из цифр 0, 1, 4, 7 и кратное 15 — 1 470, так как оно делится и на 5, и на 3.

89. К числу 15 допишите слева и справа по одной цифре так, чтобы получившееся число было кратно 15. Сколько решений имеет задача?

Чтобы число было кратно 15, надо чтобы оно делилось на 5 и на 3:

  • на 5 делятся числа, в конце которых стоит 0 или 5;
  • на 3 делятся числа, сумма цифр которых делится на 3.

Значит подходят числа:

  • 3 150, 6 150, 9 150,
  • 1 155, 4 155, 7 155.

Ответ: Задача имеет 6 решений: 3 150, 6 150, 9 150, 1 155, 4 155, 7 155.

90. К числу 34 припишите слева и справа по одной цифре так. чтобы получившееся число было кратно 45. Сколько решений имеет задача?

Чтобы число было кратно 45, надо чтобы оно делилось на 5 и на 9:

  • на 5 делятся числа, в конце которых стоит 0 или 5;
  • на 9 делятся числа, сумма цифр которых делится на 9.

Значит подходят числа:

  • 2 340
  • 6 345

Ответ: Задача имеет 2 решения: 2 340, 6 345.

91. Вместо звёздочек поставьте такие цифры, чтобы четырёхзначное число *74* делилось нацело на 18. Найдите все решения.

Чтобы число было делилось нацело на 18, надо чтобы оно делилось на 2 и на 9:

  • на 2 делятся все чётные числа, то есть числа оканчивающиеся на 0, 2, 4, 6 и 8;
  • на 9 делятся числа, сумма цифр которых делится на 9.

Значит подходят числа:

  • 7 740,
  • 5 742,
  • 3 744,
  • 1 746,
  • 8 748.

Ответ: Задача имеет 5 решения: 7 740, 5 742, 3 744, 1 746, 8 748.

92. Вместо звёздочек поставьте такие цифры, чтобы четырёхзначное число 3 *4* делилось нацело на 9. Найдите все решения.

  • Чтобы число делилось нацело на 9, надо чтобы сумма его цифр делилась на 9.
  • Мы знаем, что в числе 3 * 4* уже есть цифры 3 и 4. Сумма этих цифр равна 3 + 4 = 7.
  • Значит сумма оставшихся цифр может быть равна 2 либо 11.
  • Подойдут следующие варианты:
    • 3 042, 3 141, 3 240 — в которых сумма дописанных цифр равна 2, а общая сумма чисел равна 9;
    • 3 249, 3 348, 3 447, 3 546, 3 645, 3 744, 3 843, 3 942 — в которых сумма дописанных цифр равна 11, а их общая сумма равна 18.

93. Папа Карло купил три пакета кефира, пачку масла за 45 сольдо, несколько буханок хлеба по 24 сольдо, шесть коробков спичек. Может ли вся покупка стоить 200 сольдо?

Пусть папа Карло заплатил за покупку:

  • 3a сольдо за кефир, если он купил 3 пачки кефира по а сольдо за каждую;
  • 45 сольдо за масло;
  • 24b сольдо за хлеб, если он купил b буханок хлеба по 24 сольдо за каждую;
  • 6c сольдо за спички, если он купил 6 коробков по с сольдо за каждый.

Предположим, что такая покупка могла стоить ровно 200 сольдо. Тогда можно записать:

  • 3а + 45 + 24b + 6с = 200

Мы видим, что каждое из слагаемых кратно 3. Значит можно записать:

  • 3 • а + 3 • 15 + 3 • 8b + 3 • 2с = 200

Согласно распределительному свойству умножения, мы можем вынести число 3 за скобку:

  • 3 • (а + 15 + 8b + 2с) = 200

Чтобы найти сумму в скобках, придётся 200 : 3

  • (а + 15 + 8b + 2с) = 200 : 3

Это невозможно, так как 200 не делится на 3 нацело. 

Значит наше предположение неверно и такая покупка не могла стоить 200 сольдо.

Ответ: Вся покупка не может стоить 200 сольдо.

94. Сначала вычислили сумму цифр числа, равного произведению 1 • 2 • 3 • … • 999 • 1 000. Потом вычислили сумму цифр полученного числа. Так поступали до тех пор, пока не получили однозначное число. Что это за число?

Как мы видим, в данном произведении находятся множители кратные всем натуральным числам, в том числе и кратные 2, 3, 5, 9 и 10. 

  • Это значит, что произведение будет чётным числом, оканчивающимся на 0.
  • Кроме того, сумма цифр этого числа будет делиться на 3 и 9, согласно признаку делимости чисел на 3 и на 9.
  • Отметим, что не все числа, делящиеся на 3, делятся и на 9, но все числа делящиеся на 9 точно делятся на 3. Так что для нас важно, что установить, что произведение будет точно делиться на 9.

Так как сумма цифр числа произведения делится на 9, то и число, обозначающее эту сумму цифр тоже будет обязательно делиться на 9. 

После многократного повторения такого действия в результате останется число, сумма цифр которого равна 9.

Это значит, что в результате получиться число 9.

Ответ: 9.

95. Рома и Дима записывают девятнадцатизначное число, используя только цифры 1, 2 и 4. Первую цифру пишет Рома, вторую — Дима, третью — снова Рома и так далее по очереди. Рома хочет получить в результате число, кратное 3. Может ли Дима помешать ему это сделать?

Представим, как могут развиваться события: 

Вариант 1:

1 ход: Рома может поставить любую цифру, например 1;

2 ход: Дима хочет помешать и ставит цифру, которая сделает число не кратным 3, например 4;

3 ход: Рома видит, что сумма записанных цифр равна 5 и ставит цифру 1 или цифру 4, что позволит ему исправить ситуацию.

Игра продолжается и каждый раз Дима делает сумму цифр не кратную 3, а Рома исправляет ситуацию.

19 ход. Рома ходит последним и делает сумму цифр полученного числа кратную 3.

Рома выигрывает, поскольку он ходит последним, а цифр 1, 2 и 4 ему достаточно, чтобы сделать кратным число, некратное 3.

Вариант 2:

1 ход: Рома может поставить любую цифру, например 1;

2 ход: Дима, несмотря на своё намерение помешать, делает так, чтобы сумма записанных цифр была кратна 3;

3 ход: Роме приходится писать любую цифру, так как ни одно из разрешённых цифр не кратно 3.

Игра продолжается и каждый раз Дима делает сумму цифр кратную 3, а от действий Ромы ничего не зависит.

18 ход. Дима опять делает так, чтобы сумма записанных цифр была кратна 3.

19 ход. Рома проигрывает, так как какие бы из цифр 1, 2 или 4 он не записал, сумма всех цифр уже не будет кратной 3.

Вывод:

Для того, чтобы Дима смог помешать Роме, ему надо «поддаться» и на каждом ходу сделать сумму цифр кратную 3. Тогда Рома, который ходит последним, не сможет исправить ситуацию.

Ответ: да, Дима сможет это сделать.

Упражнения для повторения

96. Как изменится — увеличится или уменьшится — и на сколько девятизначное число, последняя цифра которого 0, а предпоследняя — 5, если эти две цифры поменять местами?

Пусть все неизвестные цифры этого девятизначного числа будут спрятаны за х. Тогда можно записать:

  • исходное девятизначное число — ххххххх50
  • новое девятизначное число — ххххххх05

Мы видим, что исходное число больше, чем новое. Выполним вычитание столбиком:

Мерзляк 6 класс - § 3. Признаки делимости на 9 и на 3

Ответ: число уменьшится на 45.

97. Река Иртыш на 598 км длиннее реки Оби. Найдите длину каждой из этих рек, если их общая длина равна 7 898 км.

Мерзляк 6 класс - § 3. Признаки делимости на 9 и на 3

Пусть длина Оби х км, тогда длина Иртыша (х + 598 км). Можем составить уравнение:

х + (х + 598) = 7 898
2х + 598 = 7 898
2х = 7 898 — 598
2х = 7 400
х = 7 400 : 2
х = 3 700 (км) — длина Оби.

3 700 + 598 = 4 298 (км) — длина Иртыша.

Мерзляк 6 класс - § 3. Признаки делимости на 9 и на 3

Ответ: длина Иртыша — 4 298 км, а длина Оби — 3 700 км.

98. По маршруту Орёл — Тула — Москва выехал автомобиль. Какое расстояние между Орлом и Тулой, если оно на 5 км больше расстояния между Тулой и Москвой, а длина всего маршрута составляет 345 км?

Мерзляк 6 класс - § 3. Признаки делимости на 9 и на 3

Пусть х км расстояние между Тулой и Москвой. Тогда (х + 5) — расстояние между Орлом и Тулой. Можем составить уравнение:

х + (х + 5) = 345
2х + 5 = 345
2х = 345 — 5
2х = 340
х = 340 : 2
х = 170 (км) — расстояние межу Тулой и Москвой.

170 + 5 = 175 (км) — расстояние между Орлом и Тулой.

Ответ: между Москвой и Тулой 175 км.

99. Вычислите:

Мерзляк 6 класс - § 3. Признаки делимости на 9 и на 3

Готовимся к изучению новой темы

100. Упростите выражение, заменив произведение одинаковых множителей степенью:

7\cdot 7\cdot 7\cdot 7\cdot 7=7^{5}

10\cdot 10\cdot 10=10^{3}

a\cdot a\cdot a\cdot a=a^{4}

x\cdot x\cdot x\cdot x\cdot x\cdot x = x^{6}

101. Найдите значение выражения:

2^{5}=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=32

7^{2}=7\cdot 7=49

0,6^{2}=0,6\cdot 0,6=0,36

0,5^{3}=0,5\cdot 0,5\cdot 0,5=0,125

1,5^{4}=1,5\cdot 1,5\cdot 1,5\cdot 1,5=5,0625

1,2^{3}=1,2\cdot 1,2\cdot 1,2=1,728

0^{6}=0\cdot 0\cdot 0\cdot 0\cdot 0\cdot 0=0

1^{12}=1\cdot 1\cdot 1\cdot 1\cdot 1\cdot 1\cdot 1\cdot 1\cdot 1\cdot 1\cdot 1\cdot 1=1

102. Запишите число 64 в виде степени с основанием:

1) 8

64=8^{2}

2) 4

64=4^{3}

3) 2

64=2^{6}

Задача от мудрой совы

103. В чемпионате страны по футболу принимают участие 16 команд, каждая из которых имеет свой стадион. Все команды должны сыграть между собой, причём в каждом туре проводятся 8 игр. Можно ли составить расписание туров так, чтобы каждая команда по очереди играла на своём стадионе и на стадионе соперника?

Предположим, что возможно составить такое расписание. Для удобства разделим команды на 2 группы: красную и синюю. По 8 команд в каждой.

  • 1, 3, 5 и 7 тур: Команды красной группы играют на своём поле с командами из синей группы, то есть синие будут играть на поле соперника.
  • 2, 4, 6 и 8 тур: Команды синей группы играют на своём поле с командами из красной группы, то есть красные будут играть на поле соперника.

После 8 тура получится, что любая команда из красной группы уже сыграла с каждой командой из синей группы и наоборот.

Это значит, что дальше команды из красной группы должны играть между собой, а команды из синей группы — между собой.

Но, так как все команды одной группы одинаково чередовали свой и чужой стадион, то получиться, что у одного из соперников порядок чередования нарушится. Например, если должны сыграть 1 и 2 команда из красной группы, то они будут играть на стадионах:

  1. свой — чужой — свой — чужой — свой — чужой — свой — чужой — свой;
  2. свой — чужой — свой — чужой — свой — чужой — свой — чужой — чужой.

То есть второй команде из красной группы придётся 2 раза подряд сыграть на стадионе соперника. 

Это противоречит нашему предположению. Значит такое расписание составить невозможно.

Ответ: нет, невозможно.