Мерзляк 6 класс — § 5. Наибольший общий делитель

• Ответы к учебнику для 6 класса. А. Г. Мерзляк
• Переход на главную страницу сайта

Вопросы к параграфу

1. Какое число называют наибольшим общим делителем двух чисел?

Наибольший общий делитель двух чисел (НОД) — это наибольшее число, на которое нацело делятся оба этих числа.

2. Как можно найти НОД двух натуральных чисел, используя их разложения на простые множители?

Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) надо:

1. Разложить оба числа на простые множители и записать их в виде произведения степеней.
2. Определить степени, основания которых являются одинаковыми в обоих произведениях.
3. Выбрать из каждой пары степеней с одинаковыми основаниями степень с меньшим показателем.
4. Перемножить выбранные степени.

Полученное число и будет НОД двух данных чисел.

Например найдём наибольший общий множитель для чисел 18 и 24, используя данное правило:

1. Разложим оба числа на простые множители и записать их в виде произведения степеней.

2. Определим степени, основания которых являются одинаковыми в обоих произведениях (соответствующие одинаковые основания степеней подчёркнуты линиями зелёного и фиолетового цвета).

3. Выберем из каждой пары степеней с одинаковыми основаниями степень с меньшим показателем.

4. Перемножить выбранные степени.

Значит набольший общий делитель чисел 18 и 24 равен 6.

Ответ: НОД (18, 24) = 6

3. Какие числа называют взаимно простыми?

Взаимно простые — это числа, у которых наибольший общий делитель равен 1.

4. Чему равен наибольший общий делитель двух чисел, одно из которых кратно другому?

Если одно из чисел кратно другому, то наибольшим общим делителем будет меньшее из этих чисел.

Решаем устно

1. Какие из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 11, 14, 15, 17, 31, 32, 33 являются простыми, а какие — составными?

Простые числа:

1, 2, 3, 5, 11, 17, 31.

Составные числа:

4, 6, 10, 14, 15, 32, 33.

2. Назовите все простые значения х, при которых будет верным неравенство 40 < х < 50.

41, 43, 47, 49.

3. Назовите все составные значения у, при которых будет верным неравенство 15 < у < 25.

19, 18, 20, 21, 22, 24.

4. Какие одинаковые цифры надо поставить вместо звёздочек, чтобы было верным равенство 2,* + 4,* = 7,6?

Надо поставить цифры 8, так как 2,8 + 4,8 = 7,6.

5. Является ли данное разложение на множители разложением на простые множители:

1) 120 = 2 • 3 • 4 • 5

Нет, так как разложение на простые множители записывается в виде степеней, основаниями у которых являются простые числа, а число 4 — составное число.

2) 567 = 7 • 9

Нет, так как разложение на простые множители записывается в виде степеней, основаниями у которых являются простые числа, а число 9 — составное число.

3) 180 = 3 • 6 • 10

Нет, так как разложение на простые множители записывается в виде степеней, основаниями у которых являются простые числа, а числа 6 и 10 — составные.

6. Сколько всего делителей у числа а, если а = 3 • 5 • 19?

Делителями числа являются все возможные произведения его простых делителей, а также единицы:

1. 1
2. 3
3. 3 • 5
4. 3 • 19
5. 3 • 5 • 19
6. 5
7. 5 • 19 = 95

Ответ: у этого числа всего 7 делителей.

Упражнения

138. Найдите наибольший общий делитель чисел:

139. Найдите наибольший общий делитель чисел:

140. Найдите наибольший общий делитель чисел а и b:

1) а = 2 • 2 • 3 • 5 • 7 • 19 и b = 2 • 3 • 3 • 7 • 11 • 13;

НОД(a, b) = 2 • 3 • 7 = 42

2) и

НОД(a, b) = 2² • 3² • 11² • 19 = 4 • 9 • 121 • 19 = 82 764

141. Найдите наибольший общий делитель чисел:

142. Найдите наибольший общий делитель чисел:

143. Среди данных пар чисел выберите пары взаимно простых чисел. Для пар чисел, не являющихся взаимно простыми, укажите наибольший общий делитель.

144. Составьте все пары взаимно простых чисел из чисел 12, 14, 33, 25.

Разложим числа на простые множители:

Взаимно простыми называются числа, у которых наибольший общий множитель равен 1. Значит взаимно простыми будут следующие пары чисел:

• 12 и 25;
• 14 и 33;
• 14 и 25;
• 33 и 25.

145. Составьте все пары взаимно простых чисел из чисел 15, 16, 21, 77.

Разложим числа на простые множители:

Взаимно простыми называются числа, у которых наибольший общий множитель равен 1. Значит взаимно простыми будут следующие пары чисел:

• 15 и 16;
• 15 и 77;
• 16 и 21;
• 16 и 77.

146. Запишите все правильные дроби со знаменателем 15, у которых числитель и знаменатель — взаимно простые числа.

147. Запишите все неправильные дроби с числителем 16, у которых числитель и знаменатель — взаимно простые числа.

148. Докажите, что:

1) числа 364 и 495 — взаимно простые

Числа 364 и 495 не имеют общих множителей, больших 1.

2) числа 380 и 399 не являются взаимно простыми

Числа 380 и 399 имеют общий множитель больший, чем 1. Это число 19. Значит они не являются взаимно простыми числами.

149. Докажите, что:

1) числа 945 и 572 — взаимно простые

Числа 945 и 572 не имеют общих множителей, больших 1.

2) числа 1 095 и 738 не являются взаимно простыми

Числа 1 095 и 738  имеют общий множитель больший, чем 1. Это число 3. Значит они не являются взаимно простыми числами.

150. Используя цифры 2, 3, 4, запишите все возможные двузначные числа (цифры в каждом двузначном числе должны быть различными). Из полученных чисел выпишите пары взаимно простых чисел.

Из цифр 2, 3, 4 можно записать двузначные числа (если цифры ы каждом различны):

• 23, 24, 
• 32, 34,
• 42, 43.

Из них взаимно простыми будут пары чисел:

1. 23 и 24;
2. 23 и 32;
3. 23 и 34;
4. 23 и 42;
5. 23 и 43;
6. 43 и 24;
7. 43 и 32;
8. 43 и 34;
9. 43 и 42.

Так как 223 и 43 — простые числа, а остальные числа чётные — значит между собой не могут быть взаимно простыми.

151. Напишите три нары составных чисел такие, что в парах числа являются взаимно простыми.

Например, такими числами могут быть:

• 16 и 25;
• 80 и 81;
• 28 и 333.

152. Между учениками 6 класса поделили поровну 155 тетрадей и 62 ручки. Сколько в этом классе учеников?

Разложим числа 155 и 62 на простые множители:

Наибольший общий делитель для этих чисел равен 31: НОД (155, 62) = 31.

Значит в классе 31 ученик.

Ответ: 31 ученик.

153. На автомобили погрузили 96 контейнеров с картофелем и 64 контейнера с капустой. Сколько было автомобилей, если известно, что их не меньше 20 и на всех автомобилях было одинаковое количество контейнеров с картофелем и одинаковое количество контейнеров с капустой?

1) Найдём все общие делители для чисел 96 и 64:

2) Значит общими делителями для чисел 96 и 64 могут быть числа:

• 2¹ = 2
• 2² = 2 • 2 = 4
• 2³ = 2 • 2 • 2 = 8
• = 2 • 2 • 2 • 2 = 16
• = 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 32

3) Из чисел 2, 4, 8, 16 и 32 только число 32 > 20. Значит всего могло быть только 32 автомобиля.

Ответ: 32 автомобиля.

154. Между школьными библиотеками разделили 92 толковых и 138 орфографических словарей русского языка. Сколько было школ, если известно, что их не менее 25 и все школы получили одинаковые комплекты, состоящие из словарей двух видов?

1) Найдём все общие делители для чисел 92 и 138:

2) Значит общими делителями для чисел 92 и 138 могут быть числа:

• 2
• 23
• 2 • 23 = 46

3) Из чисел 2, 23 и 46 только число 46 > 25. Значит всего могло быть только 46 школ.

Ответ: 46 школ.

155. Для новогодних подарков приобрели 96 шоколадок, 72 апельсина и 84 банана. Какое наибольшее количество одинаковых подарков можно из них составить, если необходимо использовать все продукты? Сколько в отдельности шоколадок, апельсинов и бананов будет в каждом подарке?

1) Найдём наибольший общий делитель (НОД) для чисел 96, 72 и 84:

Значит наибольшее количество подарков, которые можно сформировать из всех продуктов, будет 12 штук.

2) Посчитаем, сколько шоколадок, апельсинов и бананов будет в каждом подарке:

• 96 : 12 = 8 (шт.) — шоколадок будет в каждом подарке.
• 72 : 12 = 6 (шт.) — апельсинов будет в каждом подарке.
• 84 : 12 = 7 (шт.) — бананов будет в каждом подарке.

Ответ: Всего получиться 12 подарков, в каждом подарке будет по: 8 шоколадок, 6 апельсинов и 7 бананов.

156. Из 156 жёлтых, 234 белых и 390 красных роз составляли букеты. Какое наибольшее количество одинаковых букетов можно составить, если необходимо использовать все цветы?

Найдём наибольший общий делитель (НОД) для чисел 156, 234 и 390:

Значит наибольшее количество букетов, которые можно составить, если необходимо использовать все цветы — 78 штук.

Ответ: 78 букетов.

Упражнения для повторения

157. Используя цифры 2, 5 и 9 (цифры не могут повторяться), запишите трехзначное число, которое:

1) кратно 2

952 или 892 — чтобы число было кратно 2, на конце должна быть чётная цифра.

2) кратно 5

295 или 925 — чтобы число было кратно 5, а конце должна быть цифра 5 или 0, но среди заданных цифр нуля нет.

Можно ли с помощью этих цифр записать число, кратное 3

Чтобы число делилось на 3 надо, чтобы сумма его цифр делилась на 3.

2 + 5 + 9 = 7 + 9 = 16 — не делится на 3, значит ни одно трёхзначное число, составленное из этих цифр, не будет делится на 3.

158. Какую цифру можно поставить вместо звёздочки в записи 1*8, чтобы полученное число делилось нацело на 18?

Чтобы число делилось на 18 надо, чтобы число было чётным и сумма его цифр делилась на 9.  Проверим последовательно все возможные варианты цифр на месте звёздочки:

• если вместо звёздочки поставить 0, то получим чётное число 108, а 1 + 8 = 9 делится на 9 — значит на месте звёздочки может быть цифра 0;
• если вместо звёздочки поставить 1, то получим чётное число 118, а 1 + 1 + 8 = 10 не делится на 9 — значит на месте звёздочки не может быть цифра 1;
• если вместо звёздочки поставить 2, то получим чётное число 128, а 1 + 2 + 8 = 11 не делится на 9 — значит на месте звёздочки не может быть цифра 2;
• если вместо звёздочки поставить 3, то получим чётное число 138, а 1 + 3 + 8 = 12 не делится на 9 — значит на месте звёздочки не может быть цифра 3;
• если вместо звёздочки поставить 4, то получим чётное число 148, а 1 + 4 + 8 = 13 не делится на 9 — значит на месте звёздочки не может быть цифра 4;
• если вместо звёздочки поставить 5, то получим чётное число 158, а 1 + 5 + 8 = 14 не делится на 9 — значит на месте звёздочки не может быть цифра 5;
• если вместо звёздочки поставить 6, то получим чётное число 168, а 1 + 6 + 8 = 15 не делится на 9 — значит на месте звёздочки не может быть цифра 6;
• если вместо звёздочки поставить 7, то получим чётное число 178, а 1 + 7 + 8 = 16 не делится на 9 — значит на месте звёздочки не может быть цифра 7;
• если вместо звёздочки поставить 8, то получим чётное число 188, а 1 + 8+ 8 = 17 не делится на 9 — значит на месте звёздочки не может быть цифра 8;
• если вместо звёздочки поставить 9, то получим чётное число 198, а 1 + 9 + 8 = 18 делится на 9 — значит на месте звёздочки может быть цифра 9.

Ответ: вместо звездочки можно поставить цифру 0 или 9.

159. Запишите число 19 в виде суммы трёх простых чисел.

19 = 3 + 5 + 11

160. Если к некоторому двузначному числу справа дописать нуль, то данное число увеличится на 432. Найдите это число.

Пусть х — искомое двузначное число, тогда 10х — число, которое получиться из искомого, если справа к нему дописать нуль. Мы знаем, что 10х на 432 больше, чем х. Можем составить уравнение:

Значит искомое число равно 48.

Ответ: 48.

161. Найдите числа, которых недостаёт в цепочке вычислений:

Составим уравнения и решим их:

Ответ: a = 0,05; b = 0,34; c = 0,04.

Составим уравнения и решим их:

Ответ: a = 1,5; x = 0,4; y = 0,05.

Задача от мудрой совы

162. Барон Мюнхгаузен рассказывал, что он разрезал арбуз на четыре части, а после того, как его съели, осталось пять корок. Может ли такое быть, если корки не ломать?

Да, это возможно. Для того, чтобы разрезать арбуз на 4 части, а потом получить 5 корок, надо:

• вырезать сердцевину арбуза, например в виде цилиндра (на рисунке обозначено красными линиями), чтобы после того, как этот кусок будет съеден, осталось 2 корки — верхняя и нижняя;
• разрезать оставшуюся часть арбуза ещё на 3 части (на рисунке линии разрезов обозначены синим).

Итого получиться:

• 4 куска — 1 центральный и 3 боковых
• 5 корок — верхняя, нижняя и 3 боковых.

Ответ: да, это возможно.

• Ответы к учебнику для 6 класса. А. Г. Мерзляк
• Переход на главную страницу сайта