Мерзляк 5 класс — § 19. Деление с остатком

Вопросы к параграфу

1. Каким свойством обладает неполное частное при делении с остатком?

Неполное частное — это наибольшее число, произведение которого на делитель меньше делимого.

2. Сравните остаток и делитель.

Остаток всегда меньше делителя.

3. Сформулируйте правило нахождения делимого при делении с остатком.

Чтобы найти делимое, надо делитель умножить на неполное частное и прибавить остаток.

4. Как записывают в буквенном виде правило нахождения делимого?

a = bq + r

  • a — делимое
  • b — делитель
  • q — неполное частное
  • r — остаток. Внимание! r <b

5. В каких случаях говорят, что одно натуральное число делится нацело на другое?

Одно натуральное число делится нацело на другое, если остаток при делении равен нулю.

Решаем устно

1. Найдите числа, которых не хватает в цепочке вычислений:

Мерзляк 5 класс - § 19. Деление с остатком

2. В числе 72 560 000 зачеркнули три последних нуля. Как изменилось, увеличилось или уменьшилось, это число и во сколько раз?

72 560 000 = 72 560 — при зачёркивании трёх последних нулей число 72 560 000 уменьшилось в 1 000 раз.

3. Один насос за 1 мин перекачивает 120 л воды, а второй — 180 л. За какое время они вместе могут наполнить водой цистерну, ёмкость которой равна 6 000 л?

1) 120 + 180 = 300 (л) — перекачают два насоса вместе за 1 минуту.

2) 6 000 : 300 = 20 (минут) — потребуется двум насосам, чтобы наполнить цистерну.

Ответ: за 20 минут.

4. Уменьшаемое на 129 больше вычитаемого. Чему равна разность?

Разность равна 129.

5. Делитель в 48 раз меньше делимого. Чему равно частное?

Частное равно 48.

6. В первый день турист был в дороге 7 ч, а во второй — 4 ч, двигаясь с такой же скоростью, как и в первый день. Во второй день турист прошёл на 12 км меньше, чем в первый. С какой скоростью двигался турист?

1) 7 — 4 = 3 (часа) — меньше двигался турист в второй день.

2) 12 : 3 = 4 (км/ч) — скорость туриста.

Ответ: 4 км/ч.

Упражнения

521. Выполните деление с остатком:

Мерзляк 5 класс - § 19. Деление с остатком

522. Выполните деление с остатком:

Мерзляк 5 класс - § 19. Деление с остатком

523. 1) Найдите остаток при делении на 10 числа: 31; 47; 53; 148; 1 596; 67 389; 240 750.

  • 31 = 10 • 3 + 1
  • 47 = 10 • 4 + 7
  • 53 = 10 • 5 + 3
  • 148 = 10 • 14 + 8
  • 1 596 = 10 • 159 + 6
  • 67 389 = 10 • 6 738 + 9
  • 240 750 = 10 • 24 075 + 0

2) Найдите остаток при делении на 5 числа: 14; 61; 86; 235; 2 658; 54 769; 687 903.

  • 14 = 5 • 2 + 4
  • 61 = 5 • 12 + 1
  • 86 = 5 • 17 + 1
  • 235 = 5 • 47 + 0
  • 2 658 = 5 • 531 + 3
  • 54 769 = 5 • 10 953 + 4
  • 687 903 = 5 • 137 580 + 3

524. Найдите остаток при делении на 100 числа: 106; 202; 421; 836; 2 764; 100 098; 672 305; 1 306 579; 562 400.

  • 106 = 100 • 1 + 6
  • 202 = 100 • 2 + 2
  • 421 = 100 • 4 + 21
  • 836 = 100 • 8 + 36
  • 2 764 = 100 • 27 + 64
  • 100 098 = 100 • 1 000 + 98
  • 672 305 = 100 • 6 723 + 5
  • 1 306 579 = 100 • 13 065 + 79
  • 562 400 = 100 • 5 624 + 0

525. Запишите остатки, которые можно получить при делении на:

  1. 7: остатком могут быть числа — 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
  2. 13: остатком могут быть числа — 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12
  3. 24: остатком могут быть числа — 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23

526. Запишите остатки, которые можно получить при делении на:

  1. 5: остатком могут быть числа — 0, 1, 2, 3, 4
  2. 19: остатком могут быть числа — 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18

527. Блокнот стоит 130 р. Сколько блокнотов можно купить на 700 р.?

700 = 130 • 5 + 50

Значит на 700 рублей можно купить 5 блокнотов и получить сдачу 50 рублей.

Ответ: 5 блокнотов.

528. На один грузовик можно нагрузить 5 т песка. Какое наименьшее количество требуется таких грузовиков, чтобы перевезти 42 т песка?

42 = 5 • 8 + 2

Значит, что для того, чтобы перевести 42 тонны песка потребуется 8 + 1 = 9 грузовиков (в 8 грузовиков поместится только 40 кг песка).

Ответ: 9 грузовиков.

529. В один ящик помещается 20 кг яблок. Какое наименьшее количество надо таких ящиков, чтобы разложить в них 176 кг яблок?

176 = 20 • 8 + 16

Значит, для того, чтобы разложить в ящики 176 кг яблок потребуется 8 + 1 = 9 ящиков (в 8 ящиков поместиться только 160 кг яблок).

Ответ: 9 ящиков.

530. Заполните таблицу.

Мерзляк 5 класс - § 19. Деление с остатком

531. Найдите делимое, если делитель равен 12, неполное частное — 7, а остаток — 9.

12 • 7 + 9 = 84 + 9 = 93

Ответ: делимое 93.

532. Найдите делимое, если делитель равен 18, неполное частное — 4, а остаток — 11.

18 • 4 + 11 = 72 + 11 = 83

Ответ: делимое 83.

533. Выразите делимое через неполное частное, делитель и остаток в виде равенства а = bq + r, где а — делимое, b — делитель, q — неполное частное, r — остаток, если а = 82, b = 8.

82 = 8q + r

Можно также найти значение q и r:

  • q = 10
  • r = 2

Равенство будет записано так:

82 = 8 • 10 + 2

534. Выразите делимое через неполное частное, делитель и остаток в виде равенства a = bq + r, где а — делимое, b — делитель, q — неполное частное, г — остаток, если а = 45, b= 7.

45 = 7q + r

Можно также найти значение q и r:

  • q = 6
  • r = 3

Равенство будет записано так:

45 = 7 • 6 + 3

535. При каком наименьшем натуральном а значение выражения:

1) 48 + а делится нацело на 6: при а = 6, так как 46 + 6 = 54 = 6 • 9 + 0, то есть деление даёт остаток 0.

2) 65 — а делится нацело на 8: при а = 1, так как 65 — 1 = 64 = 8 • 8 + 0, то есть деление даёт остаток 0.

3) 96 — а при делении на 9 даёт остаток 4: при а = 2, так как 96 — 2 = 94 = 9 • 10 + 4, то есть деление даёт остаток 4.

536. При каком наименьшем натуральном а значение выражения:

1) 53 + а делится нацело на 7: при а = 3, так как 53 + 3 = 56 = 7 • 8 + 0, то есть деление даёт остаток 0.

2) а + 24 при делении на 5 даёт остаток 2: при а = 3, так как 3 + 24 = 27 = 5 • 5 + 2, то есть деление даёт остаток 2.

537. Катя разделила число 211 на некоторое число и получила в остатке 26. На какое число делила Катя?

Мы знаем, что правило нахождения делимого можно записать a = bq + r.

В нашем примере делимое а = 211, а остаток r = 26. Можем найти bq:

bq = а — r = 211 — 26 = 185.

Мы знаем, что остаток всегда меньше делителя, то есть r < b. Это значит, что искомый делитель b должен быть больше числа 26 (остатка).

Подберём два множителя, один из которых больше 26, а произведение которых равно 185:

37 • 5 = 185.

Проверка: 

211 = 37 • 5 + 26

Ответ: Катя делила на число 37.

538. Миша разделил число 111 на некоторое число и получил в остатке 7. На какое число делил Миша?

Мы знаем, что правило нахождения делимого можно записать a = bq + r.

В нашем примере делимое а = 111, а остаток r = 7. Можем найти bq:

bq = а — r = 111 — 7 = 104.

Мы знаем, что остаток всегда меньше делителя, то есть r < b. Это значит, что искомый делитель b должен быть больше числа 7 (остатка).

Подберём два множителя, один из которых больше 7, а произведение которых равно 104:

  • 104 • 1 = 104.
  • 52 • 2 = 104.
  • 26 • 4 = 104.
  • 13 • 8 = 104.
  • 8 • 13 = 104.

Проверка: 

  • 111 = 104 • 1 + 7
  • 111 = 52 • 2 + 7
  • 111 = 26 • 4 + 7
  • 111 = 13 • 8 + 7
  • 111 = 8 • 13 + 7

Ответ: Миша мог делить число 111 на числа: 8, 13, 26, 52 и 104.

539. Павел разделил число 70 на некоторое число и получил в остатке 4. На какое число делил Павел?

Мы знаем, что правило нахождения делимого можно записать a = bq + r.

В нашем примере делимое а = 70, а остаток r = 4. Можем найти bq:

bq = а — r = 70 — 4 = 66.

Мы знаем, что остаток всегда меньше делителя, то есть r < b. Это значит, что искомый делитель b должен быть больше числа 4 (остатка).

Подберём два множителя, один из которых больше 4, а произведение которых равно 66:

  • 66 • 1 = 66.
  • 33 • 2 = 66.
  • 22 • 3 = 66.
  • 11 • 6 = 66.
  • 6 • 11 = 66.

Проверка: 

  • 66 = 66 • 1+ 4
  • 66 = 33 • 2 + 4
  • 66 = 22 • 3 + 4
  • 66 = 11 • 6 + 4
  • 66 = 6 • 11 + 4

Ответ: Павел мог делить число 70 на числа: 6, 11, 22, 33 и 66.

540. Какое наибольшее количество понедельников может быть в году?

Невисокосный год включает в себя 365 дней, а високосный — 366 дней. Посчитаем сколько это недель:

  • 365 = 7 • 52 + 1
  • 366 = 7 • 52 + 2

Это значит, что если год невисокосный, то наибольшее количество понедельников может быть 53, но только при условии, что этот год начинается с понедельника.

Если год високосный, то наибольшее количество понедельников также 53, но год может начинаться либо с понедельника, либо со вторника.

Ответ: 53 понедельника.

541. В одном осеннем месяце суббот и понедельников оказалось больше, чем пятниц. Каким днём недели было девятнадцатое число этого месяца? Какой это был месяц?

Осенние месяцы: сентябрь, октябрь и ноябрь. В сентябре и ноябре по 30 дней, а в октябре — 31 день. Посчитаем сколько недель может быть в этих месяцах:

  • 30 = 7 • 4 + 2
  • 31 = 7 • 4 + 3

То есть в сентябре и ноябре 4 недели и 2 дня, а в октябре 4 недели и 3 дня. 

По условию, суббот и понедельников в этом месяце больше, чем пятниц. Значит, это должен быть октябрь и начинаться он должен в субботу. В этом случае пятниц будет 4 штуки, а суббот и понедельников по 5 штук.

Выясним, каким днём недели будет 19-е число:

  • 19 = 7 • 2 + 5

Мы выяснили, что месяц должен начинаться в субботу, значит 19-у число — это пятый день от субботы включительно. Значит 19-е число будет в среду.

Ответ: Девятнадцатое число — это суббота, а месяц — октябрь.

542. Известно, что число а — делимое, число b — делитель, причём а < b. Найдите неполное частное и остаток при делении числа а на число b.

Правило нахождения делимого:  a = bq + r.

По условию делимое а меньше делителя b. Это возможно только в том случае, если делимое равно нулю, а остаток равен самому делимому а:

a = 0 • q + r
a = r

Ответ: неполное частное равно 0, а остаток равен а.

543. Докажите, что последняя цифра числа а равна остатку при делении этого числа на 10.

Для того, чтобы разделить число оканчивающееся нулём на 10, надо отбросить ноль, находящийся в разряде единиц, и записать получившееся число. Например:

  • 70 : 10 = 7
  • 150 : 10 = 15
  • 1 760 : 10 = 176
  • и т.д.

Мы знаем, что правило нахождения делимого:  a = bq + r и при делении нацело остаток r = 0. Это значит, что правило нахождения делимого при делении на 10 числа, оканчивающегося на ноль будет записываться так:

  • a = b • 10 + 0

Если же мы будет делить на 10 число не оканчивающееся нулём, то можем представить его как сумму числа, оканчивающуюся нулём и остаток:

  • 75 = 70 + 5 = 7 • 10 + 5
  • 123 = 120 + 3 = 12 • 10 + 3
  • 6534 = 6530 + 4 = 653 • 10 +4

Мы видим, что последняя цифра всегда равна остатку при делении этого числа на 10.

  • a = b • 10 + r, где r  — это количество единиц в записи числа. 

544. Придумайте буквенное выражение, при подстановке в которое вместо буквы любого натурального числа получится числовое выражение, значение которого:

1) при делении на 3 даёт в остатке 1

3х + 1

2) при делении на 8 даёт в остатке 3

8х + 3

3) при делении на 11 даёт в остатке 7

11х + 7

Упражнения для повторения

545. Упростите выражение и найдите его значение:

1) 14а • 6b, если а = 2, b = 3

14а • 6b = 84аb 

если а = 2, b = 3

84аb = 84 • 2 • 3 = 84 • 6 = 504

2) 25m • 3n, если m = 8, n = 1

25m • 3n = 75mn

если m = 8, n = 1

75mn = 75 • 8 • 1 = 75 • 8 = 600

3) 5х + 8х — 3х, если x = 17

5х + 8х — 3х = 13x — 3x = 10x

если x = 17

10x = 10 • 17 = 170

4) 16y — y + 5у, если у = 23

16y — y + 5у = 15y + 5y = 20y

если у = 23

20y = 20 • 23 = 460

546. Периметр прямоугольника равен 54 см, а его ширина на 3 см меньше длины. Найдите стороны прямоугольника.

Мерзляк 5 класс - § 19. Деление с остатком

Пусть ширина прямоугольника равна х см, тогда длина прямоугольника — (х + 3) см. По условию, периметр прямоугольника 54 см. Сумма длины и ширины прямоугольника равна половине его периметра.

Составим уравнение:

х + (х + 3) = 54 : 2
х + х + 3 = 27
2х + 3 = 27
2х = 27 — 3
2х = 24
х = 24 : 2
х = 12 (см) — ширина прямоугольника.

х + 3 = 12 + 3 = 15 (см) — длина прямоугольника.

Ответ: длина прямоугольника 15 см, а ширина — 12 см.

Задача от мудрой совы

547. Известно, что верёвка сгорает за 4 мин и горит при этом неравномерно. Как с помощью:

1) одной верёвки отмерить 2 мин

Можно поджечь эту верёвку одновременно с друх сторон. Тогда эта верёвка сгорит ровно за половину отведённого времени 4 : 2 = 2 (минуты). 

2) двух таких верёвок отмерить 3 мин?

Можно поджечь одновременно первую веревку с двух сторон, а вторую с одной стороны.

Когда же первая верёвка догорит (через 2 минуты) вторую верёвку надо поджечь с другой стороны.

Скорость сгорания её остатка уменьшится в 2 раза и она догорит через 2 : 2 = 1 (минуту).

В результате вторая верёвка догорит через 3 минуты от начала эксперимента.