Мерзляк 5 класс — § 2. Цифры. Десятичная запись натуральных чисел

Опубликовано автором

Вопросы к параграфу

  1. Сколько знаков используют для записи натуральных чисел в десятичной системе? Как называют эти знаки? — для записи натуральных чисел используют 9 знаков, их называют цифры.
  2. Какие натуральные числа называют однозначными? Двузначными? Трёхзначными? Многозначными? 
    • однозначные числа — это числа, записанные одной цифрой: 1, 2, 5 и т.д.
    • двузначные числа — это числа, записанные двумя цифрами: 12, 35, 46 и т.д.
    • трёхзначные числа — это числа, записанные тремя цифрами: 326, 759, 486 и т.д.
    • многозначные числа — это числа, записанные двумя и более цифрами: 65, 15 268, 333 и т.д.
  3. Какая цифра не может стоять первой в записи натурального числа? — первой не может быть цифра 0.
  4. Как называют группы по три цифры, на которые разбивают многозначные числа справа налево? — эти группы называют классами.
  5. Назовите по порядку первые четыре класса в записи натуральных чисел — это:
    1. класс единиц
    2. класс тысяч
    3. класс миллионов
    4. класс миллиардов
  6. Сколько разрядов имеет каждый класс? Как их называют? — каждый класс имеет три разряда, их называют:
    1. единицы
    2. десятки
    3. сотни
  7. Как называют запись натурального числа, которой мы пользуемся? — десятичная запись.
  8. С чем связано название десятичной записи натуральных чисел? — это связано с тем, что десять единиц предыдущего разряда всегда составляют одну единицу следующего. Например:
    • 10 единиц = 1 десяток
    • 10 десятков = 1 сотня
    • 10 сотен = 1 тысяча
    • 10 тысяч = 1 десяток тысяч
    • 10 десятков тысяч = 1 сотня тысяч
    • 10 сотен тысяч = 1 миллион
    • и т.д.

Решаем устно

1. На сколько:

  • 18 больше 6 — на 12 (18 — 6 = 12)
  • 4 меньше 12 — на 8 (12 — 4 = 8)

2. Во сколько раз:

  1. 18 больше 6 — в 3 раза (18 : 6 = 3)
  2. 4 меньше 12 — в 3 раза (12 : 4 = 3)

3. Вычислите:

  1. 12 • 5 + 1 =  60 + 1 = 61
  2. 12 • 5 — 1 = 60 — 1 = 59
  3. 12 • (5 + 1) = 12 • 6 = 72
  4. 12 • (5 — 1) = 12 • 4 = 48
  5. 12 : (5 + 1) = 12 : 6 = 2
  6. 12 : (5 — 1) = 12 : 4 = 3

4. Назовите пять последовательных натуральных чисел, начиная с числа:

  1. 423 — 423, 424, 425, 426, 427
  2. 1 658 — 1 658, 1 659, 1 660, 1 661, 1 662
  3. 2 997 — 2 997, 2 998, 2 999, 3 000, 3 001

5. Назовите в обратном порядке пять последовательных натуральных чисел, начиная с числа:

  1. 358 — 358, 357, 356, 355, 354
  2. 1 573 — 1 573, 1 572, 1 571, 1 570, 1 569
  3. 4 001 — 4 001, 4 000, 3 999, 3 998, 3 997

6. Назовите все четырёхзначные числа, сумма цифр которых равна 2.

1001, 1010, 1100, 2000

7. Двузначное число оканчивается цифрой 4. Если к этому числу прибавить число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, то получим число 99. Найдите эти два числа.

Нам известно:

  • первое число двузначное и оканчивается цифрой 4;
  • второе число тоже двузначное, но начинается с цифры 4;
  • сумма этих чисел равна 99.

Запишем известное, как пример в столбик

Мерзляк 5 класс - § 2. Цифры. Десятичная запись натуральных чисел

Ответ: первое искомое число 54, а второе число 45.

Упражнения

17. Назовите разряд, в котором стоит цифра 4 в записи числа:

  1. 34 — разряд единиц
  2. 246 — разряд десятков
  3. 473 — разряд сотен
  4. 24 569 — разряд единиц тысяч

18. Прочитайте число:

  1. 234 642 — двести тридцать четыре тысячи шестьсот сорок два
  2. 502 013 — пятьсот две тысячи тринадцать
  3. 9 145 679 — девять миллионов сто сорок пять тысяч шестьсот семьдесят десять
  4. 105 289 001 — сто пять миллионов двести восемьдесят девять тысяч один
  5. 6 704 917 320 — шесть миллиардов семьсот четыре миллиона девятьсот семнадцать тысяч триста двадцать
  6. 72 016 050 400 — семьдесят два миллиарда шестнадцать миллионов пятьдесят тысяч четыреста
  7. 491 872 653 000 — четыреста девяносто один миллиард восемьсот семьдесят два миллиона шестьсот пятьдесят три тысячи
  8. 305 002 800 748 — триста пять миллиардов два миллиона восемьсот тысяч семьсот сорок восемь

19. Запишите десятичной записью число:

  1. 34 миллиона 384 тысячи 523 — 34 384 523
  2. 85 миллионов 128 тысяч 23 — 85 128 023
  3. 16 миллионов 26 тысяч 4 — 16 026 004
  4. 6 миллионов 60 тысяч 17 — 6 060 017
  5. 8 миллиардов 801 миллион 30 тысяч 5 — 8 801 030 5
  6. 22 миллиарда 33 миллиона 418 — 22 033 000 418
  7. 251 миллиард 538 — 251 000 000 538
  8. 46 миллиардов 854 — 46 000 000 854
  9. 607 миллиардов 3 — 607 000 000 003

20. Запишите десятичной записью число:

  1. 23 миллиона 275 тысяч 649 — 23 275 649
  2. 56 миллионов 319 тысяч 48 — 56 319 048
  3. 12 миллионов 20 тысяч 21 — 12 020 021
  4. 8 миллионов 7 тысяч 3 — 8 007 003
  5. 6 миллиардов 325 миллионов 800 тысяч 954 — 6 325 800 000
  6. 14 миллиардов 52 миллиона 819 — 14 052 000 819
  7. 368 миллиардов 742 тысячи — 368 000 742 000
  8. 92 миллиарда 29 — 92 000 000 029

21. Запишите десятичной записью число:

  1. сорок шесть миллиардов четыреста пятьдесят семь миллионов семьсот двадцать семь тысяч триста восемьдесят восемь — 46 457 727 388
  2. шестьсот тридцать два миллиарда двести четыре миллиона тридцать пять тысяч сорок семь — 632 204 035 047
  3. сто пять миллиардов пятьсот тридцать девять тысяч сто — 105 000 538 100
  4. тридцать миллиардов двадцать тысяч девяносто — 30 000 020 090
  5. восемь миллиардов семь миллионов пятнадцать тысяч четырнадцать — 8 007 015 014
  6. один миллиард две тысячи два — 1 000 002 002

22. Запишите десятичной записью число:

  1. три миллиона триста тридцать три тысячи триста тридцать три — 3 333 333
  2. три миллиона триста тысяч — 3 300 000
  3. три миллиона три тысячи — 3 003 000
  4. три миллиона тридцать — 3 000 030
  5. три миллиона тридцать тысяч триста — 3 030 300
  6. три миллиона три тысячи три — 3 003 003
  7. три миллиона три — 3 000 003

23. Запишите десятичной записью число:

  1. шестьдесят восемь миллиардов двести сорок девять миллионов девятьсот пятьдесят четыре тысячи семьсот двадцать три — 68 249 954 723
  2. восемьсот четырнадцать миллиардов сто девять миллионов две тысячи тридцать два — 814 109 002 032
  3. триста семь миллиардов шестьсот двадцать одна тысяча четыреста — 307 000 621 400
  4. девяносто миллиардов десять тысяч двадцать — 90 000 010 020
  5. два миллиарда три миллиона четыре тысячи пять — 2 003 004 005
  6. один миллиард одна тысяча один — 1 000 001 001

24. Запишите и прочитайте число, которое образуется, если записать число 514 подряд:

  1. два раза — 514 514 — пятьсот четырнадцать тысяч пятьсот четырнадцать
  2. три раза — 514 514 514 — пятьсот четырнадцать миллионов пятьсот четырнадцать тысяч пятьсот четырнадцать
  3. четыре раза — 514 514 514 514 — пятьсот четырнадцать миллиардов пятьсот четырнадцать миллионов пятьсот четырнадцать тысяч пятьсот четырнадцать

25. Запишите и прочитайте число, которое образуется, если записать число 48 подряд:

  1. два раза — 4 848 — четыре тысячи восемьсот сорок восемь
  2. три раза — 484 848 — четыреста восемьдесят четыре тысячи восемьсот сорок восемь
  3. четыре раза — 48 484 848 — сорок восемь миллионов четыреста восемьдесят четыре тысячи восемьсот сорок восемь
  4. пять раз — 4 848 484 848 — четыре миллиарда восемьсот сорок восемь миллионов четыреста восемьдесят четыре тысячи восемьсот сорок восемь

26. Запишите в виде суммы разрядных слагаемых число:

  1. 846 = 8 • 100 + 4 • 10 + 6 • 1
  2. 2 375 = 2 • 1 000 + 3 • 100 + 7 • 10 + 5 • 1
  3. 12 619 = 1 • 10 000 + 2 • 1 000 + 6 • 100 + 1 • 10 + 9 • 1
  4. 791 105 = 7 • 100 000 + 9 • 10 000 + 1 • 1 000 + 1 • 100 + 0 • 10 + 5 • 1
  5. 32 598 009 = 3 • 10 000 000 + 2 • 1 000 000 + 5 • 100 000 + 9 • 10 000 + 8 • 1 000 + 0 • 100 + 0 • 10 + 9 • 1
  6. 540 007 020 = 5 • 100 000 000 + 4 • 10 000 000 + 0 • 1 000 000 + 0 • 100 000 + 0 • 10 000 + 7 • 1 000 + 0 • 100 + 2 • 10 + 0 • 1

27. Запишите в виде суммы разрядных слагаемых число:

  1. 34 729 = 3 • 10 000 + 4 • 1 000 + 7 • 100 + 2 • 10 + 9 • 1
  2. 75 194 = 7 • 10 000 + 5 • 1 000 + 1 • 100 + 9 • 10 + 4 • 1
  3. 478 254 = 4 • 100 000 + 7 • 10 000 + 8 • 1 000 + 2 • 100 + 5 • 10 + 4 • 1
  4. 189 390 = 1 • 100 000 + 8 • 10 000 + 8 • 1 000 + 3 • 100 + 9 • 10 + 0 • 1
  5. 23 487 901 = 2 • 10 000 000 + 3 • 1 000 000 + 4 • 100 000 + 8 • 10 000 + 7 • 1 000 + 9 • 100 + 0 • 10 + 1 • 1
  6. 140 028 045 = 1 • 100 000 000 + 4 • 10 000 000 + 0 • 1 000 000 + 0 • 100 000 + 2 • 10 000 + 8 • 1 000 + 2 • 100 + 4 • 10 + 5 • 1

28. Запишите число, которое:

  1. на 1 меньше наименьшего трёхзначного числа — наименьшее трёхзначное число — это 100, 100 — 1 = 99
  2. на 4 больше наибольшего трёхзначного числа — наибольшее трёхзначное число — это 999, 999 + 4 = 1 003
  3. на 5 меньше наименьшего пятизначного числа — наименьшее пятизначное число — это 10 000, 10 000 — 5 = 9 995
  4. на 6 больше наибольшего шестизначного числа — наибольшее шестизначное число — это 999 999, 999 999 + 6 = 1 000 005
  5. на 7 больше наименьшего восьмизначного числа — наименьшее восьмизначное число — это 10 000 000, 10 000 000 + 7 = 10 000 007

29. Запишите наибольшее восьмизначное число, а также следующее и предыдущее числа.

  • наибольшее восьмизначное число — 99 999 999
  • следующее за ним число — 99 999 999 + 1 = 100 000 000
  • предыдущее ему число — 99 999 999 — 1 = 99 999 998

30. Запишите наименьшее семизначное число, а также следующее и предыдущее числа.

  • наименьшее семизначное число — 1 000 000
  • следующее за ним число — 1 000 000 + 1 = 1 000 001
  • предыдущее ему число — 1 000 000 — 1 = 999 999

31. Двузначное число записали подряд два раза. Во сколько раз полученное четырёхзначное число больше данного двузначного числа?

Возьмём три произвольных двузначных числа. Например: 12, 54 и 61. Из них получатся четырехзначные числа: 1 212, 5 454 и 6 161 соответственно. Посчитаем, во сколько раз полученные четырёхзначные числа больше исходных двузначных:

Мерзляк 5 класс - § 2. Цифры. Десятичная запись натуральных чисел

Такое соотношение будет справедливо для всех без исключения двухзначных чисел.

Ответ: в 101 раз.

32. Трёхзначное число записали подряд два раза. Во сколько раз полученное шестизначное число больше данного трёхзначного числа?

Возьмём три произвольных трёхзначных числа. Например: 352, 423 и  801. Из них получатся шестизначные числа: 352 352, 423 423 и 801 801.

Посчитаем, во сколько раз полученные шестизначные числа больше исходных трёхзначных:

Мерзляк 5 класс - § 2. Цифры. Десятичная запись натуральных чисел

Такое соотношение будет справедливо для всех без исключения трёхзначных чисел.

Ответ: в 1 001 раз.

33. В книге пронумерованы страницы с первой по сто семьдесят вторую. Сколько цифр напечатано при нумерации страниц?

Посчитаем, сколько в книге страниц с однозначными номерами, с двузначными и с трехзначными номерами:

  • однозначные номера — с 1 по 9 страницу, то есть 9 страниц — 1 • 9  = 9 (цифр) — использовано для нумерации страниц с однозначными номерами;
  • двузначные номера — с 10 по 99 страницу, то есть 90 страниц — 2 • 90 = 180 (цифр) — использовано для нумерации страниц с двузначными номерами;
  • трёхзначные номера — с 100 по 172 страницу, то есть 73 страницы — 3 • 73 = 219 (цифр) — использовано для нумерации страниц с трёхзначными номерами.

Теперь найдём сумму цифр, использованных для однозначных, двузначных и трёхзначных номеров:

9 + 180 + 219 = 408 (цифр) — напечатано при нумерации книги.

Ответ: 408 цифр.

34. Для нумерации страниц книги напечатано 2 004 цифры. Сколько страниц в этой книге?

Допустим, что нумерация в книге начинается с 1 страницы. 

Для того, чтобы пронумеровать все страницы с однозначными номерами (с 1 по 9) потребуется 9 цифр:

1) 1 •  9 = 9 (цифр) — использовано для нумерации страниц с однозначными номерами.

Для того, чтобы пронумеровать все страницы с двузначными номерами (с 10 по 99) потребуется 180 цифр:

2) 2 • 90 = 180 (цифр) — использовано для нумерации страниц с двузначными номерами.

3) 2 004 — 180 — 9 = 1 815 (цифр) — осталось для нумерации остальных страниц.

Максимально возможное число страниц с трёхзначными номерами (с 100 по 999) — 900 штук. На такое количество страниц потребовалось бы 2700 цифр

4) 3 • 900 = 2 700 (цифр) — потребуется для нумерации максимального количества страниц с трёхзначными номерами.

5) 1 815 < 2 700, значит все оставшиеся страницы трёхзначные.

6) 1 815 : 3 = 605 (страниц) — количество страниц с трёхзначными номерами. 

Сложим количество страниц с однозначными, двузначными и трёхзначными номерами:

7) 9 + 90 + 605 = 704 (страницы) — в книге.

Ответ: в книге 704 страницы.

35. Каких трёхзначных чисел больше: все цифры которых чётные или все цифры которых нечётные?

Все трёхзначные числа состоят их трёх цифр:

  • цифры, обозначающей сотни;
  • цифры, обозначающей десятки;
  • цифры, обозначающей единицы.

Если использовать для написания только чётные цифры, то:

  • сотни могут быть обозначены цифрами: 2, 4, 6, 8 — 4 варианта, так как с цифры 0 число начинаться не может;
  • десятки могут быть обозначены цифрами: 0, 2, 4, 6, 8 — 5 вариантов;
  • единицы могут быть обозначены цифрами: 0, 2, 4, 6, 8 — 5 вариантов.

Если использовать для написания только нечётные цифры, то:

  • сотни могут быть обозначены цифрами: 1, 3, 5, 7, 9 — 5 вариантов;
  • десятки могут быть обозначены цифрами: 1, 3, 5, 7, 9 — 5 вариантов;
  • единицы могут быть обозначены цифрами: 1, 3, 5, 7, 9 — 5 вариантов.

Для того, чтобы узнать сколько трёхзначных чисел можно написать только чётными или только нечётными цифрами, надо перемножить количество всех возможных вариантов обозначения сотен, десяткой и единиц.

  • 4 • 5 • 5 = 20 • 5 = 100 (вариантов) — записи трёхзначных чисел только чётными цифрами.
  • 5 • 5 • 5 = 25 • 5 = 125 (вариантов) — записи трёхзначных чисел только нечётными цифрами.

125 > 100, значит больше трёхзначных чисел, в записи которых используются только нечетные цифры.

Ответ: больше трёхзначных чисел, в записи которых используются только нечетные цифры.

Упражнения для повторения

36. Вычислите:

Мерзляк 5 класс - § 2. Цифры. Десятичная запись натуральных чисел

37. Выполните действия:

Мерзляк 5 класс - § 2. Цифры. Десятичная запись натуральных чисел

38. Первый полёт в космос совершил в 1961 г. гражданин Советского Союза Юрий Гагарин. Через восемь лет после этого на Луну ступил первый человек — гражданин США Нейл Армстронг. Ещё через 31 год на Международной космической станции (МКС) начал работать первый экипаж. Сколько лет работают космонавты на МКС?

1) 1961 + 8 = 1969 (год) — год первого полёта человека на Луну.

2) 1969 + 31 = 2000 (год) — год начала работы первого экипажа на Международной космической станции МКС.

3) 2020 — 2000 = 20 (лет) — космонавты работают на Международной космической станции МКС.

Ответ: 20 лет.

39. Масса булавы Ильи Муромца равна 60 пудов, а его меча — в 12 раз меньше. Какова общая масса булавы и меча Ильи Муромца?

Мерзляк 5 класс - § 2. Цифры. Десятичная запись натуральных чисел

1) 60 : 12 = 5 (пудов) — масса меча Ильи Муромца.

2) 60 + 5 = 65 (пудов) — общая масса меча и булавы.

Ответ: 65 пудов.

Комментарий: Пуд — это единица измерения веса предметов, применявшаяся на Руси в старину. В пересчёте на килограммы 1 пуд примерно равен 16,4 килограмма. Так что если поверить условию задачи, то булава Ильи Муромца весила больше 982 килограммов, а его меч весил почти 82 килограмма! Ничего не скажешь, настоящий богатырь:)

40. Чтобы помочь заболевшему Карабасу-Барабасу, Дуремар решил поставить ему пиявки. Для первой процедуры он использовал 24 пиявки, а для второй — в 3 раза больше. Сколько всего пиявок понадобилось Дуремару, чтобы вылечить Карабаса-Барабаса?

Мерзляк 5 класс - § 2. Цифры. Десятичная запись натуральных чисел

1) 24 • 3 = 72 (пиявки) — понадобилось для второй процедуры.

2) 24 + 72 = 96 (пиявок) — всего понадобилось для лечения.

Ответ: 96 пиявок.

41. Вертолёт за 4 ч может пролететь 720 км. Какое расстояние он пролетит за 6 ч с той же скоростью?

Составим краткую запись в виде таблицы:

Мерзляк 5 класс - § 2. Цифры. Десятичная запись натуральных чисел
1) 720 : 4 = 180 (км/ч) — скорость движения вертолёта.

2) 180 • 6 = 1 080 (км) — пролетит вертолёт за 6 часов.

Ответ: 1 080 км.

Комментарий:

  • Для того чтобы найти скорость движения, надо расстояние разделить на время (v = s : t).
  • Для того, чтобы найти расстояние, надо скорость умножить на время (s = v • t).

42. За три дня кузнец Вакула изготовил 432 подковы. Сколько подков он изготовит за пять дней, работая с такой же производительностью?Мерзляк 5 класс - § 2. Цифры. Десятичная запись натуральных чисел
1) 432 : 3 = 144 (подковы/день) — производительность кузнеца Вакулы.

2) 144 • 5 = 720 (подков) — Вакула изготовит за 5 дней.

Ответ: 720 подков.

Комментарий:

  • Для того чтобы найти производительность, надо работу разделить на время . 
  • Для того, чтобы найти выполненную работу, надо производительность умножить на время.

Задача от мудрой совы

43. В этом году день рождения отца был в воскресенье. В какой день недели праздновала свой день рождения мать, если она на 62 дня моложе отца?

Мы знаем, что каждая неделя состоит из 7 дней:

  • 1 неделя = 7 дней
  • 2 недели = 14 дней
  • 3 недели = 21 день
  • 4 недели = 28 дней
  • 5 недель = 35 дней
  • 6 недель = 42 дня
  • 7 недель = 49 дней
  • 8 недель = 56 дней

Это значит, что 62 дня — это 8 полных недель и 6 дней. До полной недели не хватило 1 дня, то есть день рождения мамы был за один день до воскресенья — в субботу.

Ответ: в субботу.