Мерзляк 5 класс — § 4. Плоскость. Прямая. Луч

Опубликовано 20.03.202021.08.2023 автором mmetalnik

Ответы к учебнику для 5 класса. А. Г. Мерзляк

Переход на главную страницу сайта

Вопросы к параграфу

1. Является ли плоскость бесконечной? — Да, плоскость бесконечна, её можно продолжать во все стороны без ограничения.

2. Имеет ли прямая концы? — Нет, прямая не имеет концов, она бесконечна, продолжать прямую можно без ограничений.

3. Сколько прямых проходит через две точки? — Через две точки можно провести только одну единственную прямую.

4. Как обозначают прямую? — Прямую можно обозначать двумя способами: либо одной строчной латинской буквой (a, b, c и т.д.), либо двумя прописными латинскими буквами, обозначающими точки, лежащие на этой прямой (AB, DC, RK и т.д.).

5. Как называют части прямой, на которые её делит любая точка этой прямой? Как при этом называют эту точку? — Часть прямой вместе с точкой, от которой начинается эта часть прямой, называется лучом. Точку, делящую прямую на 2 части называют началом луча.

6. Как обозначают луч? — Луч обозначают двумя прописными латинскими буквами: буквой, обозначающей точку начала луча и буквой, обозначающую любую точку лежащую на этом луче.

7. С какими геометрическими фигурами вы познакомились в этом параграфе? — Прямая и луч.

Решаем устно

1. Вычислите:

1) 312 • 10 = 3 120
2) 5 • 1 000 = 5 000
3) 100 • 10 000 = 1 000 000
4) 720 : 9 = 80
5) 480 : 4 = 120
6) 480 : 16 = 30
7) 1 212 : 12 = 101
8) 1 010 : 5 = 202
9) 1 515 : 15 = 101

2) Реши:

Удвойте число 26. 26 • 2 = 52

Найдите половину числа 26. 26: 2 = 13

Утройте число 27. 27 • 3 = 81

Найдите треть числа 27. 27 : 3 = 9

3. Около школы растут берёзы и тополя, причём берёз восемь, а тополей — на 16 больше. Сколько всего деревьев растёт около школы? Во сколько раз берёз меньше, чем тополей?

1) 8 + 16 = 24 (дерева) — тополя.

2) 8 + 24 = 32 (дерева) — растёт около школы всего.

3) 24 : 8 = 3 (раза) — берёз меньше, чем тополей.

Ответ: 32 дерева всего, берёз в 3 раза меньше, чем тополей.

4. В 10 ч утра со станции отправился поезд со скоростью 60 км/ч. На каком расстоянии от станции будет поезд в 15 ч того же дня, если будет двигаться с этой же скоростью и без остановок?

1) 15 — 10 = 5 (часов) — проедет поезд за указанное время.

2) 60 • 5 = 300 (км) — проедет поезд за 5 часов.

Ответ: Поезд будет на расстоянии 300 км от станции.

5. Таня и Миша учатся в одной школе. Таня живёт в доме около одной конечной остановки автобуса, а Миша — в доме около другой конечной остановки этого же маршрута. Когда они едут в школу, то Таня выходит на пятой остановке, а Миша — на седьмой. Сколько всего остановок на этом маршруте?

1 (начальная остановка Тани) + 5 (остановки которые проезжает Таня) + 6 (остановки которые проезжает Миша — остановка школы, так как мы её уже посчитали в Танином маршруте) + 1 (начальная остановка Миши) = 1 + 5 + 6 + 1 = 13.

Ответ: на этом маршруте всего 13 остановок (включая конечные).

6) Верёвку разрезали на три куска так, что первый кусок оказался на 3 м короче второго и на 3 м длиннее третьего куска. На сколько метров третий кусок короче второго?

3 + 3 = 6 (метров) — третий кусок короче второго.

Ответ: на 6 метров третий кусок короче второго.

Упражнения

85. Отметьте в тетради точки М и К и проведите через них прямую. Отметьте на отрезке МК точку N. Принадлежит ли точка N прямой МК? Отметьте на прямой МК точку Р, лежащую вне отрезка МК. Запишите все возможные обозначения этой прямой.

Точка N принадлежит прямой MK.

Возможные обозначения этой прямой: PM, PN, PK, MN, MK, NK, KN, KM, KP, NM, NP, MP.

86. Проведите произвольную прямую и отметьте на ней точки А, В и С. Запишите все возможные обозначения этой прямой.

Возможные обозначения этой прямой: AB, AC, BC, CB, CA, BA.

87. Рассмотрите рисунок 38.

Верно ли утверждение:

1) точка Q принадлежит отрезку ME — утверждение верно.

2) точка Q принадлежит лучу EF — утверждение неверно.

3) точка Q принадлежит лучу FE — утверждение верно.

4) точка Е принадлежит лучу MF и лучу FM — утверждение верно.

5) точка М принадлежит отрезку QE — утверждение неверно.

6) точка М принадлежит прямой QE — утверждение верно.

88. Пересекаются ли изображённые на рисунке 39:

1) прямая СЕ и отрезок АВ — да, пересекаются, так как прямую СЕ можно продолжить в обе стороны бесконечно долго.

2) луч ОК и прямая СЕ — да, пересекаются, так как луч ОК может быть продолжен в сторону прямой СЕ бесконечно долго.

3) луч ОК и отрезок АВ — нет, не пересекаются, так как отрезок АВ не может быть продолжен, а при продолжении луча ОК далее точки К не приведёт к пересечению лучом заданного отрезка.

89. Пересекаются ли изображённые на рисунке 40:

1) прямая МР и отрезок EF — нет, так как отрезок EF продолжить нельзя, а продолжение прямой в любую из сторон не приведёт к пересечению этих геометрических фигур.

2) луч ST и прямая МР — да, так как луч ST может быть продолжен в сторону прямой бесконечно долго.

3) отрезок EF и луч ST — да, так как луч ST может быть продолжен в сторону отрезка EF бесконечно долго.

90. Отметьте в тетради:

1) четыре точки, из которых никакие три не лежат на одной прямой

2) пять точек, из которых никакие три не лежат на одной прямой

91. На прямой АВ отмечены две точки М и N. Назовите фигуры, которые при этом образовались.

Образовались фигуры:

Отрезок МN
Лучи:
1. МА
2. МВ (его также можно обозначить как МN)
3. NА (его также можно обозначить как NМ)
4. NВ.
Прямые:
1. AB, которую также можно обозначить как AN, AM, MN, MB, NB, BN, BM, BA, NM, NA или MA.

92. Запишите все отрезки, прямые и лучи, изображённые на рисунке 41.

Рисунок а):

Отрезки:
1. AK (можно обозначить как KA)
2. AM (можно обозначить как MA)
3. MK (можно обозначить как KM)
Прямые:
1. BM (также можно обозначить как MB, BA, AB, AM, MA)
2. MD (также можно обозначить как DM, MK, KM, KD, DK)
3. NC (также можно обозначить как CN, NA, AN, NK, KN, AK, KA, AC, CA, KC, CK)
Лучи:
1. AB
2. AN
3. AM
4. AK (можно обозначить как AC)
5. MA (можно обозначить как MB)
6. MK (можно обозначить как MD)
7. KC
8. KD
9. KA (можно обозначить как KN)
10. KM

Рисунок б):

Отрезки:
1. AB (можно обозначить как BA)
2. AC (можно обозначить как CA)
3. BC (можно обозначить как CB)
4. BF (можно обозначить как FB)
Прямые:
1. AB (можно обозначить как BA. AC, CA, AD, DA, BC, CB, BD, DB, CD, DC)
2. EF (можно обозначить как FE, EK, KE, FK, KF)
3. TB (можно обозначить как BT, TF, FT, FB, BF)
Лучи:
1. AB (можно обозначить как AC, AD)
2. BA
3. BF (можно обозначить как BT)
4. BC (можно обозначить как BD)
5. CA (можно обозначить как CB)
6. CD
7. FB
8. FK
9. FT
10. FE

93. Запишите все отрезки, прямые и лучи, изображённые на рисунке 42.

Отрезки:
1. AB (можно обозначить как BA)
2. BK (можно обозначить как KB)
3. AC (можно обозначить как CA)
4. AD (можно обозначить как DA)
5. DC (можно обозначить как CD)
6. DB (можно обозначить как BD)
Прямые:
1. AB (можно обозначить как BA)
2. CB (можно обозначить как BC)
3. AC (можно обозначить как CA, AD, DA, DC, CD, AK, KA, DK, KD, CK, KC)
4. EF (можно обозначить как DE, EB, BE, ED, FE, DB, BD, DF, FD, BF, FB)
Лучи:
1. AD (можно обозначить как AC, AK)
2. AB
3. BA
4. BF
5. BK
6. CB (можно обозначить как CK, CD, CA)
7. DE (можно обозначить как DA, DB, DF, DC, DK)

94. Начертите два луча так, чтобы их общая часть была:

1) точкой

Общей частью лучей OS и OT является их начальная точка O.

2) отрезком

Общей частью лучей KP и NM является отрезок KN.

3) лучом

Общей частью лучей AC и BC является луч BC.

95. Отметьте на плоскости точки М, К, Т и F так, чтобы луч МК пересекал прямую TF, а луч TF не пересекал прямую МК.

96. Начертите прямую АС, отрезки КЕ и BD, луч ST так, чтобы отрезок КЕ пересекал прямую АС и не пересекал луч ST, отрезок BD не пересекал прямую АС и отрезок КЕ и пересекал луч ST, а прямая АС и луч ST пересекались.

97. Начертите луч CD, прямую АВ и отрезки МК и ОР так, чтобы отрезок МК лежал на прямой АВ, отрезок ОР — на луче CD и чтобы прямая АВ пересекала отрезок ОР, а луч CD — отрезок МК.

98. Сколько лучей образуется, если на прямой отметить: 1) четыре точки; 2) 100 точек?

Каждая точка делит прямую на 2 части — на 2 луча. Значит:

если на прямой отметить 4 точки, то образуется 8 лучей (4 • 2 = 8)
если на прямой отметить 100 точек, то образуется 200 лучей (100 • 2 = 200)

Обозначить образовавшиеся лучи можно множеством способов.

99. Точки А, В и С лежат на одной прямой. Найдите длину отрезка ВС, если АВ = 24 см, АС = 32 см. Сколько решений имеет задача?

Задача имеет 2 решения.

Решение 1 — точка В лежит между точками А и С

32 — 24 = 8 (см) — длина отрезка ВС

Ответ: ВС = 8 см.

Решение 2 — точка А лежит между точками С и В

32 + 24 = 56 (см) — длина отрезка ВС

Ответ: ВС = 56 см.

100. Точки М, К и N лежат на одной прямой. Найдите длину отрезка KN, если МК = 15 см, MN = 6 см.

Задача имеет 2 решения.

Решение 1 — точка N лежит между точками К и М

15 — 6 = 9 (см) — длина отрезка КN

Ответ: КN =9 см.

Решение 2 — точка М лежит между точками К и N

15 + 6 = 21 (см) — длина отрезка КN

Ответ: КN = 21 см.

101. На плоскости проведено пять попарно пересекающихся прямых. Каким может оказаться наименьшее количество точек пересечения этих прямых? Наибольшее количество?

Наименьшее количество точек пересечения пяти попарно пересекающихся прямых — одна:

прямая a пересекается с прямой b, с прямой c, с прямой d, с прямой e в точке O
прямая b пересекается с прямой a, с прямой c, с прямой d, с прямой e в точке O
прямая c пересекается с прямой b, с прямой a, с прямой d, с прямой e в точке O
прямая d пересекается с прямой b, с прямой c, с прямой a, с прямой e в точке O
прямая e пересекается с прямой b, с прямой c, с прямой d, с прямой a в точке O

Наибольшее количество точек пересечения пяти попарно пересекающихся прямых — десять:

прямая a пересекается:
- с прямой b в точке C
- с прямой c в точке D
- с прямой d в точке A
- с прямой e в точке B
прямая b пересекается:
- с прямой a в точке C
- с прямой c в точке E
- с прямой d в точке G
- с прямой e в точке F
прямая c пересекается:
- с прямой b в точке E
- с прямой a в точке D
- с прямой d в точке L
- с прямой e в точке K
прямая d пересекается:
- с прямой b в точке G
- с прямой c в точке L
- с прямой a в точке A
- с прямой e в точке H
прямая e пересекается:
- с прямой b в точке F
- с прямой c в точке K
- с прямой d в точке H
- с прямой a в точке B

Ответ: 1 точка, 10 точек.

102. На плоскости проведены три прямые. Каким может оказаться наибольшее количество частей, на которые эти прямые разбили плоскость, и каким — наименьшее?

Наибольшее количество частей плоскости получится в случае, если прямые попарно пересекаются между собой в максимальном количестве точек. Для трёх прямых это три точки пересечения. В результате плоскость будет разбита на 7 частей.

Минимальное количество частей плоскости получится в случае, если прямые не пересекаются вовсе, то есть они параллельны друг другу. В результате плоскость будет разбита на 4 части.

Ответ: 7 частей, 4 части.

103. Проведите шесть прямых и отметьте на них 11 точек так, чтобы на каждой прямой было отмечено ровно четыре точки.

104. На плоскости проведены три прямые. На одной прямой отмечено пять точек, на второй — семь точек, а на третьей — три точки. Какое наименьшее количество различных точек может оказаться отмеченным?

Наименьшее количество отмеченных точек — 12.

Ответ: 12 точек.

Упражнения для повторения

105. В парке растёт 168 дубов, берёз — в 4 раза меньше, чем дубов, а клёнов — на 37 деревьев больше, чем берёз. Сколько всего дубов, берёз и клёнов растёт в парке?

1) 168 : 4 = 42 (дерева) — берёзы.

2) 42 + 37 = 79 (деревьев) — клёны.

3) 168 + 42 + 79 = 289 (деревьев) — всего в парке.

Ответ: 289 деревьев.

106. Группа туристов прошла пешком 72 км, проехала на поезде расстояние в 5 раз большее, чем прошла пешком, а на автобусе проехала на 128 км меньше, чем на поезде. Сколько всего километров прошли и проехали туристы?

1) 72 • 5 = 360 (км) — проехали на поезде.

2) 360 — 128 = 232 (км) — проехали на автобусе.

3) 72 + 360 + 232 = 664 (км) — прошли и проехали всего.

Ответ: 664 км.

107. Отправившись в гости к Змею Горынычу, Баба-яга пролетела в своей ступе 276 км за 4 ч, а остальные 156 км прошла за 6 ч в сапогах-скороходах. На сколько скорость движения ступы больше, чем скорость движения сапог-скороходов?

1) 276 : 4 = 69 (км/ч) — скорость движения ступы.

2) 156 : 6 = 26 (км/ч) — скорость движения сапог-скороходов.

3) 69 — 26 = 43 (км/ч) — скорость движения ступы больше, чем скорость движения сапог-скороходов.

Ответ: на 43 км/ч.

108. По течению реки лодка проплывает 95 км за 5 ч, а против течения — 119 км за 7 ч. На сколько скорость движения лодки против течения меньше её скорости движения по течению?

1) 95 : 5 = 19 (км/ч) — скорость движения лодки по течению реки.

2) 119 : 7 = 17 (км/ч) — скорость движения лодки против течения.

3) 19 — 17 = 2 (км/ч) — скорость движения лодки против течения лодки меньше, чем скорость движения лодки по течению.

Ответ: на 2 км/ч.

109. На прямой отметили 20 точек так, что расстояние между любыми двумя соседними точками равно 4 см. Найдите расстояние между крайними точками.

Между 20 точками будет 19 промежутков.

4 • 19 = 76 (см) — расстояние между крайними точками.

Ответ: 76 см.

110. На прямой отметили точки так, что расстояние между любыми двумя соседними точками равно 5 см, а между крайними точками — 45 см. Сколько точек отмечено на прямой?

45 : 5 = 9 (шт) — промежутков по 5 см каждый.

Для того, чтобы образовалось 9 промежутков надо отметить 10 точек.

Ответ: 10 точек.

Задача от мудрой совы

111. Как расставить 16 учеников в три ряда, чтобы в каждом ряду их было поровну?

Если поставить учеников в три ряда по 5 человек, то задействовано будет только 15 человек, то есть 1 ученику места не хватит.
Если поставить учеников в три ряда по 6 человек, то придется задействовать 18 человек, то есть двух учеников не хватит.

Это значит, что либо один человек должен стоять сразу во всех трёх рядах, либо два ученика должны стоять сразу в двух рядах каждый. Сделать это можно следующими (и подобными им) способами: