Мерзляк 6 класс — § 1. Делители и кратные

• Ответы к учебнику для 6 класса. А. Г. Мерзляк
• Переход на главную страницу сайта

Вопросы к параграфу

1. В каком случае число b:

1) является делителем числа а

Число b является делителем числа а, если число а нацело делится на число b.

2) кратно числу а

Число b кратно числу а, если число b нацело делится на число а.

2. Какое число является делителем любого натурального числа?

Число 1 является делителем любого натурального числа, так как любое натуральное число делится нацело на число 1.

3. Какое число является наибольшим делителем натурального числа а?

Само число а является наибольшим делителем натурального числа а, так как любое число а делится нацело делится на тоже самое число а.

4. Какое число является наименьшим кратным натурального числа а?

Само число а является наименьшим кратным натурального числа а, так как любое число а делится нацело на число а.

5. Сколько существует кратных данного натурального числа а?

Существует бесконечно много чисел кратных данного натурального числа а.

Решаем устно

1. Вычислите:

1. 0,6 + 0,4 = 1
2. 0,6 + 0,04 = 0,64
3. 0,6 — 0,4 = 0,2
4. 0,6 — 0,04 = 0,56
5. 0,6 • 4 = 2,4
6. 0,6 • 0,4 = 0,24
7. 6 : 4 = 1,5
8. 0,6 : 4 = 0,15

2. Чему равно частное при делении 54 на 9?

54 : 9 = 6

Ответ: частное равно 6.

3. Чему равен делитель, если делимое равно 98, а частное — 7?

98 : х = 7
х = 98 : 7
х = 14

Ответ: делитель равен 14.

4. Чему равно делимое, если делитель равен 24, а частное — 5?

х : 24 = 5
х = 5 • 24
х = 120

Ответ: делимое равно 120.

Упражнения

1. Верно ли утверждение:

1. число 6 является делителем числа 24 — да, так как 24 : 6 равно целому числу (4).
2. число 6 кратно числу 24 — нет, так как 6 : 24 неравно целому числу.
3. число 5 является делителем числа 51 — нет, так как 51 : 5 неравно целому числу.
4. число 9 является делителем числа 99 — да, так как 99 : 9 равно целому числу (11).
5. число 18 кратно числу 3 — да, так как 18 : 3 равно целому числу (6).
6. число 28 кратно числу 8 — нет, так как 28 : 8 неравно целому числу.

2. Какие из чисел 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 30 являются:

1) делителями 24

2, 3, 4, 6, 8, 12, так как 24 делится на эти числа нацело.

2) кратными 6

6, 12, 18, 30, так как они делятся на число 6 нацело.

3) делителями 20 и 24

2 и 4, так как и число 20, и число 24 нацело делятся как на 2, так и на 4.

4) делителями 24 и кратными 4

4, 8, 12, так как они делятся нацело на 4 и, при этом, на них нацело делится число 24.

3. Чему равняется:

1) наибольший делитель числа 19 735

19 735

2) наименьший делитель числа 19 735

1

3) наименьшее кратное числа 19 735

19 735

4. Запишите все делители числа:

1. 18 — делители: 1, 2, 3, 6, 9, 18.
2. 8 — делители: 1, 2, 4, 8.
3. 13 — делители: 1, 13.
4. 56 — делители: 1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56.

5. Запишите все делители числа:

1. 30 — делители: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.
2. 12 — делители: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
3. 23 — делители: 1, 23.
4. 72 — делители: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72.

6. Запишите пять чисел, кратных числу:

1. 7 — кратные: 7, 14, 21, 28, 35.
2. 30 — кратные: 30, 60, 90, 120, 150.
3. 100 — кратные: 100, 200, 300, 400, 500.
4. 34 — кратные: 34, 68, 102, 136, 170.

7. Запишите четыре числа, кратных числу:

1. 16 — кратные: 16, 32, 48, 64.
2. 12 — кратные: 12, 24, 36, 48.
3. 150 — кратные: 150, 300, 450, 600.
4. 47 — кратные: 47, 97, 141, 188.

8. Из чисел 28, 36, 48, 64, 92, 100, 108, 110 выпишите те, которые:

1) кратны 4: 

28, 36, 48, 64, 100, 108.

2) не кратны 6:

36, 48, 108

9. Известно, что сумма натуральных чисел а и b делится нацело на 5. Верно ли, что:

1) каждое из чисел а и b делится нацело на 5 — нет, неверно.

Например: если а + b = 10, то:

• одним из вариантов может быть, что а = 6, b = 4.
• 6 — не делится на число 5 нацело
• 4 — не делится на число 5 нацело

Это значит, что первоначальное утверждение неверно.

2) одно из чисел делится нацело на 5, а другое — нет — нет, неверно.

Например: если а + b = 15 и а = 10, то:

• сумма а + b = 15 — делится нацело на 5
• одно из числе а = 10 — делится нацело на 5
• второе число b = 15 — 10 = 5 — также делится на 5.

Это значит, что первоначальное утверждение неверно.

Ответ проиллюстрируйте примерами.

10. Известно, что каждое из чисел а и b не делится нацело на 3. Верно ли, что их сумма также не делится нацело на 3?

Нет, неверно, бывают случаи когда а и b не делятся на 3, а их сумма — делится на 3. Например:

• числа 2 и 4 не делятся на 3, а их сумма 2 + 4 = 6 — делится на 3 нацело;
• числа 4 и 5 не делятся на 3, а их сумма 4 + 5 = 9 — делится на 3 нацело;
• числа 4 и 8 не делятся на 3, а их сумма 4 + 8 = 12 — делится на 3 нацело.

Это значит, что первоначальное утверждение неверно.

11. Запишите все числа, являющиеся делителями каждого из чисел:

1. 15 и 20 — делители обоих чисел: 1 и 5.
2. 7 и 21 — делители обоих чисел: 1 и 7.
3. 24 и 36 — делители обоих чисел: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
4. 20 и 21 — делители обоих чисел: 1.

12. Запишите все числа, являющиеся делителями каждого из чисел:

1. 12 и 18 — делители обоих чисел: 1, 2, 3, 6.
2. 60 и 90 — делители обоих чисел: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.
3. 22 и 35 — делители обоих чисел: 1.
4. 9 и 27 — делители обоих чисел: 1, 3, 9.

13. Запишите какое-либо число, кратное каждому из чисел:

1. 3 и 4 — кратное обоим числам: 12.
2. 6 и 12 — кратное обоим числам: 24.
3. 4 и 6 — кратное обоим числам: 36.

14. Запишите какое-либо число, кратное каждому из чисел:

1. 5 и 9 — кратное обоим числам: 45.
2. 8 и 32 — кратное обоим числам: 32.
3. 8 и 12 — кратное обоим числам: 24.

15. Запишите:

1) все двузначные числа, кратные 19:

19, 38, 57, 76, 95.

2) все трёхзначные числа, кратные 105:

105, 210, 315, 420, 525, 630, 735, 840, 942.

16. Запишите все двузначные числа, кратные 23.

23, 46, 69, 92.

17. Запишите все значения х, кратные числу 4, при которых верно неравенство 18 < х < 36.

20, 24, 28, 32.

18. Запишите все значения х, кратные числу 6, при которых верно неравенство 25 < х < 60.

30, 36, 42, 48, 54.

19. Запишите все значения х, являющиеся делителями числа 80, при которых верно неравенство 7 < х < 40.

8, 10, 16, 20.

20. Запишите все значения х, являющиеся делителями числа 98, при которых верно неравенство 14 < х < 50.

49

21. Найдите число, кратное числам 9 и 11, которое больше 100. Сколько существует таких чисел?

Например, число 198 кратно и числу 9, и числу 11.

Таких чисел существует бесконечно много.

22. Найдите число, кратное числам 9 и 12, которое меньше 100. Сколько существует таких чисел?

Подходят числа 36 и 72 — всего 2 числа.

23. Верно ли утверждение:

1) если число а кратно 6, то оно кратно 3

Да, утверждение верно. Например:

• 6 кратно 6 и кратно 3;
• 12 кратно 6 и кратно 3;
• 18 кратно 6 и кратно 3;
• 24 кратно 6 и кратно 3;
• 30 кратно 6 и кратно 3.

2) если число а кратно 3, то оно кратно 6

Нет, утверждение неверно. Например:

• 3 кратно 3, но некратно 6;
• 9 кратно 3, но некратно 6;
• 15 кратно 3, но некратно 6;
• 21 кратно 3, но некратно 6;
• 27 кратно 3, но некратно 6.

3) если число а кратно числам 3 и 4, то оно кратно 12

Да, утверждение верно. Например: 

• 12 кратно числам 3, 4 и 12;
• 24 кратно числам 3, 4 и 12;
• 36 кратно числам 3, 4 и 12;
• 48 кратно числам 3, 4 и 12;
• 60 кратно числам 3, 4 и 12.

4) если число а кратно числам 4 и 6, то оно кратно 24

Да, утверждение верно. Например:

• 24 кратно числам 4, 6 и 24;
• 48 кратно числам 4, 6 и 24;
• 72 кратно числам 4, 6 и 24;
• 96 кратно числам 4, 6 и 24;
• 120 кратно числам 4, 6 и 24.

Ответ проиллюстрируйте примерами.

24. Найдите три натуральных числа, для которых кратным будет число:

1) 65

Найдём числа, для которых кратным будет число 65:

а • 1 = 65
а = 65 : 1
а = 65 — первое число, кратным которого является число 65.

а • 5 = 65
а = 65 : 5
а = 13 — второе число, кратным которого является число 65.

а • 13 = 65
а = 65 : 13
а = 5 — третье число, кратным которого является число 65.

Ответ: 65, 13, 5.

2) 121

Найдём числа, для которых кратным будет число 121:

а • 1 = 121
а = 121 : 1
а = 121 — первое число, кратным которого является число 121.

а • 11 = 121
а = 121 : 11
а = 11 — второе число, кратным которого является число 121.

а • 121 = 121
а = 121 : 121
а = 1 — третье число, кратным которого является число 121.

Ответ: 121, 11, 1.

Укажите все варианты выбора таких трёх чисел.

Чтобы найти все натуральные числа а, для которых будет кратным заданное число b, надо последовательно решить уравнения:

• а • 1 = b
• а • 2 = b
• а • 3 = b
• …

Все целые числа а, полученные в результате решения этих уравнений, и будут являться натуральными числами а, для которых заданное число b является кратным.

25. При делении числа а на 7 получили остаток 4. Какому условию должно удовлетворять число b, чтобы сумма а + b была кратна 7?

Мы знаем, что:

• число а делится на число 7 с остатком 4, значит его можно представить в виде суммы: а = 7 + 7 + … + 7 + 4;
• мы не знаем, какой остаток даст число b при делении на 7, поэтому его можно представить в виде суммы: b = 7 + 7 + … + 7 + х;
• сумма а + b должна делиться на 7 без остатка, значит её можно представить в виде суммы: а + b = 7 + 7 + … + 7.

Представим эти числа графически: 

Можем решить уравнение:

4 + х = 7
х = 7 — 4
х = 3

Значит для того, чтобы сумма а + b была кратна 7, надо чтобы при делении b на 7 получался остаток 3.

Этому условию удовлетворяют b = 3, 10, 17, 24, 31 и т.д.

Проверим наше предположение. Выберем любые числа а и b, удовлетворяющие условиям:

• пусть а = 18, тогда 18 : 7 = 2 (ост. 4);
• пусть b = 10, тогда 10 : 7 = 1 (ост. 3);
• тогда а + b = 18 + 10 = 28. 

Полученное число 28 нацело делится на 7.

28 : 7 = 4. Значит наши выводы верны.

Ответ: число b при делении на 7 должно давать в остатке число 3.

26. При делении числа а на 9 получили остаток 5. Какому условию должно удовлетворять число b, чтобы разность а — b была кратна 9?

Мы знаем, что:

• число а делится на число 9 с остатком 5, значит его можно представить в виде суммы: а = 9 + 9 + … + 9 + 5;
• мы не знаем, какой остаток даст число b при делении на 9, поэтому его можно представить в виде суммы: b = 9 + 9 + … + 9 + х;
• разность а — b должна делиться на 9 без остатка, значит её можно представить в виде суммы: а — b = 9 + 9 + … + 9 + 0.

Представим эти числа графически: 

Можем решить уравнение:

5 + х = 0
х = 5 — 0
х = 5

Значит для того, чтобы разность а — b была кратна 9, надо чтобы при делении b на 9 получался остаток 5.

Этому условию удовлетворяют b = 5, 14, 23, 32, 41 и т.д.

Проверим наше предположение. Выберем любые числа а и b, удовлетворяющие условиям:

• пусть а = 23, тогда 23 : 9 = 2 (ост. 5);
• пусть b = 5, тогда 5 : 9 = 0 (ост. 5);
• тогда а — b = 23 — 5 = 18. 

Полученное число 18 нацело делится на 9.

18 : 9 = 2. Значит наши выводы верны.

Ответ: число b при делении на 9 должно давать в остатке число 5.

27. При каких натуральных значениях n значение выражения 15 n кратно числу:

1) 3

При n = 1, 2, 3, 4, и т.д. — при любых натуральных значениях n.

2) 5

При n = 1, 2, 3, 4, и т.д. — при любых натуральных значениях n.

3) 10

При n = 2, 4, 6, 8, и т.д. — при любых чётных значениях n.

4) 11

При n = 11, 22, 33, 44, и т.д. — при любых значениях n, кратных 11.

28. При каких натуральных значениях nзначение выражения:

1) 3n + 2 кратно числу 2

При n = 2, 4, 6, 8, и т.д. — при любых чётных значениях n.

2) 4n + 3 кратно числу 3

При n = 3, 6, 9, 12, и т.д. — при любых значениях n, кратных 3.

29. Докажите, что:

1) двузначное число, записанное двумя одинаковыми цифрами, кратно 11

Двузначных чисел, записанных одинаковыми цифрами, всего 9: 11, 22 , 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99. Все они кратны числу 11, так как делятся на него нацело:

• 11 : 11 = 1
• 22 : 11 = 2
• 33 : 11 = 3
• 44 : 11 = 4
• 55 : 11 = 5
• 66 : 11 = 6
• 77 : 11 = 7
• 88 : 11 = 8
• 99 : 11 = 9

Значит утверждение верно.

2) трёхзначное число, записанное тремя одинаковыми цифрами, кратно 37

Трёхзначных чисел, записанных одинаковыми цифрами, всего 9: 111, 222 , 333, 444, 555, 666, 777, 888, 999. Все они кратны числу 37, так как делятся на него нацело:

• 111 : 37 = 3
• 222 : 37 = 6
• 333 : 37 = 9
• 444 : 37 = 12
• 555 : 37 = 15
• 666 : 37 = 18
• 777 : 37 = 21
• 888 : 37 = 24
• 999 : 37 = 27

Значит утверждение верно.

30. К однозначному числу дописали одну цифру, в результате чего оно увеличилось в 41 раз. Какую цифру и к какому числу дописали?

К числу 1 слева дописали цифру 4 и получилось 41:

41 : 1 = 41 (раз) — увеличилось число.

Ответ: К цифре 1 была дописана цифра 4 с левой стороны от единицы.

31. В двузначном числе зачеркнули одну цифру, в результате чего оно уменьшилось в 17 раз. Какую цифру и в каком числе зачеркнули?

В числе 17 зачеркнули цифру 7 и получилось число 1:

17 : 1 = 17 (раз) — уменьшилось число.

Ответ: В числе 17 зачеркнули цифру 7.

Упражнения для повторения

32. Первая на Руси школа, как написано и «Повести временных лет», была открыта в Киеве в 988 г. при князе Владимире Святославиче. В 1701 г. указом императора Петра I была создана первая в России государственная светская школа — Школа математических и навигацких наук, или, как чаще её называли, Навигацкая школа. Первоначально школу возглавил боярин Фёдор Головин, а затем — выдающийся русский математик-педагог Леонтий Филиппович Магницкий (1669-1739), проработавший в школе 38 лет — со дня её открытия в 1701 г. до последних дней своей жизни. Перу Л.Ф. Магницкого принадлежал первый изданный в России в 1703 г. учебник по математике, на долгие годы ставший основным учебником российских школ. В Навигацкой школе обучали чтению, письму, арифметике, геометрии, тригонометрии, черчению, географии, астрономии, навигации и другим предметам. Через сколько лет после открытия первой на Руси школы была открыта Навигацкая школа? На сколько лет ваша школа «младше» Навигацкой школы?

• 988 — год открытия первой школы на Руси.
• 1701 г — год открытия Навигацкой школы.
• 1982 г. — год открытия моей школы.

1) 1 701 — 988 = 713 (года) — прошло между открытием первой школы на Руси и Навигацкой школы.

2) 1 982 — 1 701 = 281 (год) — моя школа младше, чем Навигацкая школы.

Ответ: 713 года, 281 год.

33. Упростите выражение и вычислите его значение:

1) 0,2 а • 50 b, если а = 4, b = 3,6

0,2 a • 50 b = (0,2 • 50) ab = 10 ab = 10 • 4 • 3,6 = (10 • 3,6) • 4 = 36 • 4 = 144

2) 0,4 x • 25 y, если х = 2,4, у = 3

0,4 x • 25 y = (0,4 • 25) xy = 10 xy = 10 • 2,4 • 3 = (10 • 2,4) • 3 = 24 • 3 = 72

34. Решите уравнение:

35. В столовую завезли 146 кг овощей: 6 ящиков помидоров и 8 ящиков огурцов. Найдите, сколько килограммов огурцов было в каждом ящике, если помидоров в каждом ящике было 7,8 кг, а масса огурцов во всех ящиках одинакова.

1) 7,8 • 6 = 46,8 (кг) — масса помидоров.

2) 146 — 46,8 = 99,2 (кг) — масса огурцов.

3) 99,2 : 8 = 12,4 (кг) — масса огурцов в одном ящике.

Ответ: 12,4 кг.

Готовимся к изучению новой темы

36. Запишите в виде суммы разрядных слагаемых число:

1) 278 = 200 + 70 + 8

2) 5 093 = 5 000 + 90 + 3

37, Выполните деление с остатком:

38. Выразите делимое через неполное частное, делитель и остаток в виде равенства а = bq + r, где а — делимое, b — делитель, q — неполное частное, r — остаток:

1) 83 : 7

83 = 7 • 11 + 6, где:

• a = 83 — делимое
• b = 7 — делитель
• q = 11 — неполное частное
• r = 6 — остаток

2) 171 : 17

171 = 17 • 10 + 1, где:

• a = 171 — делимое
• b = 17 — делитель
• q = 10 — неполное частное
• r = 1 — остаток

Задача от мудрой совы

39. Сложите из шести спичек четыре равносторонних треугольника со стороной, равной длине одной спички.

• Ответы к учебнику для 6 класса. А. Г. Мерзляк
• Переход на главную страницу сайта