Мерзляк 6 класс — § 6. Наименьшее общее кратное

Опубликовано автором

Вопросы к параграфу

1. Какое число называют наименьшим общим кратным двух чисел?

Наименьшее общее кратное (НОК) двух чисел — это число, которое делится нацело на каждое из этих двух чисел и, при этом, является наименьшим из всех чисел, удовлетворяющих данному условию.

2. Как можно найти НОК двух натуральных чисел, используя их разложения на простые множители?

Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) надо:

  1. Разложить оба числа на простые множители и представить его в виде произведения степеней.
  2. Выбрать степени, основания которых встречаются только в одном из разложений заданных чисел на простые множители.
  3. Из каждой пары степеней с одинаковыми основаниями выбрать степень с наибольшим показателем.
  4. Перемножить выбранные степени.

Полученное число и будет НОК двух данных чисел.

Например найдём наименьшее общее кратное для чисел 45 и 24, используя данное правило:

1. Разложим оба числа на простые множители и представить его в виде произведения степеней.

Мерзляк 6 класс - § 6. Наименьшее общее кратное

2. Выбрать степени, основания которых встречаются только в одном из разложений заданных чисел на простые множители.

Мерзляк 6 класс - § 6. Наименьшее общее кратное

3. Из каждой пары степеней с одинаковыми основаниями выбрать степень с наибольшим показателем.

Мерзляк 6 класс - § 6. Наименьшее общее кратное

4. Перемножить выбранные степени.

Мерзляк 6 класс - § 6. Наименьшее общее кратное

Значит наименьшее общее кратное чисел 45 и 24 равно 360.

Ответ: НОК (45, 24) = 360.

3. Чему равно наименьшее общее кратное двух чисел, одно из которых является делителем другого?

Если из двух чисел одно является делителем другого, то наименьшее общее кратное (НОК) равно большему числу.

4. Чему равно наименьшее общее кратное взаимно простых чисел?

Наименьшее общее кратное двух взаимно простых чисел равно их произведению.

Решаем устно

1. Назовите какое-либо трёхзначное число, которое:

1) делится нацело на 3, но не делится нацело на 9

111, 273 и т.д. — сумма чисел такого числа должна делиться на 3, но не должна делиться на 9.

2) делится нацело на 9 и на 2

180, 324, 162 — это должно быть чётное число, сумма цифр которого делится нацело на 9.

3) делится нацело на 9 и на 5

450, 315 — это должно быть число, оканчивающееся на 0 или на 5, при этом сумма его цифр должна делиться на 9.

4) делится нацело на 3 и на 4

600, 228, 516 — это должно быть число оканчивающееся на 00 или на двузначное число, которое делится на 4, при этом сумма чисел этого числа должна делиться на 3.

5) делится нацело на 9, а при делении на 10 даёт остаток 7.

927, 657 — это должно быть число, сумма чисел которого делиться нацело на 9, а само число оканчивается на цифру 7.

2. Назовите три общих кратных чисел:

1) 2 и 3

Кратными и числа 2, и числа 3, являются числа: 6, 12, 18 и т.д.

2) 4 и 6

Кратными и числа 4, и числа 6, являются числа: 12, 24, 36 и .д.

3) 5 и 10

Кратными и числа 5, и числа 10, являются числа: 10, 20, 30 и т.д.

3. Используя цифры 0, 2, 3 и 4, составьте наименьшее и наибольшее четырёхзначные числа, кратные 5. Можно ли утверждать, что полученные числа кратны 15?

  • 2340 — наименьшее четырёхзначное число, кратное 5, составленное из цифр 1, 2, 3 и 4.
  • 4320 — наибольшее четырёхзначное число, кратное 5, составленное из цифр 1, 2, 3 и 4.
  • Да, данные числа кратны 15, так как они нацело делятся и на 5, и на 3 (сумма цифр этих чисел кратна 3).

4. В парке посадили каштаны и дубы, причём на каждый каштан приходилось три дуба. Сколько всего деревьев посадили в парке, если дубов посадили 24?

Мерзляк 6 класс - § 6. Наименьшее общее кратное

1) 24 : 3 = 8 (шт) — каштанов посадили в парке.

2) 24 + 8 = 32 (шт) — деревьев посадили в парке.

Ответ: 32 дерева.

Упражнения

163. Найдите наименьшее общее кратное чисел:

Мерзляк 6 класс - § 6. Наименьшее общее кратное

164. Найдите наименьшее общее кратное чисел:

Мерзляк 6 класс - § 6. Наименьшее общее кратное

165. Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел а и b:

1) a=2^{3}\cdot 3\cdot 5 и b=2\cdot 3^{2}\cdot 5

НОД (a, b) = 2\cdot 3\cdot 5=6\cdot 5=30

НОК (a, b) = 2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5=8\cdot 9\cdot 5=72\cdot 5=360

2) a=2^{4}\cdot 3\cdot 11 и b=2^{2}\cdot 3^{3}\cdot 13

НОД (a, b) = 2^{2}\cdot 3=4\cdot 3=12

НОК (a, b) = 2^{4}\cdot 3^{3}\cdot 11\cdot 13=16\cdot 27\cdot 11\cdot 13=61776

166. Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел а и b:

1) a=3\cdot 5^{2} и b=3\cdot 5\cdot 7

НОД (a, b) = 3\cdot 5=15

НОК (a, b) = 3\cdot 5^{2}\cdot 7=3\cdot 25\cdot 7=525

2) a=2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5^{4} и b=2^{2}\cdot 3^{3}\cdot 5^{2}

НОД (a, b) = 2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}=4\cdot 9\cdot 25=900

НОК (a, b) = 2^{3}\cdot 3^{3}\cdot 5^{4}=8\cdot 27\cdot 625=135000

167. Найдите наименьшее общее кратное чисел:

Мерзляк 6 класс - § 6. Наименьшее общее кратное

168. Найдите наименьшее общее кратное чисел:

Мерзляк 6 класс - § 6. Наименьшее общее кратное

169. Найдите наименьшее общее кратное знаменателей дробей:

1) \frac{11}{12} и \frac{4}{15}

Знаменатель первой дроби равен 12, а второй — 15. Значит надо найти НОК (12, 15):

Мерзляк 6 класс - § 6. Наименьшее общее кратное

Ответ: Наименьшее общее кратное знаменателей дробей равно 60.

2) \frac{97}{100} и \frac{1}{125}

Знаменатель первой дроби равен 100, а второй — 125. Значит надо найти НОК (100, 125):

Мерзляк 6 класс - § 6. Наименьшее общее кратное

Ответ: Наименьшее общее кратное знаменателей дробей равно 600.

170. Найдите наименьшее общее кратное знаменателей дробей:

1) \frac{8}{9} и \frac{7}{6}

Знаменатель первой дроби равен 9, а второй — 6. Значит надо найти НОК (9, 6):

Мерзляк 6 класс - § 6. Наименьшее общее кратное

Ответ: Наименьшее общее кратное знаменателей дробей равно 18.

2) \frac{11}{20} и \frac{24}{25}

Знаменатель первой дроби равен 20, а второй — 25. Значит надо найти НОК (20, 25):

Мерзляк 6 класс - § 6. Наименьшее общее кратное

Ответ: Наименьшее общее кратное знаменателей дробей равно 100.

171. Найдите наименьшее общее кратное:

1) первых пяти натуральных чисел

Первые пять натуральных чисел — это 1, 2, 3, 4, 5. Разложим их на простые множители:

  • 1 — не имеет простых множителей;
  • 2 = 2 — простое число;
  • 3 = 3 — простое число;
  • 4 = 2²
  • 5 = 5 — простое число.

НОК (1, 2, 3, 4, 5) = 2² • 3 • 5 = 4 • 15 = 60

Ответ: 60.

2) первых пяти нечётных чисел

Первые пять нечётных чисел — это 1, 3, 5, 7, 9. Разложим их на простые множители:

  • 1 — не имеет простых множителей;
  • 3 = 3 — простое число;
  • 5 = 5 — простое число;
  • 7 = 7 — простое число;
  • 9 = 3²

НОК (1, 3, 5, 7, 9) = 3² • 5 • 7 = 9 • 35 = 315

Ответ: 315.

3) первых пяти простых чисел

Первые пять простых чисел — это 2, 3, 5, 7, 11. Мы знаем, что единственным простым множителем простого числа является само это число. Значит:

НОК (2, 3, 5, 7, 11) = 2 • 3 • 5 • 7 • 11= 2 310

Ответ: 2 310.

172. Найдите наименьшее общее кратное:

1) первых пяти чётных чисел

Первые пять чётных чисел — это 2, 4, 6, 8, 10. Разложим их на простые множители:

  • 2 = 2 — простое число;
  • 4 = 2²;
  • 6 = 2 • 3;
  • 8 = 2³;
  • 10= 2 • 5.

НОК (2, 4, 6, 8, 10) = 2³ • 3 • 5 = 8 • 15 = 120

Ответ: 120.

2) первых четырёх составных чисел

Первые четыре составные числа — это 4, 6, 8, 9. Разложим их на простые множители:

  • 4 = 2²;
  • 6 = 2 • 3;
  • 8 = 2³;
  • 9= 3².

НОК (4, 6, 8, 9) = 2³ • 3² = 8 • 9 = 72

Ответ: 72.

173. Длина шага Чебурашки равна 15 см, а крокодила Гены — 50 см. Какое наименьшее одинаковое расстояние должен пройти каждый из них, чтобы они оба сделали по целому числу шагов?

Для того, чтобы найти нужное расстояние, надо найти число, которое делится и на 15, и на 50 — НОК (15, 50). Разложим эти числа на простые множители:

  • 15 = 3 • 5;
  • 50 = 2 • 5².

НОК (15, 50) = 2 • 3 • 5² = 6 •25 = 150.

Значит Чебурашке и крокодилу Гене надо пройти 150 см.

Ответ: 150 см.

174. С одного места в одном направлении но велотреку одновременно стартовали два велосипедиста. Один из них делает круг за 1 мин, а другой — за 45 с. Через какое наименьшее количество минут после начала движения они вновь окажутся н месте старта? Сколько кругов по велотреку при этом сделает каждый из них?

1 минута = 60 секунд

Мерзляк 6 класс - § 6. Наименьшее общее кратное

Значит они вновь окажутся вместе через 180 секунд.

Найдём, сколько кругов по велотреку сделает каждый из велосипедистов:

  • 180 : 60 = 3 (круга) — сделает первый велосипедист.
  • 180 : 45 = 4 (круга сделает второй велосипедист.

Ответ: они встретятся через 180 секунд, первый велосипедист сделает 3 круга, а второй — 4 круга.

175. Дима п Петя отправились в поход из одного пункта в одном направлении. Петя делал остановку для отдыха через каждые 2 400 м, а Дима — через каждые 2 800 м. На каком наименьшем расстоянии от пункта отправления места их остановок совпадут?

Мерзляк 6 класс - § 6. Наименьшее общее кратное

Значит места их остановок совпадут через 16 800 м от пункта отправления.

Ответ: через 16 800 м.

176. В ящике лежит меньше 80 мандаринов. Известно, что их можно разделить поровну менаду двумя, тремя или пятью детьми, но нельзя разделить поровну между четырьмя детьми. Сколько мандаринов лежит в ящике?

1) Найдём наименьшее общее кратное для чисел 2, 3 и 5. 

Мы знаем, что все эти числа простые. Значит:

НОК (2, 3, 5) = 2 • 3 • 5 = 6 • 5 = 30.

2) 30 < 80 — это число удовлетворяет условию задачи и в ящике может лежать 30 мандаринов.

3) Так как кратными числам 2, 3 и 5 будут все числа, кратные 30, то в ящике могло бы также лежать и 60 мандаринов (60 < 80), но число 60 также нацело делится на 4, а это не соответствует условию задачи. 

Значит у данной задачи может быть единственный ответ: в ящике лежит 30 мандаринов.

Ответ: 30 мандаринов.

177. Саша ходит в бассейн один раз в три дня. Коля — раз в четыре дня, Петя — раз в пять дней. Мальчики встретились в бассейне во вторник. Через сколько дней и в какой день недели они встретятся в следующий раз?

1) Найдём наименьшее общее кратное для чисел 3, 4 и 5, а для этого разложим их на простые множители:

  • 3 = 3;
  • 4 = 2²;
  • 5 = 5.

НОК (2, 4, 5) = 3 • 2² • 5= 15 • 4 = 60.

2) Каждая неделя содержит в себе 7 дней. Найдём, сколько целых недель и ещё дней пройдёт до новой встречи мальчиков:

60 : 7 = 8 (ост. 4). 

Значит до новой встречи пройдёт ровно 8 недель и ещё 4 дня.

3) Ровно 7 недель после вторника закончатся в понедельник, а ещё 4 дня — это:

  1. вторник
  2. среда
  3. четверг
  4. пятница.

Значит новая встреча мальчиков произойдёт в пятницу.

Ответ: мальчики встретятся через  60 дней, встреча произойдёт в пятницу.

178. Готовя подарки к Новому году, члены родительского комитета 6 класса увидели, что имеющиеся конфеты можно разложить поровну по 15 штук или по 20 штук в один подарок. Сколько было конфет, если известно, что их было больше 600 и меньше 700?

1) Найдём наименьшее общее кратное для чисел 15 и 20.

Мерзляк 6 класс - § 6. Наименьшее общее кратное

Значит минимально возможное количество конфет — 60 шт.

2) Мы знаем, что конфет было больше 600 и меньше 700. Число 60 не входит в этот диапазон. Значит надо найти число, которое будет кратно 60 и будет удовлетворять данному условию. Перечислим числа, кратные 60:

  • 60, 120, 180, 640, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, 720 и т.д.

Из всех чисел только одно число больше 600 и меньше 700. Это число 660.

Ответ: было 660 конфет.

Упражнения для повторения

179. Если к данному числу прибавить 2, то полученное число будет кратно 5. Чему равен остаток от деления данного числа на 5?

Для того, чтобы число было кратно 5, надо чтобы оно оканчивалось на цифру 0 или на цифру 5.

Значит данное число должно оканчиваться либо на 3, либо на 8. Например:

  • 3 + 2 = 5 — кратно 5;
  • 8 + 2 = 10 — кратно 5;
  • 73 + 2 = 75 — кратно 5;
  • 568 + 2 = 570 — кратно 5;
  • и т.д.

Если число данное число оканчивается на 3, то при делении его на 5 остаток будет равен 3. Например:

  • 13 : 5 = 2 (ост. 3)
  • 53 : 5 = 10 (ост. 3)
  • 133 : 5 = 26 (ост. 3)
  • и т.д.

Если число оканчивается на 8, то при делении его на 5 остаток также будет равен 3:

  • 18 : 5 = 3 (ост. 3)
  • 58 : 5 = 11 (ост. 3)
  • 138 : 5 = 27 (ост. 3)
  • и т.д.

Значит, какое бы заданное число, удовлетворяющее условию, мы не делили на 5, в остатке всегда будет получиться число 3.

Ответ: число 3.

180. Белый аист пролетел 48 км со скоростью 40 км/ч. Сколько взмахов крыльями сделал при этом аист, если каждую секунду он делает два взмаха?

Мерзляк 6 класс - § 6. Наименьшее общее кратное

1) 48 : 40 = 1,2 (часа) — потребуется аисту для того, чтобы пролететь 48 км.

1,2 часа = 1,2 • 3 600 = 4 320 секунды.

3) 4 320 • 2 = 8 640 (шт) — взмахов сделает аист за это время.

Мерзляк 6 класс - § 6. Наименьшее общее кратное

Ответ: 8 640 взмахов.

181. Для производства 1 т бумаги необходимо использовать 6,3 м³ древесины или 1 400 кг макулатуры. Учащиеся одной школы собрали 2 100 кг макулатуры. Сколько кубических метров древесины можно сэкономить, использовав для производства бумаги собранную школьниками макулатуру?

Мерзляк 6 класс - § 6. Наименьшее общее кратное

1) 2 100 : 1 400 = 1,5 (раза) — собрали макулатуры больше, чем требуется на 1 тонну бумаги.

2) 6,3 • 1,5 = 9,45 (м³) — древесины потребовалось бы для производства такого юе количества бумаги, как из собранной макулатуры.

3) 9,45 — 6,3 = 3,15 (м³) — можно сэкономить.

Мерзляк 6 класс - § 6. Наименьшее общее кратное

Ответ: можно сэкономить 3,15 м³ древесины.

182. Останкинская телебашня в Москве является самой высокой в Европе отдельно стоящей конструкцией. Высота Эйфелевой башни (г. Париж, Франция) вместе с антенной равна 324 м, что составляет \frac{3}{5} высоты Останкинской телебашни. Останкинская телебашня состоит из железобетонной основы и металлической части, которая короче железобетонной основы на 230 м. Какова высота железобетонной основы?

Мерзляк 6 класс - § 6. Наименьшее общее кратное

1) 324 : 3 • 5 = 108 • 5 = 540 (м) — высота Останкинской телебашни в Москве.

2) Пусть х метром составляет железобетонная основа Останкинской башни. Тогда (х — 230) м — составляет металлическая конструкция. Составим уравнение:

х + (х — 230) = 540
2х — 230 = 540
2х =  770
х = 770 : 2
х = 385 (м) — составляет железобетонная основа Останкинской башни.

Мерзляк 6 класс - § 6. Наименьшее общее кратное

Ответ: 385 м.

Готовимся к изучению новой темы

183. 1) В коробке лежит 14 шаров, из которых 5 — синего цвета. Какую

часть всех шаров составляют синие? 

\frac{5}{14} часть всех шаров составляют синие шары.

Ответ: \frac{5}{14} часть.

2) В коробке лежит 14 шаров, из которых \frac{3}{7} составляют шары красного цвета. Сколько красных шаров в коробке?

1) 14 : 7 • 3 = 2 • 3 = 6 (шт) — красные шары в коробке.

Ответ: 6 шт.

3) В коробке лежат шары, 6 из которых белого цвета. Сколько всего шаров в коробке, если белые составляют \frac{3}{7} всех шаров?

1) 6 : 3 • 7 = 2 • 7 = 14 (шт) — всего шаров в коробке.

Ответ: 14 шт.

184. Укажите, какие из дробей \frac{12}{17}, \frac{12}{7}, \frac{5}{13}, \frac{15}{13}, \frac{374}{10}, \frac{53}{8}, \frac{53}{54}, \frac{72}{71}:

1) правильные

Правильные дроби — это дроби, у которых числитель меньше знаменателя:

\frac{12}{17}, \frac{5}{13},\frac{53}{54}

2) неправильные

Неправильные дроби — это дроби, у которых числитель больше или равен знаменателю.

\frac{12}{7}, \frac{15}{13}, \frac{374}{10}, \frac{53}{8}, \frac{72}{71}

Неправильные дроби преобразуйте в смешанные числа.

\frac{12}{7}=1\frac{5}{7}, так как 12 : 7 = 1 (ост. 5);

\frac{15}{13}=1\frac{2}{13}, так как 15 : 13 = 1 (ост. 2);

\frac{374}{10}=37\frac{4}{10}, так как 374 : 10 = 37 (ост. 4);

\frac{53}{8}=6\frac{5}{8}, так как 53 : 8 = 6 (ост. 5);

\frac{72}{71}=1\frac{1}{71}, так как 72 : 71 = 1 (ост. 1).

185. Начертите координатный луч, взяв за единичный такой отрезок, длина которого в 6 раз больше стороны клетки тетради. Отметьте на луче точки, соответствующие числам:

\frac{1}{6}, \frac{3}{6}, \frac{4}{6}, \frac{5}{6}, \frac{6}{6}, \frac{7}{6}, \frac{11}{6}, \frac{12}{6}, \frac{13}{6}

Мерзляк 6 класс - § 6. Наименьшее общее кратное

Задача от мудрой совы

186. На чудо-дереве садовник вырастил 85 бананов и 70 апельсинов. Каждый день он срывает два плода, и сразу на дереве вырастает один новый. Если садовник срывает два одинаковых фрукта, то вырастает апельсин, а если два разных — то банан. Каким окажется последний фрукт на этом дереве?

Мы знаем, что изначально было нечётное количество бананов и чётное количество апельсинов. Рассмотрим разные варианты развития событий:

Сорвал Выросло Осталось
1 банан + 1 апельсин 1 банан бананы — столько же — нечётное число

апельсины — на 1 меньше
2 банана 1 апельсин бананы — на 2 меньше — нечётное число

апельсины — на 1 больше
2 апельсина 1 апельсин бананы — столько же — нечётное число

апельсины — на 1 меньше

Мы видим, что сколько бы фруктов не срывал садовник, бананов всегда остаётся нечётное число. Это значит, что последним фруктом (остался только 1) на дереве может быть только банан.

Ответ: последний фрукт на дереве — банан.