Мерзляк 5 класс — § 12. Виды углов. Измерение углов

Вопросы к параграфу

1. Какой угол называют развёрнутым? Развёрнутый угол — это угол, лучи которого образуют прямую и их начала совпадают.

2. В каких единицах измеряют углы? Углы измеряют в градусах (например ∠45° — это угол величиной 45 градусов).

3. Какова градусная мера развёрнутого угла? 180°

4. Что означает измерить угол? Измерить угол — это значит посчитать сколько единичных углов в нём помещаются. 

5. Как называется прибор, который используют для измерения углов? Транспортир.

6. Расскажите, как пользоваться транспортиром. Для того, чтобы измерить угол транспортиром надо:

  • приложить линейку транспортира к одной из сторон угла;
  • совместить центр транспортира с вершиной угла;
  • определить, какой из штрихов шкалы транспортира пересекает вторая сторона угла;
  • определить градусную величину, которой соответствует пересекаемый штрих шкалы транспортира.

Важно:

  • Одна из сторон транспортира должна точно лежать на линейке прибора.
  • Центр транспортира должен точно совпадать с вершиной угла.
  • Если вторая сторона угла не доходит до шкалы транспортира, то надо мысленно продолжить луч до пересечения с прибором, либо начертить продолжение луча до нужной длины.

7. Какие градусные меры имеют равные углы? Равные углы имеют равные градусные меры.

8. Какой из двух неравных углов считают большим? Большим считается угол, градусная мера которого больше.

9. Каким свойством обладает величина угла? Если между сторонами угла АОС провести луч ОВ, то градусная мера угла АОС равна сумме градусных мер углов АОВ и ВОС:

∠АОС = ∠АОВ +∠ВОС, если луч ОВ лежит между сторонами угла АОС.

10. Какой угол называют острым? Острым углом называют угол, градусная мера которого меньше 90°.

11. Какой угол называют прямым? Прямым углом называют угол, градусная мера которого равна 90°.

12. Какой угол называют тупым? Тупым углом называют угол, градусная мера которого больше 90°, но меньше 180°.

13. На какие углы делит развёрнутый угол его биссектриса? Биссектриса делит угол на два прямых угла, то есть градусная мера каждого из этих углов равна 90°.

14. В каких случаях говорят, что от данного луча отложен данный угол? Говорят, что от данного луча отложен данный угол в том случае, если дан определённый луч, например ОА, и от него построен заданный угол, например ∠АОС = 63°, причём вершиной угла является вершина заданного луча.

Решаем устно

1. Назовите два числа, одно из которых:

  1. на 27 больше другого — 1 и 28 — число 28 на 27 больше числа 1.
  2. на 15 меньше другого — 2 и 17 — число 2 на 15 меньше числа 17.
  3. в 7 раз меньше другого — 3 и 21 — число 3 в 7 раз меньше исла 21.
  4. в 3 раза больше другого — 4 и 12 — число 12 в 3 раза больше 4.

2. Часы спешат на 10 мин и сейчас показывают время 10 ч 8 мин. Который час на самом деле?

10 ч 8 мин — 10 мин = 9 ч 58 мин

Ответ: сейчас 9 ч 58 мин.

3. Часы отстают на 7 мин и сейчас показывают время 16 ч 55 мин. Который час на самом деле?

16 ч 55 мин + 7 мин = 17 ч 2 мин.

Ответ: сейчас 17 ч. 2 мин.

4. Какие из следующих уравнений не имеют корней:

  1. 2х = х. Это равенство будет верным только при х = 0, значит у этого уравнения есть единственный корень — 0.
  2. 0х = 0. Это равенство будет верным при любом значении х, значит у этого уравнение бесконечное множество корней.
  3. 3 — х = 3. Это равенство будет верным только при х = 0, значит у этого уравнения есть единственный корень — 0.
  4. 0х = 6. Это равенство не будет верным ни при каких значениях х, значит это уравнение не имеет корней.
  5. х • х = х. Это равенство будет верным только при х = 0 и  х = 1, значит у этого уравнения 2 корня: 0 и 1.
  6. х + 6 = х + 7. Это равенство не будет верным ни при каких значениях х, значит это уравнение не имеет корней.
  7. 8х = 0. Это равенство будет верным только при х = 0, значит у этого уравнения есть единственный корень — 0.
  8. 3 — х = 2. Это равенство будет верным только при х = 1, значит у этого уравнения есть единственный корень — 1.
  9. 1 • х = 5. Это равенство будет верным только при х = 5, значит у этого уравнения есть единственный корень — 5.

Ответ: не имеют корней уравнения под номером 4 и 6.

5. Для озеленения улицы длиной 3 км на одной из её сторон посадили деревья на расстоянии 20 м друг от друга. Первое дерево было посажено в начале улицы, а последнее — в её конце. Сколько деревьев было посажено? Чему равно расстояние между первым и пятым деревьями?

3 км = 3 000 м.

1) 3 000 : 20 + 1 = 151 (дерево) — было посажено.

2) 20 • (5 — 1) = 20 • 4 = 80 (метров) — расстояние между 1-м и 5-м деревом.

Мерзляк 5 класс - § 12. Виды углов. Измерение углов

Ответ: Было посажено 151 дерево. Между первым и пятым деревом 80 метров.

Упражнения

296. Начертите:

  1. острый угол EFC
  2. прямой угол ORT
  3. тупой угол D
  4. развёрнутый угол КАР

Мерзляк 5 класс - § 12. Виды углов. Измерение углов

297. Найдите на рисунке 93 острые, тупые и прямые углы.

Мерзляк 5 класс - § 12. Виды углов. Измерение углов

  • Острые углы: ∠C, ∠M, ∠P
  • Тупые углы: ∠K, ∠Q, ∠T
  • Прямые углы: ∠A, ∠O

298. Какие из данных углов острые, тупые, прямые, развёрнутые: ∠А = 96°, ∠B = 84°, ∠S= 180°, ∠D=90°, ∠R = 162°, ∠E= 60°, ∠Q = 100°, ∠M= 72°?

  • Острые углы: ∠B = 84°, ∠E= 60°, ∠M= 72°
  • Тупые углы: ∠А = 96°, ∠R = 162°, ∠Q = 100°
  • Прямые углы: ∠D=90°
  • Развёрнутые углы: ∠S= 180°

299. Найдите, пользуясь транспортиром, градусные меры углов, изображённых на рисунке 94. Определите вид каждого угла.

Мерзляк 5 класс - § 12. Виды углов. Измерение углов

  • ∠AMK = 28º — острый угол
  • ∠CTF = 33º — острый угол
  • ∠POB = 120º — тупой угол
  • ∠SNE = 125º — тупой угол

300. Найдите, пользуясь транспортиром, градусные меры углов, изображённых на рисунке 95. Определите вид каждого угла.

Мерзляк 5 класс - § 12. Виды углов. Измерение углов

  • ∠PRT = 133º — тупой угол
  • ∠EFM = 40º — острый угол
  • ∠BCQ = 110º — тупой угол
  • ∠AKS = 67º — острый угол

301. Начертите угол, градусная мера которого равна: 1) 38°; 2) 124°; 3) 92°; 4) 90°; 5) 87°; 6) 54°; 7) 170°; 8) 65°. Определите вид каждого угла.

Мерзляк 5 класс - § 12. Виды углов. Измерение углов

  1. ∠A = 38º — острый угол
  2. ∠B = 124º — тупой угол
  3. ∠C = 92º — тупой угол
  4. ∠D = 90º — прямой угол
  5. ∠E = 87º — острый угол
  6. ∠F = 54º — острый угол
  7. ∠K = 170º — тупой угол
  8. ∠R = 65º — острый угол

302. Проведите луч. Отложите от этого луча угол, градусная мера которого равна: 1) 40°; 2) 130°; 3) 68°; 4) 164°. Определите вид каждого из построенных углов.

Мерзляк 5 класс - § 12. Виды углов. Измерение углов

Луч RE

  1. ∠ERD = 40º — острый угол
  2. ∠ERB = 130º — тупой угол
  3. ∠ERC = 68º — острый угол
  4. ∠ERA = 164º — тупой угол

303. На рисунке 96 ∠CMK = 132°, а угол АМК — развёрнутый. Вычислите величину угла АМС.

Мерзляк 5 класс - § 12. Виды углов. Измерение углов

∠АМК = 180° — развёрнутый

∠АМС = ∠АМК — ∠CMK = 180° — 132° = 48°

Ответ: ∠АМС = 48°.

304. На рисунке 97 угол АОК — прямой, POC — 54°, а угол СОК — развёрнутый. Вычислите величину угла АОР.

Мерзляк 5 класс - § 12. Виды углов. Измерение углов

∠AOK = 90° — прямой

∠COК = 180° — развёрнутый

∠АOP = ∠COK — ∠POC — ∠AOK = 180° — 54° — 90° = 36°

Ответ: ∠АOP = 36°

305. Какой из углов, изображённых на рисунке 98, наибольший? Наименьший?

Мерзляк 5 класс - § 12. Виды углов. Измерение углов

  • ∠D — наименьший угол
  • ∠C — наибольший угол

306. Начертите угол CDE, равный 152°. Лучом DA разделите этот угол на два угла так, чтобы ∠CDA = 98°. Вычислите величину угла ADE.

Мерзляк 5 класс - § 12. Виды углов. Измерение углов

∠CDE = 152°

∠CDA = 98°

∠ADE = ∠CDE — ∠CDA = 152° — 34° = 54°

Ответ: ∠ADE = 54°.

307. Начертите угол ABC, равный 106°. Лучом BD разделите этот угол на два угла так, чтобы ∠ABD = 34°. Вычислите величину угла DBC.

Мерзляк 5 класс - § 12. Виды углов. Измерение углов

∠ABC = 106°

∠ABD = 34°

∠DBC = ∠ABC — ∠ABD = 106° — 34° = 72°

Ответ: ∠DBC = 54°.

308. Из вершины прямого угла ВОМ (рис. 99) проведены два луча ОА и ОС так, что BOC = 74°, AOM = 62°. Вычислите величину угла АОС.

Мерзляк 5 класс - § 12. Виды углов. Измерение углов

∠ВОМ = 90° — прямой

∠BOC = 74°

∠AOM = 62°

∠MOC = ∠BOM — ∠BOC = 90° — 74° = 16°

∠AOC = ∠AOM — ∠MOC = 62° — 16° = 46°

Ответ: ∠AOC = 46°.

309. Из вершины развёрнутого угла АСР (рис. 100) проведены два луча СТ и CF так, что ACF = 158°, TCP = 134°. Вычислите величину угла TCF.

Мерзляк 5 класс - § 12. Виды углов. Измерение углов

∠ACP = 180° -развёрнутый

∠ACF = 158°

∠TCP = 134°

∠PCF = ∠ACP — ∠ACF = 180° — 158° = 22°

∠TCF = ∠TCP — ∠PCF = 134° — 22° = 112°

Ответ: ∠TCF = 112°.

310. Верно ли утверждение:

1) угол, который меньше тупого, — острый. Неверно, так как меньше тупого не только острые углы, но и прямой угол.

2) угол, который меньше развёрнутого, — тупой. Неверно, так как меньше развёрнутого угла все тупые углы, все острые углы и прямой угол.

3) половина тупого угла — острый угол. Верно, так как половина даже самого большого тупого угла будет меньше 90º.

4) сумма градусных мер двух острых углов больше 90°. Неверно, так как сумма двух острых углов может быть и меньше 90°.

5) угол, который больше прямого, — тупой. Неверно, так как больше прямого могут быть как тупые углы, так и развёрнутый угол.

311. Найдите градусную меру утла между стрелками часов, если они показывают:

Мерзляк 5 класс - § 12. Виды углов. Измерение углов

  1. 3 ч — это угол между минутной стрелкой, указывающей на 12 часов (чёрная стрелка) и часовой стрелкой, указывающей на 3 часа (красная стрелка) — прямой угол. Градусная мера этого угла — 90º.
  2. 6 ч — это угол между минутной стрелкой, указывающей на 12 часов (чёрная стрелка) и часовой стрелкой, указывающей на 6 часов (синяя стрелка) — развёрнутый угол. Градусная мера этого угла — 180º.
  3. 4 ч это угол между минутной стрелкой, указывающей на 12 часов (чёрная стрелка) и часовой стрелкой, указывающей на 4 часа (зелёная стрелка) — 4/6 от развёрнутого угла. Градусная мера этого угла — 180 : 6 • 4 = 30 • 4 = 120º.
  4. 11 ч это угол между минутной стрелкой, указывающей на 12 часов (чёрная стрелка) и часовой стрелкой, указывающей на 11 часов (фиолетовая стрелка) — 1/6 от развёрнутого угла. Градусная мера этого угла — 180 : 6 • 1 = 30 • 1 = 30º.
  5. 7 ч это угол между минутной стрелкой, указывающей на 12 часов (чёрная стрелка) и часовой стрелкой, указывающей на 7 часов (розовая стрелка) — 5/6 от развёрнутого угла. Градусная мера этого угла — 180 : 6 • 5 = 30 • 5 = 150º.

Ответ: 1) 90º, 2) 180º, 3) 120º, 4) 30º, 5) 150º.

312. Луч BK является биссектрисой угла CBD, ABK = 146° (рис. 101, a). Вычислите градусную меру угла CBD.

Мерзляк 5 класс - § 12. Виды углов. Измерение углов

∠ABC = 180º — развёрнутый

∠ABK = 146º

∠KBC = ∠ABC — ∠ABK = 180º — 146º = 34º

так как луч BK — это биссектриса ∠CBD, значит луч BK делит тот угол пополам. Мы заем, что ∠KBC = 34º. Значит:

∠CBD = ∠KBC • 2 = 34º • 2 = 68º

Ответ: ∠CBD = 68º.

313. Луч ОА является биссектрисой угла СОМ, СОМ = 54° (рис. 101, б). Вычислите градусную меру угла ВОА.

Мерзляк 5 класс - § 12. Виды углов. Измерение углов

∠COM = 54º

так как луч OA — это биссектриса ∠COM, значит луч OA делит тот угол пополам. Мы заем, что ∠COM = 54º. Значит:

∠COA = ∠COM : 2 = 54º : 2 = 27º

∠BOC = 180º — развёрнутый

∠BOA = ∠BOC — ∠COA = 180º — 27º = 153º

Ответ: ∠BOA = 153º.

314. Проведите три прямые, пересекающиеся в одной точке. Запишите все развёрнутые углы, образовавшиеся при этом.

Мерзляк 5 класс - § 12. Виды углов. Измерение углов

Каждая прямая образует по 2 развёрнутых угла. Значит образовались следующие развёрнутые углы: AOD, BOE, COF, DOA, EOB, FOC.

315. Проведите шесть прямых, пересекающихся в одной точке. Верно ли, что среди образовавшихся при этом углов есть угол, градусная мера которого меньше 31°?

Мерзляк 5 класс - § 12. Виды углов. Измерение углов

Каждая прямая образует по 2 развёрнутых угла. Например, прямая MH образует развёрнутые углы MOH и HOM. Каждый из этих углов равен 180º. Значит сумма углов между соседними лучами на рисунке равна 180º • 2 = 360º.

Всего образовалось 12 углов, расположенных между соседними лучами. 360º : 12 = 30º. Значит как минимум один (а на самом деле два) угла будут иметь градусную меру менее 31º.

Ответ: верно.

Упражнения для повторениях

316. Заполните цепочку вычислений:

Мерзляк 5 класс - § 12. Виды углов. Измерение углов

  1. 4 см • 300 = 1 200 см
  2. 1 200 см = 120 дм; 120 дм — 12 дм = 108 дм
  3. 108 дм : 9 = 12 дм
  4. 12 дм = 1 м 2 дм; 1 м 2 дм + 3 м = 4 м 2 дм

Мерзляк 5 класс - § 12. Виды углов. Измерение углов

  1. 8 мин • 15 = 120 мин
  2. 120 мин = 2 ч; 2 ч + 2 ч = 4 ч
  3. 4 ч = 240 мин; 240 мин : 6 = 40 мин
  4. 40 мин — 54 сек = 39 мин 6 сек

317. Верно ли неравенство (а + 253) • 7 < (9 864 — а) : 4 при а = 124?

Мерзляк 5 класс - § 12. Виды углов. Измерение углов

Ответ: при а = 124 неравенство неверно, так как 2 639 > 2 435.

318. В четыре стакана помещается столько же молока, сколько и в банку. В стакан и банку помещается 1 кг 200 г молока. Сколько граммов молока помещается в стакан?

Так как в одной банке помещается столько же молока, сколько и в 4 стаканах, то в банке и стакане будет содержаться столько же молока сколько в 5 стаканах (4 + 1 = 5).

1 кг 200 г = 1 200 г

1 200 : 5 = 240 (г) — молока помещается в стакан.

Ответ: 240 г.

319. Длина границы России с Китаем, Монголией и Казахстаном составляет 15 293 км. Найдите длину границы России с каждым из этих государств, если длина границы с Китаем и Монголией равна 7 694 км, а с Китаем и Казахстаном — 11 808 км.

Мерзляк 5 класс - § 12. Виды углов. Измерение углов

1) 15 293 — 11 808 = 3 485 (км) — граница России с Монголией.

2) 7 694 — 3 485 = 4 209 (км) — граница России с Китаем.

3) 11 808 — 4 209 = 7 599 (км) — граница России с Казахстаном.

Ответ: граница России с Китаем — 4 209 км, с Монголией — 3 485 км, с Казахстаном — 7 599 км.

Задача от мудрой совы

320. Улитка за день поднимается вверх по столбу на 3 м, а за ночь съезжает по нему на 2 м вниз. На какой день она доберётся до вершины столба, высота которого равна 20 м?

Каждые сутки улитка способна подняться по столбу на 1 м:

1) 3 метра днём — 2 метра ночью = 1 метр за сутки

Но в последний день она как обычно поднимется на 3 метра, а спускаться уже не будет. Значит, за все дни, кроме последнего, улитка поднимется на 17 м:

2) 20 — 3 = 17 (метров) — преодолеет улитка за все дни, кроме последнего.

То есть ей потребуется 17 дней для преодоления 17 метров и ещё 1 день для преодоления последних 3 метров:

3) 17 : 1 + 1 = 17 + 1 = 18 (дней) — нужно улитке для того, чтобы подняться на столб.

Ответ: улитка доберётся до вершины на 18-й день.