Мерзляк 5 класс — § 13. Многоугольники. Равные фигуры

Вопросы к параграфу

1. Какая фигура ограничивает многоугольник? — Замкнутая ломаная, звенья которой не пересекаются.

2. Могут ли звенья ломаной, ограничивающей многоугольник, пересекаться? — Нет, не могут.

3. Какие элементы многоугольника вы знаете? — Вершина, сторона, углы многоугольника.

4. Как называют и обозначают многоугольник? — Многоугольники называют и обозначают по его вершинам. Чтобы записать название многоугольника, надо последовательно записать все его вершины.

5. Что называют периметром многоугольника? — Периметр многоугольника — это сумма длин все его сторон.

6. Какие многоугольники называют равными? — Многоугольники называют равными, если они совпадают при наложении.

7. Какие фигуры называют равными? — Фигуры называют равными, если они совпадают при наложении.

Решаем устно

1. Сумму чисел 24 и 18 уменьшите на 33.

(24 + 18) — 33 = 42 — 33 = 9

2. Разность чисел 30 и 14 увеличьте в 3 раза.

(30 — 14) • 3 = 16 • 48

3. Произведение чисел 12 и 5 увеличьте на 19.

(12 • 5) + 19 = 60 + 19 = 79

4. Частное чисел 189 и 9 уменьшите в 7 раз.

(189 : 9) : 7 = 21 : 7 = 3

5. Укажите среди данных отрезков равные, если:

  • АВ = 5 см 3 мм = 53 мм = TQ
  • CD = 4 м 5 см = 405 см
  • РК = 45 см
  • EF = 2 дм 8 мм = 20 см 8 мм = 208 мм = MN
  • TQ = 53 мм = 5 см 3 мм = АВ
  • MN= 208 мм = 20 см 8 мм = 2 дм 8 мм = EF

Ответ: АВ = TQ и EF = MN.

Упражнения

321. Назовите вершины и стороны пятиугольника, изображённого на рисунке 109.

Мерзляк 5 класс - § 13. Многоугольники. Равные фигуры

  • Вершины пятиугольника: N, K, P, E, M
  • Стороны пятиугольника: NK, KP, PE, EM, EN.

322. Начертите: 1) четырёхугольник; 2) пятиугольник; 3) шестиугольник; 4) семиугольник .

Мерзляк 5 класс - § 13. Многоугольники. Равные фигуры

  1. Четырехугольник ABCD
  2. Пятиугольник EFGHJ
  3. Шестиугольник SRQWXZ
  4. семиугольник TKLMNOP

323. Вычислите периметр пятиугольника, стороны которого равны 2 см, 4 см, 5 см 5 мм, 6 см, 7 см.

Периметр многоугольника равен сумме длин его сторон.

2 см + 4 см + 5 см 5 мм + 6 см + 7 см = 24 см 5 мм — периметр данного пятиугольника.

Ответ: 24 см 5 мм.

324. Вычислите периметр шестиугольника, три стороны которого равны по 8 см, а три другие — по 10 см.

Периметр многоугольника равен сумме длин его сторон.

8 • 3 + 10 • 3 = 24 + 30 = 54 (см) — периметр данного шестиугольника.

Ответ: 54 см.

325. Нарисуйте в тетради фигуру, равную той, которая изображена на рисунке 110.

Мерзляк 5 класс - § 13. Многоугольники. Равные фигуры

326. Нарисуйте в тетради фигуру, равную той, которая изображена на рисунке 111.

Мерзляк 5 класс - § 13. Многоугольники. Равные фигуры

327. Одна из сторон четырёхугольника равна 8 см, вторая сторона в 3 раза больше первой, а третья — на 7 см меньше второй и на 9 см больше четвёртой. Вычислите периметр четырёхугольника.

Мерзляк 5 класс - § 13. Многоугольники. Равные фигуры

1) 8 • 3 = 24 (см) — длина второй стороны четырёхугольника.

2) 24 — 7 = 17 (см) — длина третьей стороны четырёхугольника.

3) 17 — 9 = 8 (см) — длина четвёртой стороны четырёхугольника.

4) 8 + 24 + 17 + 8 = 57 (см) — периметр четырёхугольника.

Ответ: 57 см.

328. Стороны пятиугольника пронумеровали. Первая сторона равна 4 см, а каждая следующая сторона на 2 см длиннее предыдущей. Вычислите периметр пятиугольника.

Мерзляк 5 класс - § 13. Многоугольники. Равные фигуры

1) 4 + 2 = 6 (см) — длина второй стороны пятиугольника.

2) 6 + 2 = 8 (см) — длина третьей стороны пятиугольника.

3) 8 + 2 = 10 (см) — длина четвёртой стороны пятиугольника.

4) 10 + 2 = 12 (см) — длина пятой стороны пятиугольника.

5) 4 + 6 + 8 + 10 + 12 = 40 (см) — периметр пятиугольника.

Ответ: 40 см.

329. 1) Сколько диагоналей можно провести из одной вершины: а) пятиугольника; б) девятиугольника; в) и-угольника, где п > 3?

Мерзляк 5 класс - § 13. Многоугольники. Равные фигуры

а) Из одной вершины пятиугольника можно провести 2 диагонали.

б) Из одной вершины девятиугольника можно провести 6 диагоналей.

в) Из одной вершины n-угольника можно провести (n-3) диагоналей, так как:

  • первая вершина является исходной;
  • диагональ ко второй вершине совпадает со одной из сторон, прилегающей к исходной вершине;
  • диагональ к последней вершине совпадает с другой из сторон, прилегающей к исходной вершине.

Ответ: 2, 6, n-3.

2) Сколько всего диагоналей можно провести: а) в пятиугольнике; б) в девятиугольнике; в) в и-угольнике, где п > 3?

Мерзляк 5 класс - § 13. Многоугольники. Равные фигуры

а) Мы знаем, что из одной вершины пятиугольника можно провести 2 диагонали (n-3), Значит из 5 вершин можно провести 5 • 2 = 10 диагоналей (n • (n-3)). Но если провести все 10 диагоналей, то каждая пара из них будет совпадать, так как одна диагональ всегда соединяет две вершины. Значит всего в пятиугольнике можно провести 10 : 2 = 5 диагоналей ((n •(n-3) : 2). Рисунок подтверждает наш вывод.

б) Мы знаем, что из одной вершины девятиугольника можно провести 6 диагоналей (n-3 = 9 — 3 = 6), Значит из 9 вершин можно провести 9 • 6 = 54 диагонали (n • (n-3) = 9 • (9 — 3) = 9 • 6 = 54). Но если провести все 54 диагонали, то каждая пара из них будет совпадать, так как одна диагональ всегда соединяет две вершины. Значит всего в девятиугольнике можно провести 54 : 2 = 27 диагоналей ((n • (n-3) : 2 = 9 • (9 — 3) : 2 = 9 • 6 : 2 = 54 : 2 = 27). Рисунок подтверждает наш вывод.

в) Исследуя предыдущие два задания мы вывели формулу, по которой можно посчитать количество возможных диагоналей в n-угольнике, при n > 3: n • (n-3) : 2. Это значит, у количество диагоналей:

  • у четырёхугольника — n • (n-3) : 2 = 4 • (4 — 3) : 2 = 4 • 1 : 2 = 4 : 2 = 2 — верно
  • у шестиугольника — n • (n-3) : 2 = 6 • (6 — 3) : 2 = 6 • 3 : 2 = 18 : 2 = 9 — верно
  • у семиугольника — n • (n-3) : 2 = 7 • (7 — 3) : 2 = 7 • 4 : 2 = 1=28 : 2 = 14 — верно
  • и т.д.

Ответ: 5, 27, n • (n-3) : 2.

330. Как, используя шаблон угла, градусная мера которого 13°, построить угол, градусная мера которого равна 2°?

Для того, чтобы используя шаблон угла, градусная мера которого 13°, построить угол, градусная мера которого равна 2° надо:

  1. прочертить прямую линию и отметить на ней точку вершины развёрнутого угла;
  2. начиная от одного из лучей развёрнутого угла последовательно 14 раз отложить по шаблону угол в 13°;
  3. так как 13° • 14 = 182°, то последний из отложенных по шаблону углов будет на 2° выходить за границы развёрнутого угла;
  4. угол, выходящий за границы развёрнутого угла, как раз и будет искомым углом с градусной мерой 2°.

331. Как построить угол, градусная мера которого 1°, используя шаблон угла, градусная мера которого равна:

а) 19°

Для того, чтобы используя шаблон угла, градусная мера которого 19°, построить угол, градусная мера которого равна 1° надо:

  1. прочертить прямую линию и отметить на ней точку вершины развёрнутого угла;
  2. начиная от одного из лучей развёрнутого угла последовательно 19 раз отложить по шаблону угол в 19°;
  3. так как 19° • 19 = 361°, то последний из отложенных по шаблону углов будет на 1° выходить за границы двух развёрнутых углов;
  4. угол, выходящий за границы развёрнутых углов, как раз и будет искомым углом с градусной мерой 1°.

б) 7°

Для того, чтобы используя шаблон угла, градусная мера которого 7°, построить угол, градусная мера которого равна 1° надо:

  1. прочертить прямую линию и отметить на ней точку вершины развёрнутого угла.
  2. провести из этой точки перпендикуляр к прямой;
  3. начиная от одного из лучей развёрнутого угла последовательно 13 раз отложить по шаблону угол в 7°;
  4. так как 7° • 13 = 91°, то последний из отложенных по шаблону углов будет на 1° выходить за границы прямого угла образованного перпендикуляром к прямой;
  5. угол, выходящий за границы прямого угла, как раз и будет искомым углом с градусной мерой 1°.

332. Существует ли многоугольник с периметром, равным 1 000 000 см, который можно целиком расположить в квадрате со стороной 1 см?

Мерзляк 5 класс - § 13. Многоугольники. Равные фигуры

Да, теоретически такой многоугольник существует. Для этого надо из квадрата со стороной 1 см вырезать множество полосок либо треугольников, либо ещё каких-нибудь фигур вдоль нескольких сторон исходного квадрата. Точное количество таких вырезанных фигур будет зависеть от длины вырезаемых из квадрата сторон фигуры, а также от длины оставшихся от исходного квадрата сторон.

В реальности такую операцию способны выполнить только суперточные приборы, например лазерный принтер. Кроме того, необходимо провести очень точный расчёт вырезаемых фигур.

Упражнения для повторения

333. Сравните:

1) 3 986 г и 4 кг: 4 кг = 4000 г ⇒ 3 986 г < 4 000 г ⇒ 3 986 г < 4 кг

2) 6 м и 712 см: 6 м = 600 см ⇒ 600 см < 712 см ⇒ 6 м < 712 см

3) 60 см и 602 мм: 60 см = 600 мм ⇒ 600 мм < 602 мм ⇒ 60 см < 602 мм

4) 999 кг и 10 ц: 10 ц = 1000 кг ⇒ 999 кг < 1000 кг ⇒ 999 кг < 10 ц

334. Выполните сложение, выбирая удобный порядок вычислений:

1) (636 + 927) + 364 = (636 + 364) + 927 = 1 000 + 927 = 1 927

2) (425 + 798) + 675 = (425 + 675) + 798 = 1 100 + 798 = 1 898

3) 212 + 493 + 788 + 807 = (212 + 788) + (493 + 807) = 1 000 + 1 300 = 2 300

4) 161 + 455 + 839 + 945 = (161 + 839) + (455 + 945) = 1 000 + 1 400 = 2 400

335. Известно, что ∠ABC = 74°, а луч BD — его биссектриса. Вычислите величину угла DBC.

Мерзляк 5 класс - § 13. Многоугольники. Равные фигуры

Мы знаем, что биссектриса угла всегда делит угол пополам. Значит:

∠DBC = ∠ABC : 2 = 74° : 2 = 37°

Ответ: ∠DBC = 37°.

336. Высота самой высокой горы Западной Европы Монблан равна 4 809 м. Она на 2 151 м ниже самой высокой горы Южной Америки Аконкагуа, которая на 770 м выше самой высокой горы Северной Америки Денали. Какова высота самой высокой горы Африки Килиманджаро, если она на 295 м ниже горы Денали? Какова высота самой высокой горы мира Джомолунгмы (Эверест) (рис. 112), если она на 2 953 м выше горы Килиманджаро?

Мерзляк 5 класс - § 13. Многоугольники. Равные фигуры

1) 4 809 + 2 151 = 6 960 (м) — высота горы Аконкагуа.

2) 6 960 — 770 = 6 190 (м) — высота горы Денали.

3) 6 190 — 295 = 5 895 (м) — высота горы Килиманджаро.

4) 5 895 + 2 953 = 8 848 (м) — высота горы Джомолунгма.

Ответ: 8 848 метров.

Задача от мудрой совы

337. Лимоны одинаковой массы продают поштучно. Масса каждого лимона составляет целое количество граммов. Купили больше двух, но меньше семи лимонов. Масса всей покупки составляет 850 г. Какова масса одного лимона?

Так как купили больше двух, но меньше семи лимонов, то количество купленных лимонов может быть либо 3, либо 4, либо 5, либо 6.

Масса каждого лимона — целое число, причём все лимоны одинаковые. Проверим, на какое из возможных чисел (3, 4, 5 или 6) общая масса покупки 850 г делится без остатка. Для этого применим метод подбора.

Под заданные условия подходит только число 5.

850 : 5 = 170 (г) — масса одного лимона. 

Ответ: 170 г.