Мерзляк 5 класс — § 26. Правильные и неправильные дроби. Сравнение дробей
Вопросы к параграфу
1. Чему равна дробь, у которой числитель равен знаменателю?
Если числитель дроби равен знаменателю, то дроби равна единице.
2. Какую дробь называют правильной?
Дробь, у которой числитель меньше знаменателя, называют правильной.
3. Какую дробь называют неправильной?
Дробь, у которой числитель больше знаменателя или равен ему, называют неправильной.
4. Какая из двух дробей с равными знаменателями больше? Меньше?
- Из двух дробей одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше.
- Из двух дробей с одинаковыми меньше та, у которой числитель меньше.
5. Сравните с единицей любую правильную дробь; любую неправильную дробь.
- Все правильные дроби меньше единицы.
- Все неправильные дроби больше либо равны единице (в случае если числитель равен знаменателю).
6. Сравните любую неправильную дробь с любой правильной дробью.
Каждая неправильная дробь больше любой правильной дроби.
Каждая правильная дробь меньше любой неправильной дроби.
7. Какая из двух дробей с одинаковыми числителями больше? Меньше?
- Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше.
- Из двух дробей с одинаковыми числителями меньше та, у которой знаменатель больше.
Решаем устно
1. Какую часть составляет:
1) длина стороны квадрата от его периметра
2) секунда от часа
3) угол, градусная мера которого равна 15° от прямого угла
4) угол, градусная мера которого равна 20°, от развёрнутого угла
2. Дима находится в школе с 8 ч 30 мин до 14 ч 30 мин. Какую часть суток Дима проводит в школе?
1) 14 ч 30 мин — 8 ч 30 мин = 6 ч — время, которое Дима проводит в школе.
2) 6 ч = суток.
Ответ: Дима проводит в школе суток.
3. Ваня собрал 35 грибов, из которых составляют белые. Сколько белых грибов собрал Ваня?
35 : 7 • 4 = 5 • 4 = 20 (грибов) — белые.
Ответ: 20 белых грибов.
4. В саду растёт 36 вишнёвых деревьев, что составляет всех деревьев. Сколько деревьев растёт в саду?
36 : 9 • 4 = 6 • 4 = 24 (дерева) — вишнёвые.
Ответ: 24 вишнёвых дерева.
5. Пешеход и велосипедист отправились навстречу друг другу из двух посёлков, расстояние между которыми равно 28 км. Пешеход до встречи прошёл пути. Сколько километров проехал до встречи велосипедист?
1) 28 : 7 • 2 = 2 • 2 = 4 (км) — прошёл пешеход до встречи.
2) 28 — 4 = 24 (км) — проехал велосипедист до встречи.
Ответ: 24 км.
Упражнения
719. Запишите все правильные дроби со знаменателем 8.
, , , , , , .
720. Запишите все правильные дроби со знаменателем 11.
, , , , , , , , , .
721. Запишите все неправильные дроби с числителем 8.
, , , , , , , .
722. Запишите все неправильные дроби с числителем 11.
, , , , , , , , , , .
723. Сравните числа:
1) <
2) >
3) > |
4) <
5) >
6) > |
7) < 1
8) > 1
9) = 1 |
10) =
11) <
12) < |
724. Сравните числа:
1) >
2) <
3) < |
4) >
5) <
6) < |
7) 1>
8) 1 <
9) 1 = |
10) =
11) <
12) > |
725. Расположите дроби в порядке убывания:
, , , , , .
726. Расположите дроби в порядке возрастания:
, , , , , .
727. Масса осколка Царь-колокола равна 11 500 кг. Масса царь-колокола составляет — массы этого осколка. Найдите массу Царь-колокола.
1) 11 500 : 23 • 400 = 500 • 400 = 200 000 (кг) — масса Царь-колокола.
Ответ: 200 000 кг.
728. Порция пельменей в кафе «Пампушечка» состоит из 18 пельменей. Иван Гурманов съедает за обедом порции. Сколько пельменей съедает за обедом Иван? На сколько пельменей больше одной порции он съедает?
1) 18 : 9 • 20 = 2 • 20 = 40 (шт) — пельменей съедает Иван Гурманов.
2) 40 — 18 = 22 (шт) — пельменей съедает Иван Гурманов больше одной порции.
Ответ: 40 штук пельменей, на 22 штуки больше одной порции.
729. Найдите все натуральные значения x, при которых дробь будет правильной.
Дробь будет правильной при х = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
730. Найдите все натуральные значения х, при которых дробь будет правильной.
Дробь будет правильной при х = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14.
731. Найдите все натуральные значения х, при которых дробь будет неправильной.
Дробь будет неправильной при х = 1, 2, 3, 4, 5, 6.
732. Найдите все натуральные значения х, при которых дробь будет неправильной.
Дробь будет неправильной при х = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13.
733. Найдите все натуральные значения х, при которых выполняется неравенство:
1) < , при х = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
2) < , при х = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15.
734. Найдите все натуральные значения х, при которых выполняется неравенство:
1) > , при х = 1, 2, 3, 4, 5, 6.
2) > , при х = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
735. Какие цифры можно поставить вместо звёздочки, чтобы:
1) дробь была неправильной
, , — неправильные дроби.
Значит можно подставить вместо звёздочек цифры 7, 8 и 9.
2) дробь была правильной
, — правильные дроби.
Значит можно подставить вместо звёздочек цифры 8 и 9.
736. Найдите все натуральные значения b, при которых дробь будет правильной.
Дробь называют правильной, если числитель дроби меньше, чем её знаменатель.
Значит:
3b + 2 < 16
3b < 16 — 2
3b < 14
Такое соотношение возможно, если b = 1, 2, 3, 4.
737. Найдите все натуральные значения b, при которых дробь будет правильной.
Дробь называют неправильной, если числитель дроби больше, чем её знаменатель или если числитель равен знаменателю.
Значит:
42 ≥ 10 + 4b
42 — 10 ≥ 4b
32 ≥ 4b
Такое соотношение возможно, если b = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
738. Найдите все натуральные значения а, при которых:
1) обе дроби и будут правильными
Дробь будет правильной при а = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 и 11.
Дробь будет правильной при а = 8, 9, 10, 11, 12, 13 и т.д.
Значит, обе дроби будут правильными при а = 8, 9, 10 и 11.
Ответ: а = 8, 9, 10 и 11.
2) дробь будет правильной, а дробь — неправильной
Дробь будет правильной при а = 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 и т.д.
Дробь будет неправильной при а = 1, 2, 3, 4, 5 и 6.
Значит, первая дробь будет правильной , а вторая неправильной при а = 4, 5 и 6.
Ответ: а = 4, 5 и 6.
739. Найдите все натуральные значения а, при которых:
1) обе дроби и будут неправильными
Дробь будет неправильной при а = 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 и т.д.
Дробь будет неправильной при а = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9.
Значит, обе дроби будет неправильными при а = 8 и 9.
Ответ: а = 8 и 9.
2) обе дроби и будут неправильными, а дробь — правильной.
Дробь будет неправильной при а = 10, 11, 12, 13, 14, 15 и т.д.
Дроби будет неправильной при а = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 и 15.
Дробь будет правильной при а = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 и 12.
Значит, первые две дроби будет неправильными, а третья дробь правильной при а = 10, 11 и 12.
Ответ: а = 10, 11 и 12.
Упражнения для повторения
740. Объём прямоугольного параллелепипеда равен 180 дм³, а два его измерения — 6 дм и 15 дм. Найдите сумму длин всех рёбер параллелепипеда.
Дано:
a = 6 дм
b = 15 дм
V = 180 дм³
c = ? см
Сумма длин всех рёбер параллелепипеда = ? дм
Решение:
V = abc, значит c = V : (ab)
1) 180 : (6 • 15) = 180 : 90 = 2 (дм) — длина третьего измерения прямоугольного параллелепипеда.
Сумма длин всех рёбер прямоугольного параллелепипеда = 4a + 4b + 4c.
2) 4 • 6 + 4 • 15 + 4 • 2 = 24 + 60 + 8 = 92 (см) — сумма длин всех рёбер прямоугольного параллелепипеда.
Ответ: 92 см.
741. Из двух городов, расстояние между которыми равно 392 км, выехали одновременно навстречу друг другу два автомобиля. Скорость одного автомобиля равна 48 км/ч, что составляет скорости второго. Какое расстояние будет между автомобилями через 5 ч после начала движения?
1) 48 : 6 • 7 = 8 • 7 = 56 (км/ч) — скорость второго автомобиля.
2) 48 • 5 = 240 (км) — проехал за 5 часов первый автомобиль.
3) 56 • 5 = 280 (км) — проехал за 5 часов второй автомобиль.
4) 240 + 280 = 520 (см) — проехали за 5 часов оба автомобиля.
5) 520 — 392 = 128 (км) — будет расстояние между автомобилями через 5 часов.
Ответ: 128 км.
Задача от мудрой совы
742. Мартышка, Удав, Слонёнок и Попугай съели вместе 70 бананов, причём каждый из них съел хотя бы один банан. Мартышка съела больше, чем кто-либо из них, Попугай и Слонёнок съели вместе 45 бананов. Сколько бананов съел Удав?
1) 70 — 45 = 25 (бананов) — съели Мартышка и Удав.
2) 25 — 1 = 24 (банана) — самое большое количество бананов, которое могла съесть Мартышка.
И Слонёнок, и Удав, и Попугай съели меньше, чем Мартышка — меньше, чем 24 банана.
Найдём два числа, которые меньше чем 24, и сумма которых равна 45. Единственная пара подходящих чисел — это числа 23 и 22 (23 + 22 = 45).
Значит:
- Слонёнок съел 22 или 23 банана
- Попугай съел 22 или 23 банана
- Мартышка съела 24 банана — самое большое число
- Удав съел 1 банан (25 — 24 = 1).
Ответ: Удав съел 1 банан.