Мерзляк 5 класс — § 27. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Опубликовано автором

Вопросы к параграфу

1. Сформулируйте правило сложения двух дробей с одинаковыми знаменателями.

Чтобы сложить две дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить прежним.

\frac{a}{c}   +   \frac{b}{c}  =  \frac{a+b}{c}

2. Сформулируйте правило вычитания двух дробей с одинаковыми знаменателями.

Чтобы найти разность дробей с одинаковыми знаменателями, надо из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого, а знаменатель оставить прежним.

\frac{a}{c}   —   \frac{b}{c}  =  \frac{a-b}{c}

Решаем устно

1. Сравните:

1) \frac{18}{29}  >  \frac{15}{29}

2) \frac{14}{33}  >  \frac{14}{35}

3) \frac{9}{10}  < 1

4) \frac{10}{9}  > 1

5) \frac{9}{9}  =  1

6) \frac{9}{10}  <  \frac{10}{9}

2. Какие цифры можно поставить вместо звёздочки, чтобы дробь \frac{372}{3*5}  была правильной?

\frac{372}{375},  \frac{372}{385} ,  \frac{372}{395}  — правильные дроби.

Значит вместо звёздочки можно поставить числа 7, 8 или 9.

3. На шахматной доске стоят 14 фигур, из которых 5 — чёрные.

Какую часть всех фигур составляют белые фигуры?

14 — 5 = 9 (фигур) — белые

Значит, белые фигуры составляют  \frac{9}{14}  части всех фигур.

Какую часть чёрных фигур составляют белые?

Белые фигуры составляют  \frac{9}{5}  от чёрных фигур.

Какую часть белых фигур составляют чёрные?

Чёрные фигуры составляют  \frac{5}{9}  от белых фигур.

4. Из суммы чисел 19 и 23 вычтите 34.

(19 + 23) — 34 = 42 — 34 = 8

5. К сумме чисел 18 и 16 прибавьте их разность.

(18 + 16) + (18 — 16) = 34 + 2 = 36

6. Удвойте сумму 37 + 100 + 63.

(37 + 100 + 63) • 2 = (37 + 63 + 100) • 2 = (100 + 100) • 2 = 200 • 2 = 400

7. Утройте разность 143 — 43.

(143 — 43) • 3 = 100 • 3 = 300

8. Назовите в порядке убывания числа:

\frac{100}{49} ,  \frac{50}{49} ,  1,  \frac{40}{49} ,  \frac{24}{49} ,  \frac{17}{49} , \frac{9}{49} ,  \frac{8}{49} ,  \frac{1}{49} .

Упражнения

743. Выполните действия:

1) \frac{7}{18}  +  \frac{5}{18}  =  \frac{7+5}{18} =  \frac{12}{18}

2) \frac{11}{24}  +  \frac{8}{24}  =  \frac{11+8}{24}  =  \frac{19}{24}

3) \frac{23}{47}  —  \frac{14}{47}  =  \frac{23-14}{47}  =  \frac{9}{47}

4) \frac{31}{58}  —  \frac{16}{58}  =  \frac{31-16}{58}  =  \frac{15}{58}

5) \frac{3}{29}  +  \frac{6}{29}  —  \frac{8}{29}  =  \frac{3+6-8}{29}  =  \frac{1}{29}

6) \frac{29}{64}  —  \frac{14}{64}  —  \frac{9}{64}  =  \frac{29-14-9}{64}  = \frac{6}{64}

744. Выполните действия:

1) \frac{5}{19}  +  \frac{6}{19}  =  \frac{5+6}{19} = \frac{11}{19}

2) \frac{7}{13}  —  \frac{4}{13}  =  \frac{7-4}{13}  = \frac{3}{13}

3) \frac{19}{25}  + \frac{4}{25}  —  \frac{22}{25}  =  \frac{19+4-22}{25}  = \frac{1}{25}

4) \frac{34}{39}  —  \frac{15}{39}  —  \frac{8}{39}  =  \frac{34-15-8}{39}  = \frac{11}{39}

745. Решите уравнение:

1) \frac{4}{15}  + х =  \frac{11}{15}

х =  \frac{11}{15}  —  \frac{4}{15}

х =  \frac{11-4}{15}

х =  \frac{7}{15}

 

2) \frac{16}{21}  — х = \frac{9}{21}

х =  \frac{16}{21}  — \frac{9}{21}

х = \frac{16-9}{21}

х = \frac{7}{21}

 

3) х —  \frac{4}{35}  =  \frac{12}{35}

х =  \frac{12}{35} + \frac{4}{35}

х =  \frac{12+4}{35}

х =  \frac{16}{35}

746. Решите уравнение:

1) \frac{7}{10}  + х =  \frac{9}{10}

х = \frac{9}{10}  —  \frac{7}{10}

х = \frac{9-7}{10}

х =  \frac{2}{10}

 

2) \frac{29}{32}  — х =  \frac{15}{32}

х =  \frac{29}{32}  —  \frac{15}{32}

х =  \frac{29-15}{32}

х = \frac{14}{32}

747. В первый день Миша прочитал  \frac{5}{16}  книги, а во второй день —  \frac{7}{16}  книги. Какую часть книги прочитал Миша за два дня?

Мерзляк 5 класс - § 27. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

1) \frac{5}{16}  +  \frac{7}{16}  =  \frac{5+7}{16}  =  \frac{12}{16}  (книги) — прочитал Миша за 2 дня.

Ответ: \frac{12}{16} книги.

748. Для перевозки груза использовали несколько грузовиков. На один из них положили  \frac{6}{19}  груза, а на второй —  \frac{8}{19}  груза. Какую часть груза положили на эти два грузовика?

Мерзляк 5 класс - § 27. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

1) \frac{6}{19}  +  \frac{8}{19}  =  \frac{6+8}{19}  =  \frac{14}{19}  (груза) — положили на эти два грузовика.

Ответ:  \frac{14}{19}  груза.

749. Кот Базилио съел за обедом \frac{9}{20} кг сосисок, а лиса Алиса — на \frac{3}{20}  кг больше, чем Базилио. Сколько килограммов сосисок съели за обедом Базилио и Алиса вместе?

Мерзляк 5 класс - § 27. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

1) \frac{9}{20}  +  \frac{3}{20}  =  \frac{9+3}{20}  =  \frac{12}{20} (кг) — сосисок съела лиса Алиса.

2) \frac{9}{20}  + \frac{12}{20}  =  \frac{9+12}{20}  =  \frac{21}{20} (кг) — сосисок съели лиса Алиса и кот Базилио вместе.

1 кг = 1 000 г

3) 1 000 : 20 • 21 = 50 • 21 = 1 050 (г) — сосисок съели лиса Алиса и кот Базилио вместе.

1 050 г = 1 кг 50 г.

Ответ: Лиса и кот вместе съели 1 кг 50 г сосисок или  \frac{21}{20}  кг сосисок.

750. Отправившись на прогулку, черепаха Тортила за первый час проползла \frac{23}{50} км, что на \frac{5}{50} км больше, чем за второй час. Сколько километров проползла Тортила за два часа?

Мерзляк 5 класс - § 27. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

1) \frac{23}{50}  —  \frac{5}{50}  =  \frac{23-5}{50}  =  \frac{18}{50}  (км) — проползла Тортила за второй час.

2) \frac{23}{50}  +  \frac{18}{50}  =  \frac{23+18}{50}  =  \frac{41}{50}  (км) — проползла Тортила за два часа.

1 км = 1 000 м

3) 1 000 : 50 • 41 = 20 • 41 = 820 (м) — проползла Тортила за два часа.

Ответ: Тортила проползла за 2 часа 820 м или \frac{41}{50} км.

751. Решите уравнение:

1) \frac{52}{63}  —  \frac{x}{63}  =  \frac{25}{63}

\frac{x}{63}  =  \frac{52}{63}  —  \frac{25}{63}

\frac{x}{63}  =  \frac{52-25}{63}

\frac{x}{63}  =  \frac{27}{63}

x = 27

 

2) \frac{x}{38}  +  \frac{14}{38}  =  \frac{23}{38}

\frac{x}{38}  =  \frac{23}{38}  —  \frac{14}{38}

\frac{x}{38}  =  \frac{23-14}{38}

\frac{x}{38}  =  \frac{9}{38}

x = 9

 

3) ( \frac{12}{13}  + x) —  \frac{5}{13}  =  \frac{9}{13}

\frac{12}{13}  + x =  \frac{9}{13}  +  \frac{5}{13}

\frac{12}{13}  + x =  \frac{9+5 }{13}

\frac{12}{13}  + x = \frac{14}{13}

x = \frac{14}{13}  —  \frac{12}{13}

x =  \frac{14-12}{13}

x = \frac{2}{13}

 

4) (x —  \frac{21}{31} ) +  \frac{14}{31}  =  \frac{25}{31}

x —  \frac{21}{31}  =  \frac{25}{31}  —  \frac{14}{31}

x —  \frac{21}{31}  =  \frac{25-14}{31}

x —  \frac{21}{31}  =  \frac{11}{31}

x =  \frac{11}{31}  +  \frac{21}{31}

x =  \frac{11+21}{31}

x =  \frac{32}{31}

752. Решите уравнение:

1) \frac{x}{72}  —  \frac{13}{72}  =  \frac{29}{72}

\frac{x}{72}  =  \frac{29}{72}  +  \frac{13}{72}

\frac{x}{72}  =  \frac{29+13}{72}

\frac{x}{72}  =  \frac{42}{72}

x = 42

 

2) ( \frac{29}{42}  — a) —  \frac{13}{42}  =  \frac{11}{42}

\frac{29}{42}  — a =  \frac{11}{42}  +  \frac{13}{42}

\frac{29}{42}  — a =  \frac{11+13}{42}

\frac{29}{42}  — a =  \frac{24}{42}

a =  \frac{29}{42}  —  \frac{24}{42}

a =  \frac{29-24}{42}

a = \frac{5}{42}

 

3) \frac{15}{17}  — (b —  \frac{3}{17} )  =  \frac{6}{17}

b —  \frac{3}{17}  =  \frac{15}{17}  —  \frac{6}{17}

b —  \frac{3}{17}  =  \frac{15-6}{17}

b —  \frac{3}{17}  =  \frac{9}{17}

b =  \frac{9}{17}  +  \frac{3}{17}

b =  \frac{9+3}{17}

b = \frac{12}{17}

 

4) \frac{29}{43}  — (m +  \frac{13}{43} ) =  \frac{5}{43}

m +  \frac{13}{43}  =  \frac{29}{43}  —  \frac{5}{43}

m +  \frac{13}{43}  =  \frac{29-5}{43}

m +  \frac{13}{43}  =  \frac{24}{43}

m =  \frac{24}{43}  —  \frac{13}{43}

m = \frac{24-13}{43}

m = \frac{11}{43}

753. Овощной магазин реализовал 240 кг картофеля. В первый день было продано  \frac{3}{16}  картофеля, а во второй — \frac{7}{16} . Сколько килограммов картофеля магазин реализовал за два дня?

Мерзляк 5 класс - § 27. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

1) \frac{3}{16}  +  \frac{7}{16}  =  \frac{3+7}{16}  =  \frac{10}{16}  (картофеля) — было продано за 2 дня.

2) 240 : 16 • 10 = 15 • 10 = 150 (кг) — картофеля было продано за 2 дня.

Ответ: 150 кг.

754. Протяжённость построенной дороги составляет 92 км. За первый месяц построили \frac{6}{23} дороги, а за второй месяц — \frac{9}{23}. Сколько километров дороги было построено за два месяца?

Мерзляк 5 класс - § 27. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

1) \frac{6}{23}  +  \frac{9}{23}  =  \frac{6+9}{23}  =  \frac{15}{23}  (дороги) — построили за два месяца.

2) 92 : 23 • 15 = 4 • 15 = 60 (км) — дороги построили за два месяца.

Ответ: 60 км.

Упражнения для повторения

755. Найдите числа, которых не хватает в цепочке вычислений:

Мерзляк 5 класс - § 27. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

1) a = 5; b = 31; c = 5; d = 47; m = 9; n = 912.

2) x = 92; y = 12; z = 48; p = 8; q = 323; m = 61.

756. Найдите все натуральные числа, при делении которых на 7 неполное частное будет равно остатку.

Пусть х — искомое число, а а — это неполное частное и остаток, полученные при делении числа х на 7. Так как остаток от деления всегда меньше делителя, то а может равняться числам 1, 2, 3, 4, 5 и 6.

Найдём число х:

  • если а = 1, то х = 7 • 1 + 1 = 7 + 1 = 8
  • если а = 2, то х = 7 • 2 + 2 = 14 + 2 = 16
  • если а = 3, то х = 7 • 3 + 3 = 21 + 3 = 24
  • если а = 4, то х = 7 • 4 + 4 =27 + 4 = 32
  • если а = 5, то х = 7 • 5 + 5 = 35 + 5 = 40
  • если а = 6, то х = 7 • 6 + 6 = 42 + 6 = 48

Ответ: числа 8, 16, 24, 32, 40 и 42.

Задача от мудрой совы

757. В коробке лежат 4 белых, 5 чёрных и 6 красных шаров. Какое наименьшее количество шаров надо вынуть из коробки, чтобы среди них обязательно оказались:

1) 3 шара одного цвета

Предположим, что нам не везёт и мы всё время достаём из коробки шары разного цвета, а не подряд одного цвета. Тогда через 6 попыток мы достанем по 2 шара каждого цвета, а седьмая попытка станет удачной в любом случае, потому что какого цвета шар мы бы не вытянули — он станет третьим шаром одного из цветов:

  1. Белый
  2. Чёрный
  3. Красный
  4. Белый
  5. Чёрный
  6. Красный
  7. Любой цвет (белый, красный или черный) 

Ответ: 7 шаров.

2) шары всех трёх цветов

Представим, что нам опять не везёт и мы всё время вытаскиваем из коробки шары одного цвета.

Самое большое количество шаров — красного цвета. Значит предположим, что сначала мы вытянули все 6 шаров красного цвета.

На втором месте по количеству — чёрные шары. Предположим, что после красных нам стали попадаться только чёрне шары и мы вытащим все 5 чёрных шаров из коробки.

А вот следующая попытка окажется удачной и нам обязательно попадётся белый шар, поскольку других в коробке уже не осталось. Значит количество попыток 12 (6 + 5 + 1 = 12):

  1. Красный
  2. Красный
  3. Красный
  4. Красный
  5. Красный
  6. Красный
  7. Чёрный
  8. Чёрный
  9. Чёрный
  10. Чёрный
  11. Чёрный
  12. Белый.

Ответ: 12 шаров.