Мерзляк 5 класс — § 29. Смешанные числа

Опубликовано автором

Вопросы к параграфу

1. В виде какого числа можно представить сумму натурального числа и правильной дроби?

В виде смешанного числа.

2. Как в записи смешанного числа называют натуральное число? Правильную дробь?

  • Натуральное число называют целой частью смешанного числа.
  • Правильную дробь называют дробной частью смешанного числа.

3. Какой дробью является дробная часть смешанного числа?

Правильной дробью.

4. В каком случае неправильная дробь равна натуральному числу?

Неправильная дробь равна натуральному числу в том случае, если числитель нацело делится на знаменатель.

5. Как неправильную дробь, числитель которой нацело не делится на знаменатель, преобразовать в смешанное число?

Чтобы неправильную дробь, числитель которой нацело не делится на знаменатель, преобразовать в смешанное число, надо числитель разделить на знаменатель; полученное неполное частное записать как целую часть смешанного числа, а остаток — как числитель его дробной части.

6. Как смешанное число преобразовать в неправильную дробь?

Чтобы преобразовать смешанное число в неправильную дробь, надо целую часть числа умножить на знаменатель дробной части и к полученному произведению прибавить числитель дробной части; эту сумму записать как числитель неправильной дроби, а её знаменатель записать в знаменатель дробной части смешанного числа.

7. Сформулируйте правило сложения двух смешанных чисел.

Чтобы найти сумму двух смешанных чисел, надо отдельно сложить их целые и дробные части.

8. Как найти разность двух смешанных чисел?

Чтобы найти разность двух смешанных чисел, надо из целой и дробной части уменьшаемого вычесть целую и дробную части вычитаемого.

Решаем устно

1. Сравните значения выражений:

1)

\frac{7}{11}  +  \frac{10}{11}    >   \frac{23}{11}  —  \frac{8}{11}

\frac{7+10}{11}    >   \frac{23-8}{11}

\frac{17}{11}   >   \frac{15}{11}

2)

\frac{19}{27} +  \frac{13}{27}  —  \frac{10}{27}    >   \frac{16}{27}  — \frac{7}{27} +  \frac{14}{27}

\frac{19+13-10}{27}   >  \frac{16-7+14}{27}

\frac{22}{27}  >  \frac{13}{27}

3)

\frac{9}{16} +  \frac{4}{3}   >   \frac{23}{11}   —    \frac{2}{3}

\frac{9+8}{16}   >  \frac{4-2}{3}

\frac{17}{16}  >  \frac{2}{3}

4)

\frac{30}{51} +  \frac{16}{51}  +  \frac{4}{51}  <   \frac{7}{9}  +  \frac{2}{9}

\frac{30+16+4}{51}   < \frac{7+2}{9}

\frac{50}{51}  <   \frac{9}{9}

2. Ответом к каким из следующих задач является число \frac{5}{6} ?

1) Сколько килограммов конфет получил каждый из шести отрядов, между которыми поделили поровну 5 кг конфет?

5 : 6 = \frac{5}{6} ( кг) — получил каждый из шести отрядов.

2) С какой скоростью шёл пешеход, если за 6 ч он прошёл 5 км?

5 : 6 = \frac{5}{6} (км/ч) — скорость пешехода.

3) Из 6 м ткани сшили пять фартуков. Сколько метров ткани пошло на один фартук?

6 : 5 = \frac{6}{5}  ( м) — пошло на 1 фартук.

4) Решите уравнение 6x = 5.

6х = 5

х = \frac{5}{6}.

Ответ: \frac{5}{6} является ответом к задаче № 1, №2 и №4.

3. Решите уравнение:

1)

\frac{y}{6}  = 3

y : 6 = 3

y = 3 • 6

y = 18

2)

\frac{6}{y}  = 3

6 : y = 3

y = 6 : 3

y = 2

3)

3y = 6

y = 6 : 3

y = 2

4)

6y = 3

y = 3 : 6

y = \frac{3}{6}

4. Назовите все пары правильных дробей со знаменателем 9, сумма которых равна \frac{7}{9}.

\frac{1}{9}  +  \frac{6}{9}  =  \frac{7}{9}  и  \frac{6}{9}  +  \frac{1}{9}  =  \frac{7}{9}

\frac{2}{9} +  \frac{5}{9}  =  \frac{7}{9}   и  \frac{5}{9}  +  \frac{2}{9}  =  \frac{7}{9}

\frac{3}{9} +  \frac{4}{9}  =  \frac{7}{9}   и  \frac{4}{9}  +  \frac{3}{9}  =  \frac{7}{9}

5. На обед Пончик съел 42 вареника, из которых  \frac{4}{7}  составляли вареники с творогом, \frac{1}{7} — вареники с картофелем, а остальные — вареники с вишней. Сколько вареников с вишней съел Пончик?

1) \frac{4}{7}  +  \frac{1}{7}  = \frac{5}{7} ( вареников) — с творогом и с картофелем.

2) 42 : 7 • 5 = 6 • 5 = 30 (шт) — вареники с творогом и картофелем.

3) 42 — 30 = 12 (шт) — вареники с вишней.

Ответ: 12 шт.

Упражнения

769. Преобразуйте неправильную дробь в смешанное число:

1) \frac{9}{4}  =  \frac{8+1}{4} = \frac{8}{4}  +  \frac{1}{4} = 2\frac{1}{4}

2) \frac{16}{7}  =  \frac{14+2}{7}  =  \frac{14}{7}  +  \frac{2}{7}  = 2\frac{2}{7}

3) \frac{29}{8}  =  \frac{24+5}{8}  =  \frac{24}{8}  +  \frac{5}{8}  =  3\frac{5}{8}

4) \frac{55}{9}  =  \frac{54+1}{9}  =  \frac{54}{9}  +  \frac{1}{9}  =  6\frac{1}{9}

5) \frac{83}{24}  =  \frac{72+11}{24}  =  \frac{72}{24}  +  \frac{11}{24}  =  3\frac{11}{24}

6) \frac{96}{19}  =  \frac{95+1}{19}  =  \frac{95}{19}  +  \frac{1}{19}  =  5\frac{1}{19}

770. Преобразуйте неправильную дробь в смешанное число:

1) \frac{13}{5}  =  \frac{10+3}{5}  =  \frac{10}{5}  +  \frac{3}{5}  =  2\frac{3}{5}

2) \frac{18}{11}  =  \frac{11+7}{11}  =  \frac{11}{11}  +  \frac{7}{11}  =  1\frac{7}{11}

3) \frac{37}{12}  =  \frac{36+1}{12}  =  \frac{36}{12}  +  \frac{1}{12}  =  3\frac{1}{12}

4) \frac{68}{23}  =  \frac{46+22}{23}  =  \frac{46}{23}  +  \frac{22}{23}  =  2\frac{22}{23}

5) \frac{79}{12}  =  \frac{72+7}{12}  =  \frac{72}{12}  +  \frac{7}{12}  =  6\frac{7}{12}

6) \frac{83}{18}  =  \frac{72+11}{18}  =  \frac{72}{18}  +  \frac{11}{18}  =  4\frac{11}{18}

771. Запишите частное в виде дроби и выделите из полученной дроби целую и дробную части:

1) 10 : 6 =  \frac{10}{6}  =  \frac{6+4}{6}  =  1\frac{4}{6}

2) 18 : 5 =  \frac{18}{5}  = \frac{15+3}{5}  =  3\frac{3}{5}

3) 23 : 11 =  \frac{23}{11}  =  \frac{22+1}{11}  =  2\frac{1}{11}

4) 19 : 6 = \frac{19}{6}  =  \frac{18+1}{6}  = 3\frac{1}{6}

5) 425 : 50 =  \frac{425}{50}  =  \frac{400+25}{50}  =  8\frac{25}{50}

6) 55 : 6 =  \frac{55}{6}  =  \frac{54+1}{6}  =  9\frac{1}{6}

772. Запишите частное в виде дроби и выделите из полученной дроби целую и дробную части:

1) 7 : 2 =  \frac{7}{2}  =  \frac{6+1}{2}  =  3\frac{1}{2}

2) 9 : 4 =  \frac{9}{4}  =  \frac{8+1}{4}  =  2\frac{1}{4}

3) 25 : 8 =  \frac{25}{8}  =  \frac{24+1}{8}  =  3\frac{1}{8}

4) 110 : 20 =  \frac{110}{20}  =  \frac{100+10}{20}  =  5\frac{10}{20}

5) 327 : 10 =  \frac{327}{10}  =  \frac{320+7}{10}  =  32\frac{7}{10}

6) 812 : 81 =  \frac{812}{81}  =  \frac{810+2}{81}  =  10\frac{2}{81}

773. Запишите число в виде неправильной дроби:

1) 2\frac{4}{7}  =  \frac{2\cdot 7+4}{7}  =  \frac{14+4}{7}  =  \frac{18}{7}

2) 3\frac{5}{12}  =  \frac{3\cdot 12+5}{12}  =  \frac{36+5}{12}  =  \frac{41}{12}

3) 4\frac{7}{20}  =  \frac{4\cdot 20+7}{20}  =  \frac{80+7}{20}  =  \frac{87}{20}

4) 6\frac{11}{24}  =  \frac{6\cdot24+11}{24} = \frac{144+11}{24}  =  \frac{155}{24}

5) 7\frac{23}{100}  =  \frac{7\cdot 100+23}{100}  =  \frac{700+23}{100}  =  \frac{723}{100}

6) 10\frac{16}{27}  =  \frac{10\cdot 27+16}{27}  =  \frac{270+16}{27}  =  \frac{286}{27}

774. Запишите число в виде неправильной дроби:

1) 4\frac{3}{4}  =  \frac{4\cdot 4+3}{4}  =  \frac{16+3}{4}  =  \frac{19}{4}

2) 9\frac{6}{11}  =  \frac{9\cdot 11+6}{11}  =  \frac{99+6}{11}  =  \frac{105}{11}

3) 3\frac{9}{17}  =  \frac{3\cdot 17+9}{17}  =  \frac{51+9}{17}  =  \frac{60}{17}

4) 12\frac{5}{6}  =  \frac{12\cdot 6+5}{6}  =  \frac{72+5}{6}  =  \frac{77}{6}

5) 13\frac{49}{100}  =  \frac{13\cdot 100+49}{100}  =  \frac{1300+49}{100}  =  \frac{1349}{100}

6) 8\frac{3}{16}  =  \frac{8\cdot 16+3}{16}  =  \frac{128+3}{16}  =  \frac{131}{16}

775. Выполните действия:

1) 8 +  \frac{4}{21}  =  8\frac{4}{21}

2) 5\frac{16}{19}  +  3\frac{5}{19}  =  (5+3) + \left ( \frac{16}{19}+\frac{5}{19} \right ) = 8+\frac{21}{19}  = 8+\frac{19+2}{19}  = 8+1\frac{2}{19}  = 9\frac{2}{19}

3) 7\frac{7}{16}-3\frac{3}{16} = \left ( 7-3 \right )+\left ( \frac{7}{16}-\frac{3}{16} \right ) = 4+\frac{7-3}{16}  = 4+\frac{4}{16}  =  4\frac{4}{16}

4) 10\frac{12}{17}+5\frac{4}{17}-3\frac{3}{17}  =  \left ( 10+5-3 \right )+\left ( \frac{12}{17}+\frac{4}{17}-\frac{3}{17} \right ) = 12+\frac{12+4-3}{17}  = 12+\frac{13}{17}  =  12\frac{13}{17}

776. Выполните действия:

1) \frac{14}{93}+5 =  5\frac{14}{93}

2) 6\frac{17}{41}+7\frac{19}{41}  = \left ( 6+7 \right )+\left ( \frac{17}{41}+\frac{19}{41} \right ) = 13+\frac{17+19}{41}  =  13+\frac{36}{41}  =  13\frac{36}{41}

3) 24\frac{9}{38}-17\frac{5}{38}  = \left ( 24-17 \right )+\left ( \frac{9}{38}-\frac{5}{38} \right ) = 7+\frac{9-5}{38}  = 7+\frac{4}{38}  =  7\frac{4}{38}

4) 15\frac{7}{10}-2\frac{4}{10}+6\frac{1}{10}  = \left ( 15-2+6 \right )+\left ( \frac{7}{10}-\frac{4}{10}+\frac{1}{10} \right ) = 19+\frac{7-4+1}{10}  =  19+\frac{4}{10}  =  19\frac{4}{10}

777. Вычислите:

1) 6\frac{4}{9}+3\frac{5}{9}=\left ( 6+3 \right )+\left ( \frac{4}{9}+\frac{5}{9} \right )=9+\frac{4+5}{9}=9+\frac{9}{9}=9+1=10

2) 10\frac{11}{19}+5\frac{14}{19}  =  \left ( 10+5 \right )+\left ( \frac{11}{19}+\frac{14}{19} \right )  =  15+\frac{11+14}{19}  =  15+\frac{25}{19}  =  15+\frac{19+6}{19}  =  15+1\frac{6}{19}  =  16\frac{6}{19}

3) 2\frac{3}{13}+2\frac{11}{13}  =  \left ( 2+2 \right )+\left ( \frac{3}{13}+\frac{11}{13} \right )  =  4+\frac{3+11}{13}  =  4+\frac{14}{13}  =  4+\frac{13+1}{13}  =  4+1\frac{1}{13}  = 5\frac{1}{13}

4) 1\frac{5}{8}+3\frac{7}{8}  =  \left ( 1+3 \right )+\left ( \frac{5}{8}+\frac{7}{8} \right )  =  4+\frac{5+7}{8}  =  4+\frac{12}{8}  =  4+\frac{8+4}{8}  =  4+1\frac{4}{8}  =  5\frac{4}{8}

5) 1-\frac{3}{11}  =  \frac{11}{11}-\frac{3}{11}  =  \frac{11-3}{11}  =  \frac{8}{11}

6) 1-\frac{13}{40}  =  \frac{40}{40} - \frac{13}{40}  =  \frac{40-13}{40}  =  \frac{27}{40}

7) 4-1\frac{4}{7}  =  3\frac{7}{7}-1\frac{4}{7}  =  \left ( 3-1 \right )+\left ( \frac{7}{7}-\frac{4}{7} \right )  =  2+\frac{3}{7}  =  2\frac{3}{7}

8) 10-9\frac{3}{10}  =  9\frac{10}{10}-9\frac{3}{10}  =  \left ( 9-9 \right )+\left ( \frac{10}{10}-\frac{3}{10} \right )  =  0+\frac{10-3}{10}  =  \frac{7}{10}

9) 5\frac{2}{7}-2\frac{5}{7}  =  4\frac{1\cdot 7+2}{7}-2\frac{5}{7}  =  4\frac{9}{7}-2\frac{5}{7}  =  \left ( 4-2 \right )+\left ( \frac{9}{7}-\frac{5}{7} \right )  =  2+\frac{4}{7}  = 2\frac{4}{7}

10) 14\frac{6}{20}-8\frac{12}{20} = 13\frac{1\cdot 20+6}{20}-8\frac{12}{20}  =  13\frac{26}{20}-8\frac{12}{20}  =  \left ( 13-8 \right )+\left ( \frac{26}{20}-\frac{12}{20} \right )  =  5+\frac{26-12}{20}  =  5+\frac{14}{20}  =  5\frac{14}{20}

11) 8\frac{3}{14}-5\frac{9}{14}  =  7\frac{1\cdot 14+3}{14}-5\frac{9}{14}  = 7\frac{17}{14}-5\frac{9}{14}  =  \left ( 7-5 \right )+\left ( \frac{17}{14}-\frac{9}{14} \right )  =  2+\frac{17-9}{14}  =  2+\frac{8}{14}  =  2\frac{8}{14}

12) 7\frac{10}{21}-4\frac{16}{21}  =  6\frac{1\cdot 21+10}{21}-4\frac{16}{21}  =  6\frac{31}{21}-4\frac{16}{21}  =  \left ( 6-4 \right )+\left ( \frac{31}{21}-\frac{16}{21} \right )  =  2+\frac{31-16}{21}  =  2+\frac{15}{21}  =  2\frac{15}{21}

13) 14\frac{8}{31}-6\frac{8}{31}  =  \left ( 14-6 \right )+\left ( \frac{8}{31}-\frac{8}{31} \right )  =  8+0  =  8

14) \left ( 12\frac{5}{22}+7\frac{17}{22} \right )-\left ( 13\frac{7}{23}-9\frac{15}{23} \right )  =  \left ( \left ( 12+7 \right )+\left ( \frac{5}{22}+\frac{17}{22} \right ) \right )-\left ( 12\frac{23\cdot 1+7}{23}-9\frac{15}{23} \right )  =  \left ( 19+\frac{22}{22} \right )-\left ( \left ( 12-9 \right )+\left ( \frac{30}{23}-\frac{15}{23} \right ) \right )  =  20-\left ( 3+\frac{15}{23} \right )  =  20-3\frac{15}{23}  =  19\frac{23}{23}-3\frac{15}{23}  =  \left ( 19-3 \right )+\left ( \frac{23}{23}-\frac{15}{23} \right )  =  16+\frac{8}{23}  =  16\frac{8}{23}

778. Вычислите:

1) 7\frac{14}{15}+2\frac{1}{15}  =  \left ( 7+2 \right )+\left ( \frac{14}{15}+\frac{1}{15} \right )  =  9+\frac{15}{15}  =  10

2) 9\frac{24}{27}+12\frac{13}{27}  =  \left ( 9+12 \right )+\left ( \frac{24}{27}+\frac{13}{27} \right )  = 21+\frac{37}{27}  = 21+\frac{27+10}{27}  =  21+1\frac{10}{27}  =  22\frac{10}{27}

3) 1-\frac{12}{19}  =  \frac{19}{19}-\frac{12}{19}  =  \frac{7}{19}

4) 8-3\frac{6}{15}  =  7\frac{15}{15}-3\frac{6}{15}  =  \left ( 7-3 \right )+\left ( \frac{15}{15}-\frac{6}{15} \right )  =  4+\frac{9}{15}  =  4\frac{9}{15}

5) 12-11\frac{6}{11}  =  11\frac{11}{11}-11\frac{6}{11}  =  \left ( 11-11 \right )+\left ( \frac{11}{11}-\frac{6}{11} \right )  =  0+\frac{5}{11}  =  \frac{5}{11}

6) 16\frac{3}{13}-6\frac{8}{13}  =  15\frac{1\cdot 13+3}{13}-6\frac{8}{13}  = 15\frac{16}{13}-6\frac{8}{13}  =  \left ( 15-6 \right )+\left ( \frac{16}{13}-\frac{8}{13} \right )  =  9+\frac{8}{13}  =  9\frac{8}{13}

7) 13\frac{4}{9}-2\frac{8}{9}  =  12\frac{1\cdot 9+4}{9}-2\frac{8}{9}  = 12\frac{13}{9}-2\frac{8}{9}  =  \left ( 12-2 \right )+\left ( \frac{13}{9}-\frac{8}{9} \right )  =  10+\frac{5}{9}  =  10\frac{5}{9}

8) 10\frac{7}{16}-4\frac{12}{16}  =  9\frac{1\cdot 16+7}{16}-4\frac{12}{16}  = 9\frac{23}{16}-4\frac{12}{16}  =  \left ( 9-4 \right )+\left ( \frac{23}{16}-\frac{12}{16} \right )  =  5+\frac{11}{16}  =  5\frac{11}{16}

9) 29\frac{49}{53}-8\frac{49}{53}  =  \left ( 29-8 \right )+\left ( \frac{49}{53}-\frac{49}{53} \right )  =  21+0  =  21

10) \left ( 20\frac{16}{25}+13\frac{9}{25} \right )-\left ( 23\frac{4}{14} +7\frac{13}{14}\right )  =  \left ( \left ( 20+13 \right )+\left ( \frac{16}{25}+\frac{9}{25} \right ) \right )-\left ( \left ( 23+7 \right )+\left ( \frac{4}{14}+\frac{13}{14} \right ) \right )  =  \left ( 33+\frac{25}{25} \right )-\left ( 30+\frac{17}{14} \right )  =  34-\left ( 30+\frac{14+3}{14} \right )  =  34-\left ( 30+1\frac{3}{14} \right )  =  34-31\frac{3}{14}  =  33\frac{14}{14}-31\frac{3}{14}  =  \left ( 33-31 \right )+\left ( \frac{14}{14}-\frac{3}{14} \right )  =  2+\frac{11}{14}  = 2\frac{11}{14}

779. Решите уравнение:

1)

x+4\frac{4}{19}=6\frac{2}{19}

x=6\frac{2}{19}-4\frac{4}{19}

x=5\frac{21}{19}-4\frac{4}{19}

x=\left ( 5-4 \right )+\left ( \frac{21}{19}-\frac{4}{19} \right )

x=1\frac{17}{19}

2)

25-x=8\frac{3}{14}

x=25-8\frac{3}{14}

x=24\frac{14}{14}-8\frac{3}{14}

x=\left ( 24-8 \right )+\left ( \frac{14}{14}-\frac{3}{14} \right )

x=16\frac{11}{14}

3)

32-x=9\frac{18}{35}

x=32-9\frac{18}{35}

x=31\frac{35}{35}-9\frac{18}{35}

x=\left ( 31-9 \right )+\left ( \frac{35}{35}-\frac{18}{35} \right )

x=22\frac{17}{35}

780. Решите уравнение:

1)

4\frac{5}{7}-\left ( x-6\frac{3}{7} \right )=2\frac{6}{7}

x-6\frac{3}{7}=4\frac{5}{7}-2\frac{6}{7}

x-6\frac{3}{7}=3\frac{12}{7}-2\frac{6}{7}

x-6\frac{3}{7}=\left ( 3-2 \right )+\left ( \frac{12}{7}-\frac{6}{7} \right )

x-6\frac{3}{7}=1\frac{6}{7}

x=1\frac{6}{7}+6\frac{3}{7}

x=7\frac{9}{7}

x=8\frac{2}{7}

2)

19\frac{28}{34}-\left ( m+2\frac{29}{34} \right )=12\frac{15}{34}

m+2\frac{29}{34}=19\frac{28}{34}-12\frac{15}{34}

m+2\frac{29}{34}=\left ( 19-12 \right )+\left ( \frac{28}{34}-\frac{15}{34} \right )

m+2\frac{29}{34}=7\frac{13}{34}

m=7\frac{13}{34}-2\frac{29}{34}

m=6\frac{47}{34}-2\frac{29}{34}

m=4\frac{18}{34}

781. Решите уравнение:

1)

7\frac{7}{30}-\left ( 5\frac{11}{30}-y \right )=3\frac{19}{30}

5\frac{11}{30}-y=7\frac{7}{30}-3\frac{19}{30}

5\frac{11}{30}-y=6\frac{37}{30}-3\frac{19}{30}

5\frac{11}{30}-y=3\frac{18}{30}

y=5\frac{11}{30}-3\frac{18}{30}

y=4\frac{41}{30}-3\frac{18}{30}

y=1\frac{23}{30}

2)

\left ( x-1\frac{9}{17} \right )+2\frac{14}{17}=5\frac{5}{17}

x-1\frac{9}{17}=5\frac{5}{17}-2\frac{14}{17}

x-1\frac{9}{17}=4\frac{22}{17}-2\frac{14}{17}

x-1\frac{9}{17}=2\frac{8}{17}

x=2\frac{8}{17}+1\frac{9}{17}

x=3\frac{17}{17}

x=4

782. Степан, Иван и Андрей съели арбуз. Степан съел \frac{2}{9} арбуза, Иван — \frac{4}{9} . Какую часть арбуза съел Андрей?

Мерзляк 5 класс - § 29. Смешанные числа

1) \frac{2}{9}  +  \frac{4}{9}  =  \frac{6}{9}  (часть) — арбуза съели Степан и Иван.

2) 1-\frac{6}{9}=\frac{9}{9}-\frac{6}{9}=\frac{3}{9} (часть) — арбуза съел Андрей.

Ответ:  \frac{3}{9}  часть арбуза.

783. Мария, Ирина, Елена и Ольга съели торт. Мария съела \frac{3}{16} торта, Ирина — \frac{5}{16} , Елена — \frac{2}{16}. Какую часть торта съела Ольга?

Мерзляк 5 класс - § 29. Смешанные числа

1) \frac{3}{16}  +  \frac{5}{16}  +  \frac{2}{16}  =  \frac{3+5+2}{16}  =  \frac{10}{16}  (часть) — торта съели Мария, Ирина и Елена.

2) 1-\frac{10}{16}=\frac{16}{16}-\frac{10}{16}=\frac{6}{16} (часть) — торта съела Ольга.

Ответ: \frac{6}{16} часть торта.

784. Три тракториста вспахали вместе поле. Бригадир записал, что один из них вспахал \frac{5}{13} поля, второй — \frac{4}{13}, а третий — \frac{6}{13}. Не ошибся ли бригадир.

Мерзляк 5 класс - § 29. Смешанные числа

1) \frac{5}{13}  +  \frac{4}{13}  +  \frac{6}{13}  =  \frac{5+4+6}{13}  =  \frac{15}{13}  =  1\frac{2}{13} (части) — поля вспахано по записям бригадира.

2) 1\frac{2}{13} >  1 , значит бригадир ошибся, так как трактористы не могли вспахать больше, чем всё поле, равное 1.

Ответ: Бригадир ошибся.

785. Фермер решил выделить под морковь \frac{3}{20} огорода, под свёклу — \frac{4}{20}, под лук — \frac{6}{20}, под горох — \frac{2}{20}, под картофель — \frac{7}{20}. Сможет ли он реализовать свой план?

Мерзляк 5 класс - § 29. Смешанные числа

1) \frac{3}{20}  +  \frac{4}{20}  +  \frac{6}{20}  +  \frac{2}{20}  +  \frac{7}{20}  =  \frac{3+4+6+2+7}{20}  =  \frac{22}{20} (части) — решил выделить фермер.

2) \frac{22}{20}  >  1 , значит не сможет реализовать свой план.

Ответ: нет, не сможет.

786. 1) Какое наибольшее натуральное число удовлетворяет неравенству:

а) n<\frac{123}{30}

\frac{123}{30}=\frac{4\cdot 30+3}{30}=4\frac{3}{30}

n< 4\frac{3}{30} , наибольшее натуральное число, при котором неравенство верно — 4.

Ответ: n = 4.

б) n<\frac{198}{15} 

\frac{198}{15}=\frac{13\cdot 15+3}{15}=13\frac{3}{15}

n< 13\frac{3}{15} , наибольшее натуральное число, при котором неравенство верно — 13.

Ответ: n = 13.

2) Какое наименьшее натуральное число удовлетворяет неравенству:

а) m>\frac{13}{5} 

\frac{13}{5}=\frac{2\cdot 5+3}{5}=2\frac{3}{5}

m> 2\frac{3}{5} , наименьшее натуральное число, при котором неравенство верно — 3.

Ответ: m = 3.

б) \frac{275}{10}<m 

\frac{275}{10}=\frac{27\cdot 10+5}{10}=27\frac{3}{5}

27\frac{3}{5}< m, наименьшее натуральное число, при котором неравенство верно — 28.

Ответ: m = 28.

787. 1) Какое наибольшее натуральное число удовлетворяет неравенству:

а) n<\frac{206}{13} 

\frac{206}{13}=\frac{15\cdot 13+11}{13}=15\frac{11}{13}

n< 15\frac{11}{13} , наибольшее натуральное число, при котором неравенство верно — 15.

Ответ: n = 15.

б) \frac{324}{16}>n 

\frac{324}{16}=\frac{20\cdot 16+4}{16}=20\frac{4}{16}

20\frac{4}{16}> n, наибольшее натуральное число, при котором неравенство верно — 20.

Ответ: n = 20.

2) Какое наименьшее натуральное число удовлетворяет неравенству:

а) m>\frac{34}{6}

\frac{34}{6}=\frac{5\cdot 6+4}{6}=5\frac{4}{6}

m> 5\frac{4}{6} , наименьшее натуральное число, при котором неравенство верно — 6.

Ответ: m = 6.

б) \frac{421}{16}<m

\frac{421}{16}=\frac{26\cdot 16+5}{16}=26\frac{5}{16}

26\frac{5}{16}< m, наименьшее натуральное число, при котором неравенство верно — 27.

Ответ: m = 27.

788. Найдите все натуральные значения х, при которых верно неравенство:

1)

2\frac{1}{3}< \frac{x}{3}< 3\frac{2}{3}

\frac{7}{3}< \frac{x}{3}< \frac{11}{3}

Неравенство верно при х = 8, 9 и 10.

2)

1\frac{5}{12}< \frac{17}{x}< 2\frac{1}{8}

\frac{17}{12}< \frac{17}{x}< \frac{17}{8}

Неравенство верно при х = 9, 10 и 11.

789. Найдите все натуральные значения х, при которых верно неравенство:

1)

3\frac{11}{15}< \frac{x}{15}< 4

\frac{56}{15}< \frac{x}{15}< \frac{60}{15}

Неравенство верно при х = 57, 58 и 59.

2)

3\frac{1}{8}< \frac{25}{x}< 8\frac{1}{3}

\frac{25}{8}< \frac{25}{x}< \frac{25}{3}

Неравенство верно при х =4, 5, 6 и 7.

790. При каких натуральных значениях a является верным неравенство, левая часть которого — неправильная дробь:

1)

\frac{20}{a}< 2

Неравенство будет верным при а = 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 и 20.

2) 

\frac{4}{a}> a

Неравенство будет верным при а = 1.

791. При каких натуральных значениях a является верным неравенство \frac{10}{a}> a, левая часть которого — неправильная дробь?

Неравенство будет верным при а = 1, 2 и 3.

Упражнения для повторения

792. Одна из сторон треугольника в 2 раза меньше второй и на 7 см меньше третьей. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 39 см.

Мерзляк 5 класс - § 29. Смешанные числа

Пусть длина первой стороны треугольника — х см. Тогда длина второй стороны — 2х см, а длина третьей стороны — (х + 7) см. Мы знаем, что периметр треугольника равен 39 см.

Составим уравнение:

х + 2х + (х + 7) = 39
(х + 2х + х) + 7 = 39
4х + 7 = 39
4х = 39 — 7
4х = 32
х = 32 : 4
х = 8 (см) — длина первой стороны треугольника.

2х = 2 • 8 = 16 (см) — длина второй стороны треугольника.

х + 7 = 8 + 7 = 15 (см) — длина третьей стороны треугольника.

Ответ: 8 см, 16 см и 15 см.

793. Общая площадь трёх крупнейших волжских водохранилищ Куйбышевского, Рыбинского и Волгоградского составляет 14 197 км². Площадь Волгоградского водохранилища на 1 463 км² меньше площади Рыбинского водохранилища и на 3 383 км² меньше площади Куйбышевского водохранилища. Найдите площадь каждого водохранилища.

Мерзляк 5 класс - § 29. Смешанные числа

Пусть х км² — площадь Волгоградского водохранилища. Тогда площадь Рыбинского водохранилища (х + 1 463) км², а площадь Куйбышевского водохранилища — (х + 3 383) км². Мы знаем, что общая площадь трёх водохранилищ 14 197 км².

Составим уравнение:

Мерзляк 5 класс - § 29. Смешанные числа

х + (х + 1 463) + (х + 3 383) = 14 197
(х + х + х) + (1 463 + 3 383) = 14 197
3х + 4 846 = 14 197
3х = 14 197 — 4 846
3х = 9 351
х = 9 351 : 3
х = 3 117 (км²) — площадь Волгоградского водохранилища.

х + 1 463 = 3 117 + 1 463 = 4 580 (км²) — площадь Рыбинского водохранилища.

х + 3 383 = 3 117 + 3 383 = 6 500 (км²) — площадь Куйбышевского водохранилища.

Ответ: Волгоградское — 3 117 км², Рыбинское — 4 580 км², Куйбышевское — 6 500 км².

794. Пакет кефира стоит 68 р. У Кати есть 200 р. Какое наибольшее количество пакетов кефира она может купить? Сколько денег останется у Кати?

200 = 68 • 2 + 64 

Значит Катя сможет купить 2 пакета молока и у неё ещё останется 64 рубля.

Ответ: 2 пакета молока, 64 рубля.

795. По дороге в одном направлении идут два пешехода. В 12 ч 54 мин расстояние между ними было 540 м. Скорость пешехода, который идёт впереди, равна 25 м/мин, что составляет  \frac{5}{8} скорости пешехода, который идёт сзади. В котором часу второй пешеход догонит первого?

Мерзляк 5 класс - § 29. Смешанные числа

1) 25 : 5 • 8 = 5 • 8 = 40 (м/мин) — скорость движения второго пешехода.

2) 40 — 25 = 15 (м/мин) — скорость сближения пешеходов.

3) 540 : 15 = 36 (мин) — потребуется второму пешеходу, чтобы догнать первого.

4) 12 ч 54 мин + 36 мин = 12 ч 90 мин = 13 ч 30 мин — время, в которое второй пешеход догонит первого.

Ответ: в 13 часов 30 минут.

Задача от мудрой совы

796. Ученики Фёдоров, Сидоров и Петров входили в сборную школы по шахматам. Имена этих учеников были Фёдор, Сидор и Пётр. Известно, что фамилия Фёдора не Петров, волосы у Сидора рыжего цвета и учится он в 6 классе; Петров учится в 7 классе, а волосы у Фёдорова чёрного цвета. Укажите фамилию и имя каждого мальчика.

Мерзляк 5 класс - § 29. Смешанные числа

Занесём в таблицу данные, которые нам известны:

  • «фамилия Фёдорова не Петров»
  • «волосы Сидора рыжего цвета»
  • «Сидор учится в 6 классе».

Теперь начнём рассуждать:

  • «Петров учится в 7 классе» — мы уже знаем, что «фамилия Фёдорова не Петров», значит Петровым может быть только Пётр
  • «волосы Фёдорова чёрного цвета» — по условию у Сидора волосы рыжие, значит чёрные волосы у Фёдора, а его фамилия — Фёдоров.
  • оставшийся мальчик Сидор носит фамилию Сидоров.

Ответ: Фёдор Фёдоров, Сидор Сидоров и Пётр Петров.