Мерзляк 5 класс — § 36. Среднее арифметическое. Среднее значение величины

• Ответы к учебнику для 5 класса. А. Г. Мерзляк
• Переход на главную страницу сайта

Вопросы к параграфу

1. Что называют средним арифметическим нескольких чисел?

Средним арифметическим чисел называют частное от деления суммы этих чисел на количество слагаемых.

2. Приведите примеры средних значений величин.

Часто используются следующие средние величины:

• средняя температура воздуха в определенной местности (городе, селе, стране и т.д.) за какой-либо период времени (день, месяц, год и и т.д.);
• средняя скорость автомобиля (поезда, трамвая, велосипеда, самолёта и т.д.);
• средняя урожайность сельскохозяйственных культур;
• средний расход топлива при движении транспорта;
• среднее время выполнения какого-либо действия, например среднее время пути от дома до школы;
•  и т.д.

Решаем устно

1. Заполните цепочку вычислений:

2. Найдите четвёртую часть разности 5,2 — 2,4.

1) 5,2 — 2,4 = 2,8

2) 2,8 : 4 = 0,7

Ответ: 0,7.

3. Найдите пятую часть произведения 1,8 • 1,5.

(1,8 • 1,5) : 5 = 1,8 • (1,5 : 5) = 1,8 • 0,3 = 0,54

Ответ: 0,54.

5. От села до станции 2 км. Успеет ли пешеход на поезд, если выйдет из села за 0,6 ч до отхода поезда и будет двигаться со скоростью 2,5 км/ч?

2,5 • 0,6 = 1,5 (км) — можно пройти за 0,6 ч при скорости движения 2,5 км/ч.

1,5 < 2,5 — значит пешеход не успеет пройти нужное расстояние. 

Ответ: пешеход не успеет.

Упражнения

1033. Найдите среднее арифметическое чисел:

1) 10,3 и 9,1

(10,3 + 9,1) : 2 = 19,4 : 2 = 9,7

2) 2,8; 16,9 и 22

(2,8 + 16,9 + 22) : 3 = 41,7 : 3 = 13,9

1034. Найдите среднее арифметическое чисел:

1) 4,2 и 2,1

(4,2 + 2,1) : 2 = 6,3 : 2 = 3,15

2) 3,9; 6; 9,18 и 15,8

(3,9 + 6 + 9,18 + 15,8) : 4 = 34,88 : 4 = 8,72

1035. В течение недели в 8 ч утра Саша измерял температуру воздуха. Он получил такие результаты: 20 °С; 18 °С; 16 °С; 15 °С; 14 °С; 17 °С; 19 °С. Найдите среднее значение проведённых измерений.

(20 + 18 + 16 + 15 + 14 + 17 + 19) : 7 = 119 : 7 = 17 ( °С) — средняя температура воздуха в 8 ч утра.

Ответ: 17 °С.

1036. Найдите среднюю оценку по математике учащихся вашего класса за II четверть. Ответ округлите до единиц.

Для этого надо сложить все оценки учащихся классы, выставленные за II четверть, затем разделить полученное число на количество учащихся и округлить его до единиц.

Например, в классе 10 учеников, которые за II четверть получили оценки: 4, 5, 5, 3, 3, 4, 3, 5, 5, 5. Рассчитаем среднее арифметическое:

(4 + 5 + 5 + 3 + 3 + 4 + 3 + 5 + 5 + 5) : 10 = (4 • 2 + 5 • 5 + 3 • 3) : 10 = (8 + 25 + 9) : 10 = 42 : 10 = 4,2 ≈ 4.

Значит средняя оценка по математике — 4.

1037.1) Поезд ехал 4 ч со скоростью 64 км/ч и 5 ч со скоростью 53,2 км/ч. Найдите среднюю скорость поезда на протяжении всего пути.

1) 64 • 4 = 256 (км) — проехал поезд в первый отрезок времени.

2) 53,2 • 5 = 266 (км) — проехал поезд во второй отрезок времени.

3) 256 + 266 = 522 (км) — проехал поезд всего.

4) 4 + 5 = 9 (часов) — двигался поезд всего.

5) 522 : 9 = 58 (км/ч) — средняя скорость поезда.

Ответ: 58 км/ч.

2) В автомастерской работает 10 человек. У двоих из них месячная зарплата составляет 22 800 р., у четверых — 28 000 р., у троих 31 000 р., а у одного 32 000 р. Какова средняя зарплата работников мастерской?

(22 800 • 2 + 28 000 • 4 + 31 000 • 3 + 32 000) : 10 = 282 600 : 10 = 28 260 (рублей) — средняя месячная зарплата работников.

Ответ: 28 260 рублей.

1038.1) Автомобиль ехал 3 ч со скоростью 56,4 км/ч и 4 ч со скоростью 62,7 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на всём пути.

1) 56,4 • 3 = 169,2 (км) — проехал автомобиль в первый отрезок времени.

2) 62,7 • 4 = 250,8 (км) — проехал автомобиль во второй отрезок времени.

3) 169,2 + 250,8 = 420 (км) — проехал автомобиль всего.

4) 3 + 4 = 7 (часов) — двигался автомобиль всего.

5) 420 : 7 = 60 (км/ч) — средняя скорость автомобиля.

Ответ: 60 км/ч.

2) Фермер собрал с каждого гектара поля площадью 30 га по 30,2 ц пшеницы, а с каждого гектара поля площадью 20 га — по 32,3 ц пшеницы. Какой средний урожай с одного гектара собрал фермер?

1) 30,2 • 30 = 906 (ц) — собрали с первого поля.

2) 32,3 • 20 = 646 (ц) — собрали со второго поля.

3) 906 + 626 = 1552 (ц) — собрали всего.

4) 30 + 20 = 50 (га) — площадь двух полей.

5) 1552 : 50 = 31,04 (ц/га) — средняя урожайность.

Ответ: 31,04 ц/га.

1039.Среднее арифметическое чисел 7,8 и х равно 7,2. Найдите х.

(7,8 + х) : 2 = 7,2
7,8 + х = 7,2 • 2
7,8 + х = 14,4
х = 14,4 — 7,8 
х = 6,6

Ответ: 6,6.

1040.Среднее арифметическое чисел 6,4 и у равно 8,5. Найдите у.

(6,4 + у) : 2 = 8,5
6,4 + у = 8,5 • 2
6,4 + у = 17
у = 17 — 6,4 
у = 10,6

Ответ: 10,6.

1041.Среднее арифметическое двух чисел, одно из которых в 4 раза меньше второго, равно 10. Найдите эти числа.

Пусть первое число равно х, тогда второе число равно 4х. Составим уравнение:

(х + 4х) : 2 = 10
5х : 2 = 10
5х = 10 • 2 
5х = 20
х = 20 : 5
х = 4 — первое число.

4 • 4 = 16 — второе число.

Ответ: первое число равно 4, а второе число равно 16.

1042.Среднее арифметическое двух чисел, одно из которых на 4,6 больше второго, равно 8,2. Найдите эти числа.

Пусть первое число равно х, тогда второе число равно (х — 4,6). Составим уравнение:

(х + (х — 4,6)) : 2 = 8,2
(2х — 4,6) : 2 = 8,2
2х — 4,6 = 8,2 • 2
2х — 4,6 = 16,4
2х = 16,4 + 4,6
2х = 21
х = 21 : 2
х = 10,5 — первое число.

10,5 — 4,6 = 5,9 — второе число.

Ответ: первое число 10,5, а второе число 5,9.

1043. Отметьте на координатном луче числа а и b и их среднее арифметическое, если:

1) а = 2, b = 6

с = (2 + 6) : 2 = 8 : 2 = 4 — среднее арифметическое.

2) а = 4, b = 7

с = (4 + 7) : 2 = 11 : 2 = 5,5 — среднее арифметическое.

Как расположена точка, соответствующая среднему арифметическому чисел а и b, относительно точек, соответствующих числам а и b?

Точка, соответствующая среднему арифметическому, расположена ровно посередине между точками а и b.

1044.Принимая участие в математической олимпиаде, Дима решил 10 задач. За каждую задачу он мог получить не более 12 баллов. За первые восемь задач мальчик получил среднюю оценку 7 баллов. Сколько баллов получил Дима за каждую из оставшихся двух задач, если среднее количество баллов за одну задачу составляло 8 баллов?

1) 8 • 10 = 80 (баллов) — получил Дима всего.

2) 7 • 8 = 56 (баллов) — получил Дима за первые 8 задач.

3) 80 — 56 = 24 (балла) — получил Дима за 9-ю и 10-ю задачу.

4) 24 : 2 = 12 (баллов) — средний бал за последние две задачи.

Так как, по условию, Дима не мог получить за задачу более 12 баллов, то оценка двух последних задач равна среднему баллу за них, а именно 12 баллам.

Ответ: за 9-ю и 10-ю задачу Дима получил по 12 баллов.

1045.Автомобиль ехал 3,4 ч по шоссе со скоростью 90 км/ч и 1,6 ч по грунтовой дороге. С какой скоростью ехал автомобиль по грунтовой дороге, если средняя скорость на протяжении всего пути составляла 75,6 км/ч?

1) 3,4 + 1,6 = 5 (часов) — всего двигался автомобиль.

2) 75,6 • 5 = 378 (км) — всего проехал автомобиль.

3) 3,4 • 90 = 306 (км) — проехал автомобиль по шоссе.

4) 378 — 306 = 72 (км) — проехал автомобиль по грунтовой дороге.

5) 72 : 1,6 = 45 (км/ч) — скорость автомобиля по грунтовой дороге.

Ответ: 45 км/ч.

1046.Купили 2 кг конфет одного вида по 255 р. за килограмм, 4 кг конфет второго вида по 285 р. за килограмм и ещё 3 кг конфет третьего вида. Средняя цена купленных конфет составляла 260 р. за килограмм. Сколько стоил килограмм конфет третьего вида?

1) 255 • 2 = 510 (р) — заплатили за конфеты первого вида.

2) 285 • 4 = 1 140 (р) — заплатили за конфеты второго вида.

3) 1 140 + 510 = 1 640 (р) — заплатили за конфеты первых двух видов.

4) 2 + 4 + 3 = 9 (кг) — конфет купили всего.

5) 260 • 9 = 2340 (р) — заплатили за все конфеты.

6) 2340 — 1650 = 690 (р) — заплатили за конфеты третьего вида.

7) 690 : 3 = 230 (р) — цена за кг конфет третьего вида.

Ответ: 230 р.

1047. Среднее арифметическое четырёх чисел равно 2,1, а среднее арифметическое трёх других чисел — 2,8. Найдите среднее арифметическое этих семи чисел.

(2,1 • 4 + 2,8 • 3) : 7 = (8,4 + 8,4) : 7 = 16,8 : 7 = 2,4 — среднее арифметическое семи чисел.

Ответ: среднее арифметическое 2,4.

1048.Среднее арифметическое семи чисел равно 10,2, а среднее арифметическое трёх других чисел — 6,8. Найдите среднее арифметическое этих десяти чисел.

(10,2 • 7 + 6,8 • 3) : 10 = (71,4 + 20,4) : 10 = 91,8 : 10 = 9,18 — среднее арифметическое десяти чисел.

Ответ: среднее арифметическое 9,18.

1049. Средний возраст одиннадцати футболистов команды равен 22 годам. Во время игры одного из футболистов удалили с поля, после чего средний возраст оставшихся игроков составил 21 год. Сколько лет было футболисту, который покинул поле?

1) 22 • 11 = 242 (года) — суммарный возраст всех одиннадцати игроков команды.

2) 21 • 10 = 210 (лет) — суммарный возраст оставшихся десяти игроков команды.

3) 242 — 210 = 32 (года) — возраст удалённого игрока.

Ответ: 32 года.

1050. На сколько среднее арифметическое всех чётных чисел от 1 до 1 000 включительно больше, чем среднее арифметическое всех нечётных чисел от 1 до 1 000 включительно?

1. Из чисел от 1 до  1 000 половина чисел чётные, а половина — нечётные. Это значит, что:
   • чётные — 500 чисел
   • нечётные — 500 чисел
2. Нечётные числа: 1, 3, 5, 7, 9, … 991, 993, 995, 997, 999. Их можно развить на пары:
   • 1 + 999 = 1 000
   • 3 + 997 = 1 000
   • 5 + 995 = 1 000
   • …
   • 497 + 503 = 1 000
   • 499 + 501 = 1 000
3. Как мы видим, сумма чисел каждой пары нечётных чисел равна 1 000, а всего таких пар 500 : 2 = 250. Значит среднее арифметическое нечётных чисел:
   • 250 • 1 000 : 500 = 250 • 2 = 500.
4. Чётные числа: 2, 4, 6, 8, … 992, 994, 996, 998, 1000. Их тоже можно разбить на пары:
   • 2 + 998 = 1 000
   • 4 + 996 = 1 000
   • 6 + 994 = 1 000
   • … 
   • 496 + 504 = 1 000
   • 498 + 502 = 1 000
   • 500 + 1 000 = 1 500
5. У нас получится 249 пар, сумма чисел которых равна 1 000, и ещё одна пара, сумма чисел которой равна 1 500. Значит среднее арифметическое чётных чисел равно:
   • (249 • 1 000 + 1 500) : 500 = (249 000 + 1 500) : 500 = 250 500 : 500 = 501.
6. 501 — 500 = 1. Значит среднее арифметическое чётных чисел на 1 больше, чем среднее арифметическое нечётных чисел от 1 до 1 000 включительно.

Ответ: на 1.

1051.Семь гномов собрались вечером вокруг костра. Оказалось, что рост каждого гнома равен среднему арифметическому роста двух его соседей. Докажите, что все гномы были одного роста.

• Предположим, что все семь гномов были разного роста. 
• Тогда рядом с самым низким гномом должны сидеть два гнома, рост одного из которых больше самого низкого гнома, а рост другого — меньше самого низкого гнома.
• Это невозможно, так как мы предположили, что этот гном и так самый низкий из всех. Значит среди сидящих вокруг костра гномов не может быть ни самого низкого, ни самого высокого. То есть все гном одного роста. Что и требовалось доказать.

Упражнения для повторения

1052. Найдите числа, которых не хватает в цепочке вычислений:

1) a = 9,88 : 3,8 = 2,6

b = 3,8 — 1,74 = 2,06

c = 6,09 : 1,74 = 3,5

Ответ: a = 2,6; b =2,06; с = 3,5.

2)

x = 17,36 : 6,2 = 2,8

y = 20,1 — 17,36 = 2,74

z = 20,1 : 1,5 = 13,4

Ответ: x = 2,8; y = 2,74; z = 13,4.

1053.1) Периметр прямоугольника равен 36,8 см, а одна из его сторон — 13,8 см. Вычислите площадь прямоугольника.

Дано:

P = 36,8 см
a = 13,8 см

Найти:

S = ? см²

Решение:

P = (a + b) • 2. Составим уравнение:

36,8 = (13,8 + b) • 2
13,8 + b = 36,8 : 2
13,8 + b = 18,4
b = 18,4 — 13,8
b = 4,6 (см) — длина второй стороны прямоугольника.

S = ab

S = 13,8 • 4,6 = 63,48 (см²) — площадь прямоугольника.

Ответ: 63,84 см².

2) Ширина прямоугольного параллелепипеда равна 7,2 см, что составляет 0,8 его длины и 0,18 его высоты. Вычислите объём параллелепипеда.

1) 7,2 : 8 • 10 = 0,9 • 10 = 9 (см) — длина прямоугольного параллелепипеда.

2) 7,2 : 18 • 100 = 0,4 • 100 = 40 (см) — высота прямоугольного параллелепипеда.

V = abc

3) 9 • 7,2 • 40 = 360 • 7,2 = 2592 (см³) — объём прямоугольного параллелепипеда.

Ответ: 2 592 см³.

1054. В 25 банок разлили поровну 32 кг мёда. Сколько мёда налили в каждую банку? Ответ округлите до десятых.

32 : 25 = 1,28 (кг) ≈ 1,3 (кг) — мёда налили в каждую банку.

Ответ: 1,3 кг.

Задача от мудрой совы

1055.Одновременно на сковороду можно положить двух карасей. Чтобы поджарить одного карася с одной стороны, нужна 1 мин. Можно ли за 3 мин поджарить с двух сторон трёх карасей?

Да, если действовать следующим образом:

1. минута:
   • положить на сковороду карася № 1 и поджарить иго с одной стороны
   • положить на сковороду карася № 2 и поджарить иго с одной стороны
2. минута:
   • перевернуть карася № 1 на другую сторону и поджарить его вторую сторону
   • убрать со сковороды карася № 2
   • положить на сковороду карася № 3 и поджарить его первую сторону
3. минута:
   • убрать со сковороды готового карася № 1
   • положить на сковороду карася № 2 и поджарить его вторую сторону
   • перевернуть карася № 3 и поджарить его вторую сторону

Все готово!

• Ответы к учебнику для 5 класса. А. Г. Мерзляк
• Переход на главную страницу сайта