Мерзляк 5 класс — § 38. Нахождение числа по его процентам
Решаем устно
1. Найдите числа, которых не хватает в цепочке вычислений:
2. Золотую медаль за успехи в учёбе получили 14 выпускников, что составляет —всех учащихся школы. Сколько учащихся в этой школе?
14 : 1 • 100 = 14 • 100 = 1 400 (учеников) — в школе.
Ответ: 1 400 учащихся.
3. Возраст Светы составляет возраста её отца. Сколько лет отцу, если Свете 8 лет?
8 : 2 • 9 = 4 • 9 = 36 (лет) — возраст отца.
Ответ: 36 лет.
4. Какую часть числа составляют:
1) 50 % этого числа — часть
2) 25 % этого числа — часть
3) 10 % этого числа — часть
4) 2 % этого числа — часть
5. Решите уравнение:
1) 4 х — 2,6 х = 42
4 х — 2,6 х = 42
1,4 х = 42
х = 42 : 1,4
х = 30
2) 3,9 х + 4,2 х = 0,81
3,9 х + 4,2 х = 0,81
8,1 х = 0,81
х = 0,81 : 8,1
х = 0,1
6. Сравните 40 % числа 80 и 80 % числа 40.
Найдём 40 % от числа 80:
80 : 100 • 40 = 0,8 • 40 = 32
Найдём 80% от числа 40:
40 : 100 • 80 = 0,4 • 80 = 32
Сравним полученные результаты:
32 = 32
Ответ: 40% от числа 80 равно 80% от числа 40.
7. Одно число составляет 50 % второго. Во сколько раз второе число больше первого?
В 2 раза, так как 50% — это половина числа.
Упражнения
1092. Заполните таблицу.
1093.Найдите число, если:
1) 20 % этого числа равны 40
40 : 20 • 100 = 2 • 100 = 200
2) 54 % этого числа равны 81
81 : 54 • 100 = 1,5 • 100 = 150
3) 280 % этого числа равны 70
70 : 280 • 100 = 0,25 • 100 = 25
4) 320 % этого числа равны 16
16 : 320 • 100 = 0,05 • 100 = 5
1094.Найдите число, если:
1) 1 % этого числа равен 7
7 : 1 • 100 = 7 • 100 = 700
2) 1 % этого числа равен 0,36
0,36 : 1 • 100 = 0,36 • 100 = 36
3) 12 % этого числа равны 4,8
4,8 : 12 • 100 = 0,4 • 100 = 40
4) 104 % этого числа равны 260
260 : 104 • 100 = 2,5 • 100 = 250
1095. За первую неделю турист прошёл 32 км, что составляет 40 % туристского маршрута. Какова длина всего маршрута?
1) 32 : 40 = 0,8 (км) — 1%
2) 0,8 • 100 = 80 (км) — длина всего маршрута.
Ответ: 80 км.
1096. Михаил купил справочник по математике, потратив на него 45 % имевшихся у него денег. Сколько денег было у Михаила, если справочник стоит 144 р.?
1) 144 : 45 = 3,2 (р) — 1%
2) 3,2 • 100 = 320 (р) — было у Михаила.
Ответ: 320 рублей.
1097. Руда содержит 60 % железа. Сколько тонн руды надо взять, чтобы получить 72 т железа?
1) 72: 60 = 1,2 (т) — 1%
2) 1,2 • 100 = 120 (т) — потребуется руды.
Ответ: 120 т руды потребуется.
1098. Раствор содержит 14 % соли. Сколько килограммов раствора надо взять, чтобы получить 49 кг соли?
1) 49 : 14 = 3,5 (кг) — 1%.
2) 3,5 • 100 = 350 (кг) — раствора потребуется.
Ответ: 350 кг раствора.
1099. Банк выплачивает своим вкладчикам 8 % годовых. Сколько денег надо положить в банк, чтобы через год получить 600 р. прибыли?
1) 600 : 8 = 75 (р) — 1%
2) 75 • 100 = 7 500 (р) — сумма вклада.
Ответ: надо положить в банк 7 500 рублей.
1100. Масса сушёных слив составляет 15 % массы свежих. Сколько надо взять свежих слив, чтобы получить 36 кг сушёных?
1) 36 : 15 = 2,4 (кг) — 1%
2) 2,4 • 100 = 240 (кг) — свежих слив потребуется.
Ответ: 240 кг.
1101. За неделю бригада рабочих отремонтировала 138 м дороги, что составляет 115 % плана. Сколько метров дороги планировали отремонтировать за неделю?
1) 138 : 115 = 1,2 (км) — 1%
2) 1,2 • 100 = 120 (км) — планировалось отремонтировать.
Ответ: 120 км.
1102. За обедом Пончик съел 28,8 кг варенья, что составило 120 % того, что он планировал съесть. Сколько варенья планировал съесть Пончик за обедом?
1) 28,8 : 120 = 0,24 (кг) — 1%
2) 0,24 • 100 = 24 (кг) — планировал съесть Пончик.
Ответ: 24 кг.
1103.Во время сушки яблоки теряют 84 % своей массы. Сколько килограммов свежих яблок надо взять, чтобы получить 24 кг сушёных?
1) 100 — 84 = 16 (%) — сушеных яблок.
2) 24 : 16 = 1,5 (кг) — 1%.
3) 1,5 • 100 = 150 (кг) — потребуется свежих яблок.
Ответ: 150 кг.
1104.При тушении мясо теряет 24 % своей массы. Сколько килограммов сырого мяса надо взять, чтобы получить 19 кг тушёного?
1) 100 — 24 = 76 (%) — тушёного мяса.
2) 19 : 76 = 0,25 (кг) — 1%.
3) 0,25 • 100 = 25 (кг) — потребуется сырого мяса.
Ответ: 25 кг.
1105.На обед в харчевне «Три пескаря» лиса Алиса и кот Базилио заказали салат «Оливье», жареного поросёнка и торт-мороженое. Когда им принесли счёт, оказалось, что за салат надо заплатить 28 % суммы, за поросёнка — 54 %, а за торт — остальные 108 сольдо. Сколько сольдо стоил обед Алисы и Базилио?
1) 100 — (28 + 54) = 100 — 82 = 18 (%) — торт.
2) 108 : 18 = 6 (сольдо) — 1%.
3) 6 • 100 = 600 (сольдо) — стоит весь обед.
Ответ: 600 сольдо.
1106.Трое друзей собирали грибы. Первый собрал 37 % всех грибов, второй — 25 %, а третий — остальные 152 гриба. Сколько всего грибов они собрали?
1) 100 — (37 + 25) = 100 — 62 = 38 (%) — собрал третий грибник.
2) 152 : 38 = 4 (шт) — 1%.
3) 4 • 100 = 400 (шт) — собрали всего.
Ответ: 400 шт.
1107. Длина прямоугольного параллелепипеда равна 50 см, а ширина составляет 24 % длины. Вычислите объём параллелепипеда, если ширина составляет 30 % высоты.
1) 50 : 100 • 24 = 0,5 • 24 = 12 (см) — ширина прямоугольного параллелепипеда.
2) 12 : 30 • 100 = 0,4 • 100 = 40 (см) — высота прямоугольного параллелепипеда.
3) 50 • 12 • 40 = (50 • 40) • 12 = 2 000 • 12 = 24 000 (см³) — объем прямоугольного параллелепипеда.
Ответ: 24 000 см³.
1108. В первый день турист прошёл 7,2 км, во второй день — 150 % того, что в первый. Сколько километров прошёл турист за три дня, если во второй день он прошёл 90 % того, что прошёл в третий?
1) 7,2 : 100 • 150 = 0,072 • 150 = 10,8 (км) — прошёл турист во второй день.
2) 10,8 : 90 • 100 = 0,12 • 100 = 12 (км) — прошёл турист в третий день.
3) 7,2 + 10,8 + 12 = 18 + 12 = 30 (км) — прошёл турист за три дня.
Ответ: 30 км.
1109. В саду росли яблони и вишни, причём яблони составляли 41 % всех деревьев. Вишнёвых деревьев было на 54 больше, чем яблонь. Сколько деревьев росло в саду? Сколько среди них было вишнёвых деревьев?
1) 100 — 41 = 59 (%) — деревьев — вишнёвые.
2) 59 — 41 = 18 (%) — вишнёвых деревьев больше, чем яблонь.
Так как по условию вишень на 54 дерева больше, чем яблонь, то 18% деревьев сада — это 54 дерева.
3) 54 : 18 = 3 (шт) — деревьев оставляют 1 % от всех деревьев сада.
4) 3 • 59 = 177 (шт) — вишни.
5) 3 • 100 = 300 (шт) — все деревья сада.
Ответ: в саду росло 300 деревьев и среди них было 177 вишень.
1110. За два дня проложили кабель. В первый день проложили 68 % кабеля, а во второй — на 115,2 м меньше, чем в первый. Сколько всего метров кабеля проложили за два дня? Сколько метров кабеля проложили в первый день?
1) 100 — 68 = 32 (%) — кабеля проложили во второй день.
2) 6 — 32 = 36 (%) — кабеля проложили в во второй день меньше, чем в первый день.
3) 115,2 : 36 = 3,2 (м) — кабеля составляет 1% от всего проложенного кабеля.
4) 3,2 • 100 = 320 (м) — кабеля проложили за 2 дня.
5) 3,2 • 68 = 217,6 (м) — кабеля проложили в первый день.
Ответ: всего проложили 320 м кабеля, а в первый день — 217,6 м.
1111.В саду растут красные, розовые и белые розы. Красные розы составляют 40 % всех роз, розовые — 58 % остальных роз, а белых роз растёт 126. Сколько всего роз растёт в саду?
1) 100 — 40 = 60 (%) — остальные розы — это белые и розовые розы.
2) 100 — 58 = 42 (%) — от остальных роз — белые, их 126 шт.
3) 126 : 42 • 100 = 3 • 100 = 300 (шт) — остальные розы (белые и розовые)
4) 300 : 60 • 100 = 5 • 100 = 500 (шт) — все розы.
Ответ: в саду растёт 500 роз.
1112. В первый день Саша прочитал 25 % всей книги, во второй — 68 % оставшихся страниц, а в третий — последние 96 страниц. Сколько всего страниц в книге?
1) 100 — 25 = 75 (%) — оставшиеся страницы, которые будут прочитаны во второй и третий день.
2) 100 — 68 = 32 (%) — от оставшихся страниц будут прочитаны в третий день — это 96 страниц.
3) 96 : 32 • 100 = 3 • 100 = 300 (шт) — страниц — оставшиеся страницы на второй и на третий день — они составляют 75% от всей книги.
4) 300 : 75 • 100 = 4 • 100 = 400 (шт) — страниц со всей книге.
Ответ: 400 страниц.
1113. Сколько килограммов картофеля продал магазин за три дня, если в первый день продали 32 % всего картофеля, во второй — 45 % оставшегося, а в третий — 561 кг?
1) 100 — 32 = 68 (%) — оставшийся картофель, который надо продать во второй и третий день.
2) 100 — 45 = 55 (%) — от оставшегося картофеля продали в третий день, а то 561 кг.
3) 561 : 55 • 100 = 10,2 • 100 = 1 020 (кг) — картофеля продали за второй и третий день, что составило 68 % от всего проданного картофеля.
4) 1 020 : 68 • 100 = 15 • 100 = 1 500 (кг) — картофеля продали за три дня.
Ответ: 1 500 кг.
1114. На новогодний праздник в школу завезли три вида мороженого: шоколадное, клубничное и ванильное. Шоколадное составляло 52 % всего мороженого, клубничное — 25 % шоколадного, а ванильное — остальные 140 кг. Сколько килограммов мороженого завезли в школу?
1) 100 — 52 = 48 (%) — завезли клубничного и ванильного мороженного.
2) 52 : 100 • 25 = 0,52 • 25 = 13 (%) — от всего мороженного — клубничное.
3) 48 — 13 = 35 (%) — ванильное мороженое, которого завезли 140 кг.
4) 140 : 35 • 100 = 4 • 100 = 400 (кг) — мороженого завезли всего.
Ответ: 400 кг.
1115.В саду растут розы, гладиолусы и георгины. Розы составляют 60 % всех цветов, гладиолусы — 40 % количества роз, а георгинов растёт 32. Сколько роз растёт в саду?
1) 100 — 60 = 40 (%) — гладиолусы и георгины.
2) 60 : 100 • 40 = 0,6 • 40 = 24 (%) — от всех цветов — гладиолусы.
3) 40 — 24 = 16 (%) — от всех цветов — георгины, которых 32 штуки.
4) 32 : 16 • 60 = 2 • 60 = 120 (шт) — роз растёт в саду.
Ответ: 120 роз.
Упражнения для повторениях
1116.Заполните пропуски в цепочке вычислений, если:
1) х= 2,6
2) х= 8
1117. Решите уравнение:
1118. Ширина Красной площади в Москве равна 130 м. Длина её в 5,34 раза больше ширины. Сколько квадратных метров составляет её площадь? Ответ округлите до тысяч.
1) 130 • 5,34 = 694,2 (м) — длина Красной площади.
2) 694,2 • 130 = 90 246 (м²) ≈ 90 000 (м²) — площадь Красной площади.
Ответ: 90 000 м².
1119. Часовая стрелка курантов на Спасской башне Московского Кремля на 0,31 м короче минутной. Когда часы показывают 18.00, то расстояние между концами стрелок равно 6,25 м. Вычислите длину каждой стрелки.
Пусть х м длина часовой стрелки, тогда длина минутной стрелки (х + 0,31) м. Мы знаем, что когда стрелки образуют развёрнутый угол, в 18.00 часов, их общая длина равна 6,25 м. Составим уравнение:
х + (х + 0,31) = 6,25
2х + 0,31 = 6,25
2х = 6,25 — 0,31
2х = 5,94
х = 2,97 (м) — длина часовой стрелки.
2,97 + 0,31 = 3,28 (м) — длина минутной стрелки.
Ответ: часовая стрелка — 2,97 м, минутная стрелка — 3,28 м.
1120.0т двух пристаней, расстояние между которыми равно 63 км, навстречу друг другу одновременно отплыли две моторные лодки. Скорость одной из них равна 16 км/ч. Лодки встретились через 2 ч 6 мин после начала движения. Найдите скорость второй лодки.
Так как 1 час составляет 60 минут, то 6 минут будет равно 0,1 часа:
1) 6 : 60 = 0,1 (ч) — составляет 6 минут.
Соответственно 2 ч 6 мин = 2,1 часа.
2) 63 : 2,1 = 30 (км/ч) — скорость сближения моторных лодок.
3) 30 — 16 = 14 (км/ч) — скорость второй моторной лодки.
Ответ: 14 км/ч.
1121.Сколько существует двузначных чисел, для записи которых используются только (Цифры могут повторяться.):
1) цифры 0, 2, 4, 6 и 8
Существует 4 варианта цифры, обозначающей десятки в двузначном числе: 2, 4, 6 и 8, так как цифра 0 не может отображать разряд десятков в двузначном числе.
Существует 5 вариантов цифры, обозначающей единицы в двузначном числе: 0, 2, 4, 6 и 8.
Значит возможных вариантов двузначных чисел по заданным условиям 4 • 5 = 20.
Ответ: 20 вариантов.
2) цифры 1, 3, 5, 7 и 9
Существует 5 вариантов цифры, обозначающей десятки в двузначном числе: 1, 3, 5, 7 и 9.
Существует 5 вариантов цифры, обозначающей единицы в двузначном числе: 1, 3, 5, 7 и 9.
Значит возможных вариантов двузначных чисел по заданным условиям 5 • 5 = 25.
Ответ: 25 вариантов.
Задача от мудрой совы
1122. Для просмотра кинофильма в зрительном зале собрались ученики нескольких школ. Оказалось, что ученики одной из школ составляют 47 % количества зрителей. Сколько всего зрителей было в зале, если в нём 280 мест и более половины мест было занято?
Согласно условию задачи, зрителей зале было меньше чем 280, но больше чем 140 (280 : 2 = 140 — половина зала). Это значит, что 100% зрителей — целое число, которое больше 140 и меньше или равно 280:
- 140 < 100% ≤ 280.
1% зрителей — это одна сотая часть. Пусть 1% зрителей равен х человек. Значит верно равенство:
- 1,4 < х ≤ 2,8.
Мы знаем, что 47% зрителей являются учениками одной школы, а 53% (100 — 47 = 53) — являются учениками других школ. Количество зрителей должно быть выражено целым числом. Значит:
- 47% зрителей — это целое число, значит 47х — целое число, при 1,4 < х ≤ 2,8
- 53% зрителей — это целое число, значит 53х — целое число, при 1,4 < х ≤ 2,8
Эти условия могут быть выполнены только если х = 2:
- 1,4 < 2 ≤ 2,8
- 47 • 2 = 94 — целое число
- 53 • 2 = 106 — целое число
Значит в зале было 100 • 2 = 200 зрителей.
Ответ: в зале было 200 зрителей.