Мерзляк 6 класс — § 10. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Опубликовано автором

Вопросы к параграфу

1. Сформулируйте правило сложения (вычитания) дробей с разными знаменателями.

Для того, чтобы сложить (вычесть) две дроби с разными знаменателями, надо:

  1. привести их к общему знаменателю;
  2. применить правило сложения (вычитания) дробей с одинаковыми знаменателями.

2. Какими свойствами обладает действие сложения дробей?

Для дробей выполняются такие же свойства сложения, как и для натуральных чисел:

Переместительное свойство сложение:

\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{c}{d}+\frac{a}{b}

Сочетательное свойство сложения:

\left (\frac{a}{b}+\frac{c}{d} \right )+\frac{p}{q}=\frac{a}{b}+\left (\frac{c}{d}+\frac{p}{q} \right )

Решаем устно

1. Сколько минут составляют:

Мы знаем, что 1 час = 60 минут. Значит:
1) \frac{1}{5} часа = 12 минут, так как 60 : 5 • 1 = 12 • 1 = 12 (минут).

2) \frac{3}{4} часа = 45 минут, так как 60 : 4 • 3 = 15 • 3 = 45 (минут).

3) \frac{3}{6} часа = 30 минут, так как \frac{3}{6}=\frac{1}{2}, а 60 : 2 • 1 = 30 • 1 = 30 (минут).

4) \frac{2}{3} часа = 40 минут, так как 60 : 3 • 2 = 20 • 2 = 40 (минут).

2. На прямоугольном участке земли, стороны которого равны 50 м и 40 м, планируют разбить розарий прямоугольной формы со сторонами 20 м и 15 м. Какую часть площади всего участка займёт розарий?

1) 50 • 40 = 2 000 (м²) — площадь всего участка.

2) 20 • 15 = 300 (м²) — площадь розария.

3) 300:2000 = \frac{300}{2000}=\frac{3}{20} (часть) — участка займёт розарий.

Ответ: \frac{3}{20} часть участка.

3. Масса 1 л керосина равна \frac{4}{5} кг, а 1 л бензина — \frac{7}{10} кг. Масса литра какого топлива, керосина или бензина, больше и на сколько килограммов?

1) \frac{4}{5}=\frac{8}{10} (кг) — масса 1 литра керосина.

2) \frac{8}{10}> \frac{7}{10} — значит масса 1 литра керосина больше, чем масса 1 литра бензина.

3) \frac{8}{10}-\frac{7}{10}=\frac{8-7}{10}=\frac{1}{10} (кг) — на столько масса 1 литра керосина больше, чем масса 1 литра бензина.

Ответ: Масса 1 литра керосина на \frac{1}{10} кг больше, чем масса 1 литра бензина.

4. Три подруги съели торт. Первая подруга съела \frac{1}{4} торта, вторая — \frac{1}{3} торта. Какую часть торта съела третья подруга?

1) \frac{1}{4}=\frac{1\cdot 3}{4\cdot 3}=\frac{3}{12} (часть) — торта съела первая подруга.

2) \frac{1}{3}=\frac{1\cdot 4}{3\cdot 4}=\frac{4}{12} (часть) — торта съела вторая подруга.

3) \frac{3}{12}+\frac{4}{12}=\frac{3+4}{12}=\frac{7}{12} (часть) — торта съели первая и вторая подруга вместе.

4) 1-\frac{7}{12}=\frac{12}{12}-\frac{7}{12}=\frac{12-7}{12}=\frac{5}{12} (часть) — торта съела третья подруга.

Ответ: \frac{5}{12} часть торта.

Упражнения

269. Вычислите:

Мерзляк 6 класс - § 10. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

270. Вычислите:

Мерзляк 6 класс - § 10. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

271. Найдите значение выражения, предварительно сократив дроби:

Мерзляк 6 класс - § 10. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

272. В одной банке было \frac{3}{10} л сметаны, а в другой — \frac{4}{15} л. В какой банке было больше сметаны и на сколько литров?

1) \frac{3}{10}=\frac{3\cdot 3}{10\cdot 3}=\frac{9}{30} (л.) — сметаны в первой банке.

2) \frac{4}{15}=\frac{4\cdot 2}{15\cdot 2}=\frac{8}{30} (л.) — сметаны во второй банке.

3) \frac{9}{30}> \frac{8}{30} — значит в первой банке сметаны больше, чем во второй.

4) \frac{9}{30}-\frac{8}{30}=\frac{9-8}{30}=\frac{1}{30} (л.) — сметаны в первой банке больше, чем во второй.

Ответ: В первой банке на \frac{1}{30} л. сметаны больше, чем во второй.

273. Окунев поймал рыбу длиной \frac{8}{25} м, а Щукин — длиной \frac{13}{40} м. Кто из них поймал рыбу длиннее и на сколько метров?

1) \frac{8}{25}=\frac{8\cdot 8}{25\cdot 8}=\frac{64}{200} (м) — длина рыбы, пойманной Окуневым.

2) \frac{13}{40}=\frac{13\cdot 5}{40\cdot 5}=\frac{65}{200} (м) — длина рыбы, пойманной Щукиным.

3) \frac{64}{200}< \frac{65}{200} — значит Щукин поймал более длинную рыбу, чем Окунев.

4) \frac{65}{200}-\frac{64}{200}=\frac{65-64}{200}=\frac{1}{200} (м) — на столько рыба Щукина длиннее, чем рыба Окунева.

Ответ: Щукин поймал рыбу длиннее на \frac{1}{200} м.

274. Золушка \frac{11}{20} ч убирала комнаты, что на \frac{2}{15} ч больше времени, которое она затратила на мытьё посуды. Сколько времени заняли у Золушки уборка и мытьё посуды?

1) \frac{11}{20}=\frac{11\cdot 3}{20\cdot 3}=\frac{33}{60} (ч) — время, которое Золушка потратила на уборку комнат.

2) \frac{2}{15}=\frac{2\cdot 4}{15\cdot 4}=\frac{8}{60} (ч) — на такое время меньше Золушка потратила на мытьё посуды.

3) \frac{33}{60}-\frac{8}{60}=\frac{33-8}{60}=\frac{25}{60} (ч) — Золушка потратила на мытьё посуды.

4) \frac{33}{60}+\frac{25}{60}=\frac{33+25}{60}=\frac{58}{60}=\frac{58:2}{60:2}=\frac{29}{30} (ч) — заняли у Золушки уборка комнат и мытьё посуды.

Ответ: \frac{29}{30} часа.

275. На завтрак Винни-Пух съел \frac{2}{9} горшочка мёда, что на \frac{2}{15} горшочка меньше, чем он съел на обед. Какую часть горшочка мёда Винни-Пух съел на завтрак и на обед?

1) \frac{2}{9}=\frac{2\cdot 5}{9\cdot 5}=\frac{10}{45} (часть) — горшочка мёда съел Винни-Пух на завтрак.

2) \frac{2}{15}=\frac{2\cdot 3}{15\cdot 3}=\frac{6}{45} (часть) — горшочка — на столько мёда съел Винни-Пух на обед больше.

3) \frac{10}{45}+\frac{6}{45}=\frac{10+6}{45}=\frac{16}{45} (часть) — горшочка мёда съел Винни-Пух на обед.

4) \frac{10}{45}+\frac{16}{45}=\frac{10+16}{45}=\frac{26}{45} (часть) — горшочка мёда съел Винни-Пух на завтрак и обед.

Ответ: \frac{26}{45} часть горшочка мёда.

276. Найдите сумму:

Мерзляк 6 класс - § 10. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

277. Найдите сумму:

Мерзляк 6 класс - § 10. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

278. Вычислите значение выражения:

Мерзляк 6 класс - § 10. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

279. Выполните вычитание:

Мерзляк 6 класс - § 10. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

280. Выполните вычитание:

Мерзляк 6 класс - § 10. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

281. Решите уравнение:

Мерзляк 6 класс - § 10. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

282. Решите уравнение:

Мерзляк 6 класс - § 10. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

283. Преобразуйте десятичные дроби в обыкновенные и вычислите:

Мерзляк 6 класс - § 10. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

284. Преобразуйте десятичные дроби в обыкновенные и вычислите:

Мерзляк 6 класс - § 10. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

285. Собственная скорость теплохода составляет 20\frac{2}{7} км/ч, а скорость течения реки — 2\frac{11}{14} км/ч. Найдите скорость теплохода по течению реки и его скорость против течения.

1) 20\frac{2}{7}+2\frac{11}{14}=22+\left ( \frac{2}{7}+\frac{11}{14} \right )=22+\frac{4+11}{14}=22+\frac{15}{14}=22+1\frac{1}{14}=23\frac{1}{14} (км/ч) — скорость теплохода по течению реки.

2) 20\frac{2}{7}-2\frac{11}{14}=20\frac{4}{14}-2\frac{11}{14}=19\frac{18}{14}-2\frac{11}{14}=17+\frac{18-11}{14}=17\frac{7}{14}=17\frac{1}{2} (км/ч) — скорость теплохода против течения реки.

Ответ: Скорость теплохода по течению реки равна 23\frac{1}{14} км/ч, а против течения реки — 17\frac{1}{2} км/ч.

286. Скорость катера по течению реки составляет 27\frac{1}{3} км/ч, а скорость течения — 1\frac{4}{9} км/ч. Найдите собственную скорость катера и скорость катера против течения реки.

1) 27\frac{1}{3}-1\frac{4}{9}=27\frac{3}{9}-1\frac{4}{9}=26\frac{12}{9}-1\frac{4}{9}=25+\frac{12-4}{9}=25\frac{8}{9} (км/ч) — собственная скорость катера.

2) 25\frac{8}{9}-1\frac{4}{9}=24+\frac{8-4}{9}=24\frac{4}{9} (км/ч) — скорость катера против течения реки.

Ответ: Собственная скорость катера равна 25\frac{8}{9} км/ч, а скорость катера против течения реки равна 24\frac{4}{9} км/ч.

287. Расшифруйте фамилию выдающегося русского математика, жившего на рубеже XIX и XX вв., академика Петербургской Академии наук, вице-президента Академии наук СССР, основателя школы математической физики, чьё имя носит Математический институт Российской академии наук в Москве. Номер примера соответствует месту, на котором стоит буква в слове.

Мерзляк 6 класс - § 10. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

1) \frac{2}{9}+\frac{5}{6}=\frac{4}{18}+\frac{15}{18}=\frac{4+15}{18}=\frac{19}{18}=1\frac{1}{18} — буква С.

2) 1-\frac{5}{17}=\frac{17}{17}-\frac{5}{17}=\frac{17-5}{17}=\frac{12}{17} — буква Т.

3) 6-1\frac{4}{9}=5\frac{9}{9}-1\frac{4}{9}=4+\frac{9-4}{9}=4+\frac{5}{9}=4\frac{5}{9} — буква Е.

4) 2\frac{1}{3}-1\frac{1}{2}=2\frac{2}{6}-1\frac{3}{6}=1\frac{8}{6}-1\frac{3}{6}=0+\frac{8-3}{6}=\frac{5}{6} — буква К.

5) 1\frac{1}{7}+2\frac{3}{28}=1\frac{4}{28}+2\frac{3}{28}=3+\frac{4+3}{28}=3+\frac{7}{28}=3+\frac{1}{4}=3\frac{1}{4} — буква Л.

6) 5\frac{1}{6}-4\frac{1}{4}=5\frac{2}{12}-4\frac{3}{12}=4\frac{14}{12}-4\frac{3}{12}=0+\frac{14-3}{12}=\frac{11}{12} — буква О.

7) \frac{1}{4}+\frac{1}{12}+\frac{2}{3}=\frac{3}{12}+\frac{1}{12}+\frac{8}{12}=\frac{3+1+8}{12}=\frac{12}{12}=1 — буква В.

Ответ: Фамилия выдающегося русского математика — СТЕКЛОВ.

288. Вычислите значение выражения наиболее удобным способом:

1) \frac{3}{7}+\frac{14}{19}+\frac{4}{7}+\frac{5}{19}=\frac{3+4}{7}+\frac{14+5}{19}=\frac{7}{7}+\frac{19}{19}=1+1=2

2) \frac{7}{16}+\frac{11}{42}+\frac{9}{16}+\frac{17}{42}=\frac{7+9}{16}+\frac{11+17}{42}=\frac{16}{16}+\frac{28}{42}=1+\frac{2}{3}=1\frac{2}{3}

3) \frac{5}{18}+\frac{4}{81}+\frac{7}{18}+\frac{5}{81}=\frac{5+7}{18}+\frac{4+5}{81}=\frac{12}{18}+\frac{9}{81}=\frac{6}{9}+\frac{1}{9}=\frac{6+1}{9}=\frac{7}{9}

4) \frac{9}{40}+\frac{13}{50}+\frac{12}{50}+\frac{11}{40}=\frac{9+11}{40}+\frac{13+12}{50}=\frac{20}{40}+\frac{25}{50}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{2}{2}=1

5) 3\frac{5}{11}+1\frac{3}{16}+2\frac{5}{16}+4\frac{6}{11}=(3+1+2+4)+\frac{5+6}{11}+\frac{3+5}{16}=10+\frac{11}{11}+\frac{8}{16}=11\frac{1}{2}

6) 1\frac{17}{24}+3\frac{1}{36}+5\frac{4}{24}+2\frac{8}{36}=\left (1+3+5+2 \right )+\frac{17+4}{24}+\frac{1+8}{36}=11+\frac{21}{24}+\frac{9}{36}=

=11+\frac{7}{8}+\frac{1}{4}=11+\frac{7}{8}+\frac{2}{8}=11+\frac{7+2}{8}=11+\frac{9}{8}=11+1\frac{1}{8}=12\frac{1}{8}

289. Решите уравнение:

Мерзляк 6 класс - § 10. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

290. Решите уравнение:

Мерзляк 6 класс - § 10. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

291. Выполните действия:

1) 7\frac{7}{9}-4\frac{1}{12}+2\frac{3}{4}=(7-4+2)+(\frac{7}{9}-\frac{1}{12}+\frac{3}{4})=5+\frac{28-3+27}{36}=5+\frac{52}{36}=

=5+\frac{13}{9}=5+1\frac{4}{9}=6\frac{4}{9}

2) 17\frac{2}{3}-6\frac{1}{36}+4\frac{3}{8}=(17-6+4)+(\frac{2}{3}-\frac{1}{36}+\frac{3}{8})=15+\frac{48-2+27}{72}=15+\frac{73}{72}=

=15+1\frac{1}{72}=16\frac{1}{72}

3) 10\frac{9}{16}-(3\frac{11}{12}+4\frac{4}{9})=10\frac{9}{16}-((3+4)+(\frac{11}{12}+\frac{4}{9}))=10\frac{9}{16}-(7+\frac{33+16}{36})=

=10\frac{9}{16}-(7+\frac{49}{36})=10\frac{9}{16}-(7+1\frac{13}{36})=10\frac{9}{16}-8\frac{13}{36}=10\frac{81}{144}-8\frac{52}{144}=

=(10-8)+\frac{81-52}{144}=2+\frac{29}{144}

4) (20-7\frac{23}{36})-(14\frac{4}{27}-6\frac{1}{18})=(19\frac{36}{36}-7\frac{23}{36})-(14\frac{8}{54}-6\frac{3}{54})=

=(12+\frac{36-23}{36})-(8+\frac{8-3}{54})=12\frac{13}{36}-8\frac{5}{54}=12\frac{39}{108}-8\frac{10}{108}=

=(12-8)+\frac{39-10}{108}=4+\frac{29}{108}=4\frac{29}{108}

292. Выполните действия:

1) 5\frac{5}{9}+3\frac{1}{6}-6\frac{4}{27}=5\frac{30}{54}+3\frac{9}{54}-6\frac{8}{54}=(5+3-6)+\frac{30+9-8}{54}=2+\frac{31}{54}=2\frac{31}{54}

2) 1\frac{5}{7}+3\frac{11}{14}-2\frac{1}{4}=1\frac{20}{28}+3\frac{22}{28}-2\frac{7}{28}=(1+3-2)+\frac{20+22-7}{28}=2+\frac{35}{28}=

=2+\frac{5}{4}=2+1\frac{1}{4}=3\frac{1}{4}

3) 12\frac{13}{48}-(9\frac{17}{32}-4\frac{5}{24})=12\frac{13}{48}-(9\frac{51}{96}-4\frac{20}{96})=12\frac{13}{48}-((9-4)+\frac{51-20}{96})=

=12\frac{13}{48}-(5+\frac{31}{96})=12\frac{26}{96}-5\frac{31}{96}=11\frac{122}{96}-5\frac{31}{96}=(11-5)+\frac{122-31}{96}=

=6+\frac{91}{96}=6\frac{91}{96}

4) (18-10\frac{18}{35})-(3\frac{9}{28}+2\frac{3}{20})=(17\frac{35}{35}-10\frac{18}{35})-(3\frac{45}{140}+2\frac{21}{140})=

=(7+\frac{35-18}{35})-(5+\frac{45+21}{140})= 7\frac{17}{35}-5\frac{66}{140}=7\frac{34}{70}-5\frac{33}{70}=

=(7-5)+\frac{34-33}{70}=2+\frac{1}{70}=2\frac{1}{70}

293. В трёх ящиках было 36\frac{9}{16} кг апельсинов. В первом и втором ящиках было 28\frac{7}{8} кг апельсинов, а в первом и третьем — 24\frac{3}{4} кг. Сколько килограммов апельсинов было в каждом ящике?

Мерзляк 6 класс - § 10. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

1) 36\frac{9}{16}-24\frac{3}{4}=36\frac{9}{16}-24\frac{12}{16}=35\frac{25}{16}-24\frac{12}{16}=(35-24)+\frac{25-12}{16}=11\frac{13}{16} (кг) — апельсинов было во втором ящике.

2) 28\frac{7}{8}-11\frac{13}{16}=28\frac{14}{16}-11\frac{13}{16}=(28-11)+\frac{14-13}{16}=17\frac{1}{16} (кг) — апельсинов было в первом ящике.

3) 24\frac{3}{4}-17\frac{1}{16}=24\frac{12}{16}-17\frac{1}{16}=(24-17)+\frac{12-1}{16}=7\frac{11}{16} (кг) — апельсинов было в третьем ящике.

Ответ: В первом ящике было 17\frac{1}{16} кг апельсинов, во втором ящике — 11\frac{13}{16} кг, а в третьем ящике — 7\frac{11}{16} кг.

294. На компьютере обрабатывали три задачи в течение 30 мин. На первую и вторую задачи было затрачено 24\frac{14}{15} мин, а на вторую и третью — 18\frac{19}{45} мин. Сколько минут было затрачено на обработку каждой задачи?

Мерзляк 6 класс - § 10. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

1) 30-18\frac{19}{45}=29\frac{45}{45}-18\frac{19}{45}=(29-18)+\frac{45-19}{45}=11\frac{26}{45} (мин) — затратили на обработку первой задачи.

2) 24\frac{14}{15}-11\frac{26}{45}=24\frac{42}{45}-11\frac{26}{45}=(24-11)+\frac{42-26}{45}=13\frac{16}{45} (мин) -затратили на обработку второй задачи.

3) 18\frac{19}{45}-13\frac{16}{45}=(18-13)+\frac{19-16}{45}=5\frac{3}{45}=5\frac{1}{15} (мин) — затратили на обработку третьей задачи.

Ответ: На обработку первой задачи затратили 11\frac{26}{45} минут, второй задачи — 13\frac{16}{45}минут, а третьей — 5\frac{1}{15} минут.

295. Для приготовления 6\frac{1}{2} кг крема кулинар взял 3\frac{8}{15} кг молока, \frac{7}{12} кг какао и сахар. Сколько килограммов сахара взял кулинар для приготовления крема?

Мерзляк 6 класс - § 10. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

1) 3\frac{8}{15}+\frac{7}{12}=3\frac{32}{60}+\frac{35}{60}=3+\frac{32+35}{60}=3\frac{67}{60}=4\frac{7}{60} (кг) — взяли молока и какао.

2) 6\frac{1}{2}-4\frac{7}{60}=6\frac{30}{60}-4\frac{7}{60}=(6-4)+\frac{30-7}{60}=2+\frac{23}{60}=2\frac{23}{60} (кг) — сахара потребовалось кулинару.

Ответ: 2\frac{23}{60} кг сахара.

296. Для изготовления 12 кг мороженого взяли 7\frac{4}{15} кг воды, 2\frac{11}{20} кг молочного жира, 1\frac{23}{30} кг сахара и фруктовый сироп. Сколько килограммов сиропа взяли для изготовления мороженого?

Мерзляк 6 класс - § 10. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

1) 7\frac{4}{15}+2\frac{11}{20}+1\frac{23}{30}=7\frac{16}{60}+2\frac{33}{60}+1\frac{46}{60}=(7+2+1)+\frac{16+23+46}{60}=

=10+\frac{95}{60}=10+1\frac{35}{60}=11\frac{35}{60}=11\frac{7}{12} (кг) — взяли воды, молочного жира и сахара.

2) 12-11\frac{7}{12}=11\frac{12}{12}-11\frac{7}{12}=\frac{12-7}{12}=\frac{5}{12} (кг) — фруктового сиропа взяли для изготовления мороженого.

Ответ: \frac{5}{12} кг фруктового сиропа.

297. Длина одной из сторон треугольника равна 12\frac{3}{8} см, что на 4\frac{5}{24} см больше длины второй стороны и на 3\frac{2}{3}  см меньше длины третьей. Вычислите периметр треугольника.

Мерзляк 6 класс - § 10. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

1) 12\frac{3}{8}-4\frac{5}{24}=12\frac{9}{24}-4\frac{5}{24}=(12-4)+\frac{9-5}{24}=8\frac{4}{24}=8\frac{1}{6} (см) — длина второй стороны треугольника.

2) 12\frac{3}{8}+3\frac{2}{3}=12\frac{9}{24}+3\frac{16}{24}=(12+3)+\frac{9+16}{24}=15+\frac{25}{24}=15+1\frac{1}{24}=16\frac{1}{24} (см) — длина третьей стороны треугольника.

3) 12\frac{3}{8}+8\frac{1}{6}+16\frac{1}{24}=12\frac{9}{24}+8\frac{4}{24}+16\frac{1}{24}=(12+8+16)+\frac{9+4+1}{24}=

=36+\frac{14}{24}=36+\frac{7}{12}=36\frac{7}{12} (см) — периметр треугольника.

Ответ: Периметр треугольника равен 36\frac{7}{12} см.

298. Периметр треугольника равен 42 см, а длина одной из сторон 10\frac{7}{15} см, что на 2\frac{5}{6} см меньше длины второй. Найдите длину третьей стороны треугольника.

Мерзляк 6 класс - § 10. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

1) 10\frac{7}{15}+2\frac{5}{6}=10\frac{14}{30}+2\frac{25}{30}=12+\frac{14+25}{30}=12+\frac{39}{30}=12+1\frac{9}{30}=13\frac{3}{10} (см) — длина второй стороны треугольника.

2) 10\frac{7}{15}+13\frac{3}{10}=10\frac{14}{30}+13\frac{9}{30}=23+\frac{14+9}{30}=23+\frac{23}{30}=23\frac{23}{30} (см) — общая длина первой и второй стороны треугольника.

3) 42-23\frac{23}{30}=41\frac{30}{30}-23\frac{23}{30}=(41-23)+\frac{30-23}{30}=18+\frac{7}{30}=18\frac{7}{30} (см) длина третьей стороны треугольника.

Ответ: 18\frac{7}{30} см.

299. Филипок потратил \frac{1}{2}  своих денег на приобретение книги «Занимательная математика», \frac{1}{4} — на книгу «Занимательная физика», \frac{1}{12} на карандаши, а оставшиеся деньги — на конфеты. Какую часть своих денег Филипок потратил на конфеты?

Мерзляк 6 класс - § 10. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

1) \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{12}=\frac{6}{12}+\frac{3}{12}+\frac{1}{12}=\frac{6+3+1}{12}=\frac{10}{12}=\frac{5}{6} (часть) — денег Филипок потратил на книги и карандаши.

2) 1-\frac{5}{6}=\frac{6}{6}-\frac{5}{6}=\frac{6-5}{6}=\frac{1}{6} (часть) — денег осталась на конфеты.

Ответ: на конфеты Филипок потратил \frac{1}{6} своих денег.

300. Золотов, Серебров. Платинов и Бриллиантов нашли клад. Золотову досталась \frac{1}{6} клада, Сереброву — \frac{2}{9}, Платинову — \frac{5}{18}, а остальное — Бриллиантову. Какую часть клада получил Бриллиантов?

Мерзляк 6 класс - § 10. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

1) \frac{1}{6}+\frac{2}{9}+\frac{5}{18}=\frac{3}{18}+\frac{4}{18}+\frac{5}{18}=\frac{3+4+5}{18}=\frac{12}{18}=\frac{2}{3} (часть) — клада досталась Золотову, Сереброву и Платинову.

2) 1-\frac{2}{3}=\frac{3}{3}-\frac{2}{3}=\frac{3-2}{3}=\frac{1}{3} (часть) — клада досталась Бриллиантову.

Ответ: Бриллиантов получил \frac{1}{3} часть клада.

301. Ивасик-Телесик может вспахать поле за 6 ч, а Катигорошек — за 4 ч. Какую часть поля они вспашут, работая вместе, за 1 ч? За 2 ч?

Мерзляк 6 класс - § 10. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

1) 1:6=\frac{1}{6} (часть) — поля может вспахать за 1 час Ивасик-Телесик.

2) 1:4=\frac{1}{4} (часть) — поля может вспахать за 1 час Катигорошек.

3) \frac{1}{6}+\frac{1}{4}=\frac{2}{12}+\frac{3}{12}=\frac{2+3}{12}=\frac{5}{12} (часть) — поля могут вспахать за 1 час Ивасик-Телесик и Катигорошек, работая вместе.

4) \frac{5}{12}+\frac{5}{12}=\frac{5+5}{12}=\frac{10}{12}=\frac{5}{6} (часть) — поля могут вспахать за 2 часа Ивасик-Телесик и Катигорошек, работая вместе.

Ответ: за 1 час они вспашут \frac{5}{12} часть поля, а за 2 часа — \frac{5}{6} часть поля.

302. Первый маляр может покрасить забор за 15 ч. второй — за 12 ч, а третий — за 10 ч. Какую часть забора они покрасят вместе за 1 ч? За 2 ч? За 4 ч?

Мерзляк 6 класс - § 10. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

1) 1:15=\frac{1}{15} (часть) — забора может покрасить за 1 час первый маляр.

2) 1:12=\frac{1}{12} (часть) — забора может покрасить за 1 час второй маляр.

3) 1:10=\frac{1}{10} (часть) — забора может покрасить за 1 час третий маляр.

4) \frac{1}{15}+\frac{1}{12}+\frac{1}{10}=\frac{4}{60}+\frac{5}{60}+\frac{6}{60}=\frac{4+5+6}{60}=\frac{15}{60}=\frac{1}{4} (часть ) — забора могут покрасить все маляры за 1 час, работая вместе.

5) \frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1+1}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2} (часть) — забора могут покрасить все маляры за 2 часа, работая вместе.

6) \frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1+1+1+1}{4}=\frac{4}{4}=1 (часть) — забора могут покрасить все маляры за 4 часа, работая вместе.

Ответ: за 1 час они вместе покрасят \frac{1}{4} часть забора, за 2 часа — \frac{1}{2} часть забора, а за 4 часа — весь забор целиком (1 целая часть).

303. 1) Миша может съесть арбуз за 12 мин, а Коля — за 16 мин. Какая часть арбуза останется через 1 мин, если мальчики одновременно начнут есть его вместе?

Мерзляк 6 класс - § 10. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

1) 1:12=\frac{1}{12} (часть) — арбуза съедается Мишей за 1 минуту.

2) 1:16=\frac{1}{16} (часть) — арбуза съедается Колей за 1 минуту.

3) \frac{1}{12}+\frac{1}{16}=\frac{4}{48}+\frac{3}{48}=\frac{4+3}{48}=\frac{7}{48} (часть) — арбуза будет съедена двумя мальчиками за 1 минуту.

4) 1-\frac{7}{48}=\frac{48}{48}-\frac{7}{48}=\frac{48-7}{48}=\frac{41}{48} (часть) — арбуза останется через 1 минуту.

Ответ: \frac{41}{48} часть арбуза останется.

2) Бассейн можно наполнить водой за 6 ч через одну трубу и слить воду за 10 ч через другую. Бассейн был пуст, когда Иван Забывайкин открыл краны одновременно на двух трубах. Какая часть бассейна останется незаполненной водой через 1 ч после того, как открыли краны?

Мерзляк 6 класс - § 10. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

1) 1:6=\frac{1}{6} (часть) — бассейна наполняется через первую трубу за 1 час.

2) 1:10=\frac{1}{10} (часть) — бассейна выливается через вторую трубу за 1 час.

3) \frac{1}{6}-\frac{1}{10}=\frac{5}{30}-\frac{3}{30}=\frac{5-3}{30}=\frac{2}{30}=\frac{1}{15} (часть) — бассейна будет наполнена через 1 час.

4) 1-\frac{1}{15}=\frac{15}{15}-\frac{1}{15}=\frac{15-1}{15}=\frac{14}{15} (часть) — бассейна останется ненаполненной через 1 час работы обеих труб.

Ответ: \frac{14}{15} часть бассейна.

304. Пётр Ленивцев может покрасить стену за 24 ч, а Иван Трудолюб — за 8 ч. Какая часть стены останется неокрашенной после 1 ч совместной работы Ленивцева и Трудолюба?

Мерзляк 6 класс - § 10. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

1) 1:24=\frac{1}{24} (часть) — стены красит Ленивцев за 1 час.

2) 1:8=\frac{1}{8} (часть) — стены красит Трудолюбов за 1 час.

3) \frac{1}{24}+\frac{1}{8}=\frac{1}{24}+\frac{3}{24}=\frac{1+3}{24}=\frac{4}{24}=\frac{1}{6} (часть) — стены будет покрашена после 1 часа совместной работы.

4) 1-\frac{1}{6}=\frac{6}{6}-\frac{1}{6}=\frac{6-1}{6}=\frac{5}{6} (часть) — стены останется непокрашенной после 1 часа совместной работы.

Ответ: \frac{5}{6} часть стены.

305. Елена и Мария могут вместе набрать на компьютере текст рукописи за 6 ч. Какую часть рукописи наберёт Елена за 1 ч, если Мария может набрать текст всей рукописи за 9 ч?

Мерзляк 6 класс - § 10. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

1) 1:6=\frac{1}{6}  (часть) — всего текста набирают Мария и Елена вместе за 1 час.

2) 1:9=\frac{1}{9} (часть) — всего текста набирает Мария за 1 час работая одна.

3) \frac{1}{6}-\frac{1}{9}=\frac{3}{18}-\frac{2}{18}=\frac{3-2}{18}=\frac{1}{18} (часть) — текста набирает Елена за 1 час работая одна.

Ответ: Елена наберёт \frac{1}{18} часть рукописи.

306. Через две трубы бассейн можно наполнить водой за 3 ч. Какую часть бассейна можно наполнить за 1 ч через одну из этих труб, если через другую трубу его можно наполнить за 5 ч?

Мерзляк 6 класс - § 10. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

1) 1:3=\frac{1}{3} (часть) — бассейна наполняется за 1 час при работе сразу двух труб.

2) 1:5=\frac{1}{5} (часть) — бассейна наполняется за 1 час при работе второй трубы.

3) \frac{1}{3}-\frac{1}{5}=\frac{5}{15}-\frac{3}{15}=\frac{5-3}{15}=\frac{2}{15} (часть) —  бассейна наполняется ща 1 час при работе первой трубы.

Ответ: \frac{2}{15} части.

307. Увеличится или уменьшится сумма и на сколько, если:

1) одно из слагаемых увеличить на 2\frac{3}{8}, а другое уменьшить на 1\frac{11}{12} 

Вычтем из большего числа меньшее:

2\frac{3}{8}-1\frac{11}{12}=2\frac{9}{24}-1\frac{22}{24}=1\frac{33}{24}-1\frac{22}{24}=(1-1)+\frac{33-22}{24}=\frac{11}{24}

Так как большее число мы прибавляли к сумме, то значит сумма увеличится на полученное значение.

Ответ: сумма увеличиться на \frac{11}{24}.

2) одно из слагаемых увеличить на 4\frac{6}{11} , а другое уменьшить на 5\frac{5}{22}

Вычтем из большего числа меньшее:

5\frac{5}{22}-4\frac{6}{11}=5\frac{5}{22}-4\frac{12}{22}=4\frac{27}{22}-4\frac{12}{22}=(4-4)+\frac{27-12}{22}=\frac{15}{22}

Так как большее число мы вычитали из суммы, то значит сумма уменьшится на полученное значение.

Ответ: сумма уменьшится на \frac{15}{22}.

308. Увеличится или уменьшится разность и на сколько, если:

1) уменьшаемое увеличить на 14\frac{7}{83}

Разность увеличится на 14\frac{7}{83}.

2) вычитаемое увеличить на 4\frac{13}{57}

Разность уменьшится на 4\frac{13}{57}.

3) уменьшаемое увеличить на \frac{4}{21}, а вычитаемое — на \frac{9}{14}

Приведём числа к общему знаменателю и сравним эти числа:

\frac{4}{21}=\frac{8}{42} ; \frac{9}{14}=\frac{27}{42}

\frac{27}{42}> \frac{8}{42}, значит \frac{9}{14}> \frac{4}{21}, то есть вычитаемое увеличилось на большее значение, чем уменьшаемое.

Вычтем из большего числа меньшее:

\frac{9}{14}-\frac{4}{21}=\frac{27}{42}-\frac{8}{4}=\frac{27-8}{42}=\frac{19}{42}.

Так как вычитаемое увеличилось на большее значение, чем уменьшаемое, то разность уменьшится на полученное значение \frac{19}{42}.

Ответ: разность уменьшится на \frac{19}{42}.

4) уменьшаемое уменьшить на 1\frac{1}{6} , а вычитаемое увеличить на \frac{2}{3}

1\frac{1}{6}+\frac{2}{3}=1\frac{1}{6}+\frac{4}{6}=1+\frac{1+4}{6}=1+\frac{5}{6}=1\frac{5}{6}

Ответ: разность уменьшится на 1\frac{5}{6}.

309. Увеличится или уменьшится разность и на сколько, если:

1) уменьшаемое уменьшить на 6\frac{19}{91}

Разность уменьшится на 6\frac{19}{91}

2) вычитаемое уменьшить на 5\frac{1}{58}

Разность увеличится на 5\frac{1}{58}

3) уменьшаемое уменьшить на \frac{14}{45} , а вычитаемое — на\frac{3}{10}

Приведём числа к общему знаменателю и сравним эти числа:

\frac{14}{45}=\frac{28}{90} ; \frac{3}{10}=\frac{27}{90}

\frac{28}{90}> \frac{27}{90}, значит \frac{14}{45}> \frac{3}{10}, то есть уменьшаемое уменьшилось на большее значение, чем вычитаемое.

Вычтем из большего числа меньшее:

\frac{14}{45}-\frac{3}{10}=\frac{28}{90}-\frac{27}{90}=\frac{28-27}{90}=\frac{1}{90}.

Так как уменьшаемое уменьшилось на большее значение, чем вычитаемое, то разность уменьшится на полученное значение \frac{1}{90}.

Ответ: разность уменьшится на \frac{1}{90}.

4) уменьшаемое увеличить на 7\frac{3}{28} , а вычитаемое уменьшить на 8\frac{5}{8}

7\frac{3}{28}+8\frac{5}{8}=7\frac{6}{56}+8\frac{35}{56}=(7+8)+\frac{6+35}{56}=15+\frac{41}{56}=15\frac{41}{56}

Ответ: разность увеличится на 15\frac{41}{56}.

310. Найдите значение выражения, выбирая удобный порядок вычислений:

1) (9\frac{3}{7}+2\frac{9}{16})-5\frac{3}{7}=(9\frac{3}{7}-5\frac{3}{7})+2\frac{9}{16}=4+2\frac{9}{16}=6\frac{9}{16}

2) (4\frac{5}{8}+1\frac{6}{11})-\frac{6}{11}=4\frac{5}{8}+(1\frac{6}{11}-\frac{6}{11})=4\frac{5}{8}+1=5\frac{5}{8}

3) 10\frac{5}{14}-(3\frac{5}{14}+2\frac{9}{34})=(10\frac{5}{14}-3\frac{5}{14})-2\frac{9}{34}=7-2\frac{9}{34}=6\frac{34}{34}-2\frac{9}{34}=4\frac{25}{34}

4) 7\frac{1}{7}-(2\frac{6}{13}+3\frac{1}{7})=(7\frac{1}{7}-3\frac{1}{7})-2\frac{6}{13}=4-2\frac{6}{13}=3\frac{13}{13}-2\frac{6}{13}=1\frac{7}{13}

311. Найдите значение выражения, выбирая удобный порядок вычислений:

1) (12\frac{19}{24}+5\frac{19}{28})-3\frac{19}{24}=(12\frac{19}{24}-3\frac{19}{24})+5\frac{19}{28}=9+5\frac{19}{28}=14\frac{19}{28} 

2) 6\frac{4}{9}-(1\frac{7}{24}+4\frac{4}{9})=(6\frac{4}{9}-4\frac{4}{9})-1\frac{7}{24}=2-1\frac{7}{24}=1\frac{24}{24}-1\frac{7}{24}=\frac{17}{24}

312. Сравните дроби, не приводя их к общему знаменателю:

1) \frac{61}{62} и \frac{62}{63}

Найдём числа, при сложении с которыми данных дробей получиться 1:

1-\frac{61}{62}=\frac{62}{62}-\frac{61}{62}=\frac{62-61}{62}=\frac{1}{62}

1-\frac{62}{63}=\frac{63}{63}-\frac{62}{63}=\frac{63-62}{63}=\frac{1}{63}

То есть для того, чтобы дополнить до единицы, надо к числу \frac{61}{62} добавить число \frac{1}{62}, а к числу \frac{62}{63} добавить число \frac{1}{63}.

\frac{1}{62}> \frac{1}{63}, значит дроби \frac{61}{62} не хватает до 1 больше, чем дроби \frac{62}{63}. То есть первое число меньше, чем второе.

Ответ: \frac{61}{62}< \frac{62}{63}.

2) \frac{1003}{1007} и \frac{103}{107}

Найдём числа, при сложении с которыми данных дробей получиться 1:

1-\frac{1003}{1007}=\frac{1007}{1007}-\frac{1003}{1007}=\frac{1007-1003}{1007}=\frac{4}{1007}

1-\frac{103}{107}=\frac{107}{107}-\frac{103}{107}=\frac{107-103}{107}=\frac{4}{107}

То есть для того, чтобы дополнить до единицы, надо к числу \frac{1003}{1007} добавить число \frac{4}{1007}, а к числу \frac{103}{107} добавить число \frac{4}{107}.

\frac{4}{1007}< \frac{4}{107}, значит дроби \frac{1003}{1007} не хватает до 1 меньше, чем дроби \frac{103}{107}. То есть первое число больше, чем второе.

Ответ: \frac{1003}{1007}>\frac{103}{107}.

313. Упростите выражение (буквами обозначены натуральные числа):

1) \frac{3a}{8b}-\frac{a}{5b}=\frac{3a\cdot 5}{8b\cdot 5}-\frac{a\cdot 8}{5b\cdot 8}=\frac{15a}{40b}-\frac{8a}{40b}=\frac{15a-8a}{40b}=\frac{7a}{40b}

2) \frac{4m}{9n}+\frac{5m}{12n}=\frac{4m\cdot 4}{9n\cdot 4}+\frac{5m\cdot 3}{12n\cdot 3}=\frac{16m}{36n}+\frac{15m}{36n}=\frac{16m+15m}{36n}=\frac{31m}{36n}

3) \frac{7x}{6y}-\frac{4x}{15y}=\frac{7x\cdot 5}{6y\cdot 5}-\frac{4x\cdot 2}{15y\cdot 2}=\frac{35x}{30y}-\frac{8x}{30y}=\frac{35x-8x}{30y}=\frac{27x}{30y}=\frac{9x}{10y}

314. Упростите выражение (буквами обозначены натуральные числа):

1) \frac{3}{a}+\frac{9}{2a}=\frac{3\cdot 2}{a\cdot 2}+\frac{9}{2a}=\frac{6}{2a}+\frac{9}{2a}=\frac{6+9}{2a}=\frac{15}{2a}

2) \frac{11c}{14d}+\frac{c}{21d}=\frac{11c\cdot 3}{14d\cdot 3}+\frac{c\cdot 2}{21d\cdot 2}=\frac{33c}{42d}+\frac{2c}{42d}=\frac{33c+2c}{42d}=\frac{35c}{42d}=\frac{5c}{6d}

3) \frac{17p}{18q}-\frac{11p}{12q}=\frac{17p\cdot 2}{18q\cdot 2}-\frac{11p\cdot 3}{12q\cdot 3}=\frac{34p}{36q}-\frac{33p}{36q}=\frac{34p-33p}{36q}=\frac{1p}{36q}=\frac{p}{36q}

315. Какое натуральное число является корнем уравнения:

1) a+\frac{1}{a}=7\frac{1}{7}

Решим задание методом подбора.

Мы знаем, что a+\frac{1}{a}=a\frac{1}{a}.

Если a=7, то a\frac{1}{a}=7\frac{1}{7} — верно.

Ответ: a=7.

2) b-\frac{1}{b}=14\frac{14}{15}

Решим задание методом подбора.

Мы знаем, что b-\frac{1}{b}=(b-1)\frac{b}{b}-\frac{1}{b}=(b-1)\frac{b-1}{b}.

Если b=15, то (b-1)\frac{b-1}{b}=(15-1)\frac{15-1}{15}=14\frac{14}{15} — верно.

Ответ: b=15.

316. При каких наименьших натуральных значениях a и b верно равенство:

1) \frac{1}{2\cdot 3}=\frac{a}{2}-\frac{b}{3}

\frac{a}{2}-\frac{b}{3}=\frac{a\cdot 3}{2\cdot 3}-\frac{b\cdot 2}{3\cdot 2}=\frac{3a}{2\cdot 3}-\frac{2b}{2\cdot 3}=\frac{3a-2b}{2\cdot 3}

Значит надо найти такое натуральное значение a и b, при котором будет верно равенство 3a — 2b = 1. 

Запишем числа:

  • кратные числу 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27.
  • кратные 2: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20.

Выберем такие числа, при котором будет справедливо равенство:

  • число, кратное 3 минус число, кратное 2 равно 1.

Такому условию соответствуют числа 3 и 2, но они не подходят, так как натуральные числа a и b не равны друг другу, а 3a = 3 при a = 1 и 2b = 2 при b = 1.

Значит это числа 21 и 20, так как 21 — 20 = 1.

Можно найти значение чисел a и b:

  • 21 : 3 = 7, то есть a = 7
  • 20 : 2 = 10, то есть b = 10.

Проверим:

  • 3a — 2b = 3 • 7 — 2 • 10 = 21 — 20 = 1

Ответ: a = 7, b = 10

2) \frac{4}{3\cdot 5}=\frac{a}{3}-\frac{b}{5}

\frac{a}{3}-\frac{b}{5}=\frac{a\cdot 5}{3\cdot 5}-\frac{b\cdot 3}{5\cdot 3}=\frac{5a}{3\cdot 5}-\frac{3b}{3\cdot 5}=\frac{5a-3b}{3\cdot 5}

Значит надо найти такое натуральное значение a и b, при котором будет верно равенство 5a — 3b = 4. 

Запишем числа:

  • кратные 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.
  • кратные числу 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27.

Выберем такие числа, при котором будет справедливо равенство:

  • число, кратное 5 минус число, кратное 3 равно 4.

Такому условию соответствуют числа 10 и 6, но они не подходят, так как натуральные числа a и b не равны друг другу, а 5a = 10 при a = 2 и 3b = 6 при b = 2.

Значит это числа 25 и 21, так как 25 — 21 = 4.

Можно найти значение чисел a и b:

  • 25 : 5 = 5, то есть a = 5
  • 21 : 3 = 7, то есть b = 7.

Проверим:

  • 5a — 3b = 5 • 5 — 3 • 7 = 25 — 21 = 4

Ответ: a = 5, b = 7

317. Увеличится или уменьшится значение дроби и на сколько, если ее числитель увеличить на знаменатель?

Предположим, что у нас есть дробь \frac{a}{b} (при b ≠ 0). 

Если числитель этой дроби увеличить на величину знаменателя, то дробь можно записать так:

\frac{a+b}{b}=\frac{a}{b}+\frac{b}{b}=\frac{a}{b}+1

Это значит, что при увеличении числителя на знаменатель, значение дроби увеличиться на единицу.

Ответ: Значение дроби увеличится на 1.

318. Вычислите значение выражения \frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\frac{1}{4\cdot 5}+...+\frac{1}{19\cdot 20}

Каждое из слагаемых выражения \frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\frac{1}{4\cdot 5}+...+\frac{1}{19\cdot 20}можно представить в виде разности:

\frac{1}{2\cdot 3}=\frac{3-2}{2\cdot 3}=\frac{3}{2\cdot 3}-\frac{2}{2\cdot 3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}

\frac{1}{3\cdot 4}=\frac{4-3}{3\cdot 4}=\frac{4}{3\cdot 4}-\frac{3}{3\cdot 4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}

\frac{1}{4\cdot 5}=\frac{5-4}{4\cdot 5}=\frac{5}{4\cdot 5}-\frac{4}{4\cdot 5}=\frac{1}{4}-\frac{1}{5}

…

\frac{1}{19\cdot 20}=\frac{20-19}{19\cdot 20}=\frac{20}{19\cdot 20}-\frac{19}{19\cdot 20}=\frac{1}{19}-\frac{1}{20}

То есть исходное выражение можно записать так:

\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\frac{1}{4\cdot 5}+...+\frac{1}{19\cdot 20}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3} -\frac{1}{4}+ \frac{1}{4}-\frac{1}{5}+...+\frac{1}{19}-\frac{1}{20}=

Применив переместительный закон сложения и вычитания все одинаковые дроби можно сократить:

=\frac{1}{2}+(\frac{1}{3}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{4}-\frac{1}{4})+ ... +(\frac{1}{19}-\frac{1}{19})-\frac{1}{20}=

В результате исходное выражение сокращается до разности:

=\frac{1}{2}+0+0+...+0-\frac{1}{20}=\frac{1}{2}-\frac{1}{20}=\frac{10}{20}-\frac{1}{20}=\frac{10-1}{20}=\frac{9}{20}

Ответ: \frac{9}{20}

319. Вычислите значение выражения \frac{2}{3\cdot 5}+\frac{2}{5\cdot 7}+...+\frac{2}{29\cdot 31}

Каждое из слагаемых выражения \frac{2}{3\cdot 5}+\frac{2}{5\cdot 7}+...+\frac{2}{29\cdot 31} можно представить в виде разности:

\frac{2}{3\cdot 5}=\frac{5-3}{3\cdot 5}=\frac{5}{3\cdot 5}-\frac{3}{3\cdot 5}=\frac{1}{3}-\frac{1}{5}

\frac{2}{5\cdot 7}=\frac{7-5}{5\cdot 7}=\frac{7}{5\cdot 7}-\frac{5}{7\cdot 5}=\frac{1}{5}-\frac{1}{7}

…

\frac{2}{29\cdot 31}=\frac{31-29}{29\cdot 31}=\frac{29}{29\cdot 31}-\frac{31}{29\cdot 31}=\frac{1}{29}-\frac{1}{31}

То есть исходное выражение можно записать так:

\frac{2}{3\cdot 5}+\frac{2}{5\cdot 7}+...+\frac{2}{29\cdot 31}=\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+...+\frac{1}{29}-\frac{1}{31}=

Применив переместительный закон сложения и вычитания все одинаковые дроби можно сократить:

=\frac{1}{3}+(\frac{1}{5}-\frac{1}{5})+(\frac{1}{7}-\frac{1}{7})+ ... +(\frac{1}{29}-\frac{1}{29})-\frac{1}{31}=

В результате исходное выражение сокращается до разности:

=\frac{1}{3}+0+0+...+0-\frac{1}{31}=\frac{1}{3}-\frac{1}{31}=\frac{31}{93}-\frac{3}{93}=\frac{31-3}{93}=\frac{28}{93}

Ответ: \frac{28}{93}

320. Докажите, что \frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+...+\frac{1}{18}> \frac{1}{2}

В левой части неравенства находится сумма девяти дробей: \frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+...+\frac{1}{18}

В правой части неравенства — дробь \frac{1}{2}. Представим эту дробь в виде суммы девяти дробей: 

\frac{1}{2}=\frac{9}{18}=\frac{1}{18}+\frac{1}{18}+\frac{1}{18}+...+\frac{1}{18}

Теперь последовательно сравним дроби из левой части неравенства с соответствующими дробями из правой части неравенства:

\frac{1}{10}> \frac{1}{18}

\frac{1}{11}> \frac{1}{18}

…

\frac{1}{17}> \frac{1}{18}

\frac{1}{18}= \frac{1}{18}

Получается, что левая часть неравенства — это сумма дробей, которые больше или равны дробям из правой части неравенства, а количество слагаемых в левой и правой части одинаковое.

Значит левая часть неравенства больше, чем правая часть неравенства. Что и требовалось доказать.

321. Докажите, что \frac{1}{31}+\frac{1}{32}+\frac{1}{33}+...+\frac{1}{39}+\frac{1}{40}> \frac{1}{4}

В левой части неравенства находится сумма десяти дробей: \frac{1}{31}+\frac{1}{32}+\frac{1}{33}+...+\frac{1}{39}+\frac{1}{40}

В правой части неравенства — дробь \frac{1}{4}. Представим эту дробь в виде суммы десяти дробей: 

\frac{1}{4}=\frac{10}{40}=\frac{1}{40}+\frac{1}{40}+\frac{1}{40}+...+\frac{1}{40}

Теперь последовательно сравним дроби из левой части неравенства с соответствующими дробями из правой части неравенства:

\frac{1}{31}> \frac{1}{40}

\frac{1}{32}> \frac{1}{40}

…

\frac{1}{39}> \frac{1}{40}

\frac{1}{40}= \frac{1}{40}

Получается, что левая часть неравенства — это сумма дробей, которые больше или равны дробям из правой части неравенства, а количество слагаемых в левой и правой части одинаковое.

Значит левая часть неравенства больше, чем правая часть неравенства. Что и требовалось доказать.

Упражнения для повторения

322. У кажите пять чисел, каждое из которых имеет только три разных делителя. Можно ли утверждать, что таких чисел бесконечно много?

К таким числам можно отнести:

  • число 4, так как его делителями являются числа 1, 2 и 4;
  • число 9, так как его делителями являются числа 1, 3 и 9;
  • число 25, так как его делителями являются числа 1, 5 и 25;
  • число 49, так как его делителями являются числа 1, 7 и 49;
  • число 121, так как его делителями являются числа 1, 11 и 121.

Не сложно заметить, что все эти числа являются квадратами простых чисел. То есть их делителями являются:

  • единица;
  • простое число, квадратом которого является данное число;
  • само число.

Так как простых чисел бесконечно много, то и квадратов простых чисел также бесконечно много.

Ответ: 4, 9, 25, 49, 121 и т.д. Таких чисел бесконечно много.

323. Не выполняя вычислений, определите, простым или составным числом является значение выражения 11+22²+33³.

Каждое из слагаемых этого выражения делится на 11:

  • 11 делится на 11 нацело;
  • 22² делится на 11 нацело;
  • 33³ делится на 11 нацело.

Значит и вся сумма делится на 11 нацело.

То есть значение выражение 11+22²+33³ имеет как минимум три делителя: 

  • единица;
  • 11;
  • число, обозначающее значение выражения.

Значит значение выражения является составным числом.

Ответ: значение выражения составное число.

324. За 5 мин бревно распилили на равные части длиной 30 см. Какой длины было бревно, если каждое распиливание длилось 1 мин?

Мерзляк 6 класс - § 10. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Если за 5 минут сделали несколько распилов, каждое из которых длилось 1 минуту, то всего было сделано 5 : 1 = 5 (штук).

То есть после них получилось 6 равных частей длиной 30 см.

30 • 6 = 180 (см) — начальная длина бревна.

Ответ: длина бревна 180 см.

325. Расстояние между двумя пристанями по реке равно 36,6 км. От пристани, расположенной выше по течению, отплыл плот. Через 0,8 ч после начала движения плота навстречу ему от другой пристани отправился катер, собственная скорость которого равна 25 км/ч. Через сколько часов после начала движения плота они встретятся, если скорость течения реки составляет 2 км/ч?

Мерзляк 6 класс - § 10. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Скорость движения плота равна скорости течения. Значит плот двигался со скоростью 2 км/ч.

1) 2 • 0,8 = 1,6 (км) — проплыл плот до начала движения катера.

2) 36,6 — 1,6 = 35 (км) — было между плотом и катером в момент начала движения катера.

3) 25 — 2 = 23 (км/ч) — скорость движения катер против течения.

4) 23 + 2 = 25 (км/ч) — совместная скорость (скорость сближения) плота и катера.

4) 35 : 25 = 1,4 (ч) — время движения катера до встречи с плотом.

5) 1,4 + 0,8 = 2,2 (ч) — время движения плота до встречи с катером.

Мерзляк 6 класс - § 10. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Ответ: 2,2 ч.

326. В Солнечном городе одна поездка на любом городском транспорте стоит 28 р. Можно оплачивать отдельно каждую поездку, а можно купить единый месячный проездной билет стоимостью 2 560 р. Знайка подсчитал, что он пользуется городским транспортом 3 раза в день. В какие месяцы ему выгодно покупать проездной билет?

Мерзляк 6 класс - § 10. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

1) 28 • 3 = 84 (руб) — потратит на проезд Знайка за 1 день при покупке разовых билетов.

2) 84 • 28 = 2 352 (руб) — потратит Знайка в феврале (невисокосный год).

2) 84 • 29 = 2 436 (руб) — потратит Знайка в феврале (високосный год).

3) 84 • 30 = 2 520 (руб) — потратит Знайка, если в месяце 30 календарных дней.

4) 84 • 21 = 2 604 (руб) — потратит Знайка, если в месяце 31 календарный день.

Мы видим, что больше стоимости месячного проездного билета (2 560 руб) Знайка потратит только в те месяцы, в которых 31 календарный день. Это январь, март, май, июль, август, октябрь и декабрь.

Мерзляк 6 класс - § 10. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Ответ: Знайке выгодно покупать проездной билет на месяц в январе, марте, мае, июле, августе, октябре и декабре.

Готовимся к изучению новой темы

327. Какую часть площади прямоугольника ABCD составляет площадь закрашенного прямоугольника (рис. 6)?

Мерзляк 6 класс - § 10. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

1) 11 • 8 = 88 (клеточек) — площадь прямоугольника ABCD.

2) 5 • 3 = 15 (клеточек) — площадь закрашенной части прямоугольника.

3) 15 : 88 = \frac{15}{88} (часть) — закрашенная часть прямоугольника ABCD.

Ответ: \frac{15}{88} часть прямоугольника.

328. Найдите произведение дробей \frac{3}{5} и \frac{3}{4}, предварительно преобразовав их в десятичные. Результат запишите в виде обыкновенной дроби.

1) \frac{3}{5} =  3 : 5 = 0,6

2) \frac{3}{4} = 3 : 4 = 0,75

3) 0,6 • 0,75 = 0,45 = \frac{45}{100}=\frac{45:5}{100:5}=\frac{9}{20}

Ответ: \frac{9}{20}.

329. Упростите выражение:

1) 12 • 3a = (12 • 3) • a = 36a

2) 0,6 • 7b = (0,6 • 7) • b = 4,2b

3) 0,8m • 0,5n • 4p = (0,8 • 0,5 • 4) • mnp = 1,6mnp

330. Раскройте скобки:

1) 2 (x + 7) = 2 • x + 2 • 7 = 2x + 14

2) 7 (5 — a) = 7 • 5 — 7 • a = 35 — 7a

3) (c — 0,4) • 1,2 = c • 1,2 — 0,4 • 1,2 = 1,2c — 0,48

331. Упростите выражение:

1) 1,6b — 0,5 b = (1,6 — 0,5) b = 1,1b

2) 3x + 17x — 5x = (3 + 17 — 5) x = 15x

3) 5,6a + 0,4a — 2 = (5,6 + 0,4) a — 2 = 6a — 2

Задача от мудрой совы

332. Сережа и Саша играют и такую игру: они по очереди берут камешки из кучки, и которой лежит 100 камешков. За один ход каждому разрешается взять или 1 камешек, или 3. Кто из них возьмёт последний камешек, если игру начинает Серёжа?

Числа 1 и 3 — нечётные. То есть за 1 ход можно убрать из кучки только нечётное число камешков. Это значит, что:

  • в нечётные ходы: нечётное  число камешков • нечётное количество ходов = нечётное число (камешков) —  убрано из всей кучи;
  • в чётные ходы: нечётное  число камешков • чётное количество ходов = чётное число (камешков) —  убрано из всей кучи.

100 — это чётное число. Значит последний камень будет убран в чётный ход. 

Если первым начинает ходить Серёжа (нечётные ходы), то последний камешек заберёт Саша (чётные ходы).

Ответ: если игру начинает Серёжа, то последний камешек уберёт Саша.