Мерзляк 6 класс — § 9. Приведение дробей к общему знаменателю. Сравнение дробей

Опубликовано автором

Вопросы к параграфу

1. Какое число является общим знаменателем двух дробей?

Общим знаменателем двух дробей является общее кратное их знаменателей.

2. Чему равен наименьший общий знаменатель двух дробей?

Наименьший общий знаменатель двух дробей равен наименьшему общему кратному (НОК) их знаменателей.

3. Как привести дроби к наименьшему общему знаменателю?

Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, надо:

  1. Найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей обеих дробей.
  2. Найти дополнительные множители для каждой из дробей, а для этого надо найденный наименьший общий знаменатель разделить на знаменатель данных дробей.
  3. Умножить на найденный дополнительный множитель числитель и знаменатель каждой из дробей.

4. Как сравнить две дроби с разными знаменателями?

Чтобы сравнить две дроби с разными знаменателями, надо привести их к общему знаменателю, а затем применить правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями.

Решаем устно

1. Андрей тратит на путь от дома до школы 24 мин. Какую часть пути он проходит:

за 6 мин

За 6 минут Андрей проходит \frac{6}{24}=\frac{6:6}{24:6}=\frac{1}{4} часть пути.

за 12 мин

За 12 минут Андрей проходит \frac{12}{24}=\frac{12:12}{24:12}=\frac{1}{2} часть пути.

за 9 мин

За 9 минут Андрей проходит \frac{9}{24}=\frac{9:3}{24:3}=\frac{3}{8} часть пути.

за 16 мин

За 16 минут Андрей проходит \frac{16}{24}=\frac{16:8}{24:8}=\frac{2}{3} часть пути.

2. Сократите дроби: \frac{16}{20}, \frac{12}{18}, \frac{10}{15}, \frac{9}{15}, \frac{25}{15}.

\frac{16}{20}=\frac{16:4}{20:4}=\frac{4}{5}

\frac{12}{18}=\frac{12:6}{18:6}=\frac{2}{3}

\frac{10}{15}=\frac{10:5}{15:5}=\frac{2}{3}

\frac{9}{15}=\frac{9:3}{15:3}=\frac{3}{5}

\frac{25}{15}=\frac{25:5}{15:5}=\frac{5}{3}

3. Назовите какие-либо три дроби, каждая из которых равна \frac{1}{7} .

\frac{7}{49}, \frac{10}{70}, \frac{20}{140}.

4. Среди следующих равенств укажите неверные:

1) \frac{42}{63}=\frac{2}{3} — верно, так как \frac{42}{63}=\frac{42:21}{63:21}=\frac{2}{3}

2) \frac{15}{55}=\frac{3}{10} — неверно, так как \frac{15}{55}=\frac{15:5}{55:5}=\frac{3}{11}\neq \frac{3}{10}

3) \frac{7}{8}=\frac{56}{72} — неверно, так как \frac{7}{8}=\frac{7\cdot 8}{8\cdot 8}=\frac{56}{64}\neq \frac{56}{72}

4) \frac{12}{23}=\frac{36}{69} — верно, так как \frac{12}{23}=\frac{12\cdot 3}{23\cdot 3}=\frac{36}{69}

Упражнения

236. Приведите дроби:

1) \frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{9}{10} к знаменателю 20

\frac{1}{2}=\frac{1\cdot 10}{2\cdot 10}=\frac{10}{20}

\frac{3}{4}=\frac{3\cdot 5}{4\cdot 5}=\frac{15}{20}

\frac{4}{5}=\frac{4\cdot 4}{5\cdot 4}=\frac{16}{20}

\frac{9}{10}=\frac{9\cdot 2}{10\cdot 2}=\frac{18}{20}

2)  \frac{3}{4}, \frac{1}{6}, \frac{7}{18}, \frac{8}{9} к знаменателю 36

\frac{3}{4}=\frac{3\cdot 9}{4\cdot 9}=\frac{27}{36}

\frac{1}{6}=\frac{1\cdot 6}{6\cdot 6}=\frac{6}{36}

\frac{7}{18}=\frac{7\cdot 2}{18\cdot 2}=\frac{14}{36}

\frac{8}{9}=\frac{8\cdot 4}{9\cdot 4}=\frac{32}{36}

3) \frac{1}{2}, \frac{2}{4}, \frac{3}{8}, \frac{5}{32} к знаменателю 64

\frac{1}{2}=\frac{1\cdot 32}{2\cdot 32}=\frac{32}{64}

\frac{2}{4}=\frac{2\cdot 16}{4\cdot 16}=\frac{32}{64}

\frac{3}{8}=\frac{3\cdot 8}{8\cdot 8}=\frac{24}{64}

\frac{5}{32}=\frac{5\cdot 2}{32\cdot 2}=\frac{10}{64}

4) \frac{1}{5}, \frac{1}{4}, \frac{7}{25}, \frac{63}{50} к знаменателю 100

\frac{1}{5}=\frac{1\cdot 20}{5\cdot 20}=\frac{20}{100}

\frac{1}{4}=\frac{1\cdot 25}{4\cdot 25}=\frac{25}{100}

\frac{7}{25}=\frac{7\cdot 4}{25\cdot 4}=\frac{28}{100}

\frac{63}{50}=\frac{63\cdot 2}{50\cdot 2}=\frac{126}{100}

237. Приведите дробь:

1)  \frac{7}{9}  к знаменателю 27

\frac{7}{9}=\frac{7\cdot 3}{9\cdot 3}=\frac{21}{27}

2) \frac{3}{5}  к знаменателю 40

\frac{3}{5}=\frac{3\cdot 8}{5\cdot 8}=\frac{24}{40}

3) \frac{4}{13}  к знаменателю 78

\frac{4}{12}=\frac{4\cdot 6}{13\cdot 6}=\frac{24}{78}

4) \frac{12}{17}  к знаменателю 102

\frac{12}{17}=\frac{12\cdot 6}{17\cdot 6}=\frac{72}{102}

5) \frac{4}{23}  к знаменателю 69

\frac{4}{23}=\frac{4\cdot 3}{23\cdot 3}=\frac{12}{69}

6) \frac{5}{24}  к знаменателю 144

\frac{5}{24}=\frac{5\cdot 6}{24\cdot 6}=\frac{30}{144}

238. Среди дробей \frac{5}{6}, \frac{5}{8}, \frac{3}{10}, \frac{7}{16}, \frac{9}{24}, \frac{11}{18}, \frac{8}{28}, \frac{10}{12}, \frac{10}{3}, \frac{5}{4}, \frac{13}{36}, \frac{1}{14} найдите те, которые можно привести к знаменателю 48. Найденные дроби приведите к указанному знаменателю.

К знаменателю 48 можно привести дроби: \frac{5}{6}, \frac{5}{8}, \frac{7}{16}, \frac{9}{24}, \frac{10}{12}, \frac{10}{3}, \frac{5}{4} :

\frac{5}{6}=\frac{5\cdot 8}{6\cdot 8}=\frac{40}{48}

\frac{5}{8}=\frac{5\cdot 6}{8\cdot 6}=\frac{30}{48}

\frac{7}{16}=\frac{7\cdot 3}{16\cdot 3}=\frac{21}{48}

\frac{9}{24}=\frac{9\cdot 2}{24\cdot 2}=\frac{18}{48}

\frac{10}{12}=\frac{10\cdot 4}{12\cdot 4}=\frac{40}{48}

\frac{10}{3}=\frac{10\cdot 16}{3\cdot 16}=\frac{160}{48}

\frac{5}{4}=\frac{5\cdot 12}{4\cdot 12}=\frac{60}{48}

239. Приведите к наименьшему общему знаменателю дроби:

Мерзляк 6 класс - § 9. Приведение дробей к общему знаменателю. Сравнение дробей

240. Приведите к наименьшему общему знаменателю дроби:

Мерзляк 6 класс - § 9. Приведение дробей к общему знаменателю. Сравнение дробей

241. Сравните дроби:

Мерзляк 6 класс - § 9. Приведение дробей к общему знаменателю. Сравнение дробей

242. Сравните дроби:

Мерзляк 6 класс - § 9. Приведение дробей к общему знаменателю. Сравнение дробей

243. Укажите какую-либо дробь, которая меньше \frac{1}{2} и знаменатель которой равен:

1) 6 — такому условию подходят дроби: \frac{1}{6} и \frac{2}{6}, так как \frac{1}{2}=\frac{3}{6}.

2) 10 — такому условию подходят дроби: \frac{1}{10}, \frac{2}{10},\frac{3}{10} и \frac{4}{10}, так как \frac{1}{2}=\frac{5}{10}.

3) 22 — такому условию подходят дроби: \frac{1}{22}, \frac{2}{22},\frac{3}{22},\frac{4}{22}, \frac{5}{22},\frac{6}{22},\frac{7}{22}, \frac{8}{22},\frac{9}{22} и \frac{10}{22}, так как \frac{1}{2}=\frac{11}{22}.

244. Укажите какую-либо дробь, которая больше \frac{1}{6} и знаменатель которой равен:

1) 12 — такому условию подходят дроби: \frac{3}{12}, \frac{4}{12}, \frac{5}{12}, ..., \frac{11}{12}, так как \frac{1}{6}=\frac{2}{12}.

2) 30 — такому условию подходят дроби: \frac{6}{30}, \frac{7}{30}, \frac{8}{30}, ..., \frac{29}{30}, так как \frac{1}{6}=\frac{5}{30}.

3) 66 — такому условию подходят дроби: \frac{12}{66}, \frac{13}{66}, \frac{14}{66}, ..., \frac{65}{66}, так как \frac{1}{6}=\frac{11}{66}.

245. Расположите в порядке возрастания числа:

1) \frac{7}{12}, \frac{3}{8}, \frac{1}{4}, \frac{5}{6}

Приведём все дроби к общему знаменателю 24:

\frac{7}{12}=\frac{7\cdot 2}{12\cdot 2}=\frac{14}{24}

\frac{3}{8}=\frac{2\cdot 3}{8\cdot 3}=\frac{9}{24}

\frac{1}{4}=\frac{1\cdot 6}{4\cdot 6}=\frac{6}{24}

\frac{5}{6}=\frac{5\cdot 4}{6\cdot 4}=\frac{20}{24}

Теперь сравним дроби и расположим их в порядке возрастания: \frac{6}{24}, \frac{9}{24}, \frac{14}{24}, \frac{20}{24}.

Значит исходные дроби надо расположить в следующем порядке: \frac{1}{4}, \frac{3}{8}, \frac{7}{12}, \frac{5}{6}.

Ответ: \frac{1}{4}, \frac{3}{8}, \frac{7}{12}, \frac{5}{6}.

2) \frac{3}{4}, \frac{8}{15}, \frac{5}{12}, \frac{9}{20}

Приведём все дроби к общему знаменателю 60:

\frac{3}{4}=\frac{3\cdot 15}{4\cdot 15}=\frac{45}{60}

\frac{8}{15}=\frac{8\cdot4 }{15\cdot 4}=\frac{32}{60}

\frac{5}{12}=\frac{5\cdot 5}{12\cdot 5}=\frac{25}{60}

\frac{9}{20}=\frac{9\cdot 3}{20\cdot 3}=\frac{27}{60}

Теперь сравним дроби и расположим их в порядке возрастания: \frac{25}{60}, \frac{27}{60}, \frac{32}{60}, \frac{45}{60}.

Значит исходные дроби надо расположить в следующем порядке: \frac{5}{12}, \frac{9}{20}, \frac{8}{15}, \frac{3}{4}.

Ответ: \frac{5}{12}, \frac{9}{20}, \frac{8}{15}, \frac{3}{4}.

246. Расположите в порядке убывания числа:

1) \frac{4}{9}, \frac{1}{4}, \frac{7}{12}, \frac{13}{18}

Приведём все дроби к общему знаменателю 36:

\frac{4}{9}=\frac{4\cdot 4}{9\cdot 4}=\frac{16}{36}

\frac{1}{4}=\frac{1\cdot 9}{4\cdot 9}=\frac{9}{36}

\frac{7}{12}=\frac{7\cdot 3}{12\cdot 3}=\frac{21}{36}

\frac{13}{18}=\frac{13\cdot 2}{18\cdot 2}=\frac{26}{36}

Теперь сравним дроби и расположим их в порядке убывания: \frac{26}{36}, \frac{21}{36}, \frac{16}{36}, \frac{9}{36}.

Значит исходные дроби надо расположить в следующем порядке: \frac{13}{18}, \frac{7}{12}, \frac{4}{9}, \frac{1}{4}.

Ответ: \frac{13}{18}, \frac{7}{12}, \frac{4}{9}, \frac{1}{4}.

2) \frac{28}{45}, \frac{5}{9}, \frac{7}{10}, \frac{13}{18}, \frac{8}{15}

Приведём все дроби к общему знаменателю 90:

\frac{28}{45}=\frac{28\cdot 2}{45\cdot 2}=\frac{56}{90}

\frac{5}{9}=\frac{5\cdot 10}{9\cdot 10}=\frac{50}{90}

\frac{7}{10}=\frac{7\cdot 9}{10\cdot 9}=\frac{63}{90}

\frac{13}{18}=\frac{13\cdot 5}{18\cdot 5}=\frac{65}{90}

\frac{8}{15}=\frac{8\cdot 6}{15\cdot 6}=\frac{48}{90}

Теперь сравним дроби и расположим их в порядке убывания: \frac{65}{60}, \frac{63}{60}, \frac{56}{60}, \frac{50}{60}, \frac{48}{60}.

Значит исходные дроби надо расположить в следующем порядке: \frac{13}{18}, \frac{7}{10}, \frac{28}{45}, \frac{5}{9}, \frac{8}{15}.

Ответ: \frac{13}{18}, \frac{7}{10}, \frac{28}{45}, \frac{5}{9}, \frac{8}{15}.

247. Лакомка съедает 7 пирожных за 12 мин, а Сладкоежка — 13 пирожных за 20 мин. У кого аппетит лучше — у Лакомки или у Сладкоежки?

1) 7 : 12 = \frac{7}{12} (шт/мин) — скорость поедания пирожных Лакомки.

2) 13 : 20 = \frac{13}{20} (шт/мин) — скорость поедания пирожных Сладкоежки.

\frac{7}{12}=\frac{7\cdot 5}{12\cdot 5}=\frac{35}{60}

\frac{13}{20}=\frac{13\cdot 3}{20\cdot 3}=\frac{39}{60} 

3) \frac{35}{60}< \frac{39}{60} — значит Сладкоежка съедает за 1 минуту больше пирожных, чем Лакомка.

Ответ: аппетит лучше у Сладкоежки.

248. Головку сыра массой 9 кг разделили на 16 равных кусков, а головку массой 13 кг — на 20 равных кусков. Кусок какой головки сыра, первой или второй, вы посоветуете съесть мышонку Джерри, который очень его любит?

1) 9 : 16 = \frac{9}{16} (кг) — масса куска от первой головки сыра.

2) 13 : 20 = \frac{13}{20} (кг) — масса куска от второй головки сыра.

\frac{9}{16}=\frac{9\cdot 5}{16\cdot 5}=\frac{45}{80}

\frac{13}{20}=\frac{13\cdot 4}{20\cdot 4}=\frac{52}{80}

3) \frac{45}{80}< \frac{52}{80} — значит кусок от второй головки сыра больше, чем кусок от первой головки сыра.

Ответ: Мышонку Джерри лучше выбрать кусок от второй головки сыра.

249. Расстояние между двумя городами легковой автомобиль преодолевает за 4 ч, а грузовой — за 7 ч. Какой автомобиль проедет большее расстояние: легковой за 3 ч или грузовой за 5 ч?

1) 3 : 4 = \frac{3}{4} (часть) — пути проедет легковой автомобиль.

2) 5 : 7 = \frac{5}{7} (часть) — пути проедет грузовой автомобиль.

\frac{3}{4}=\frac{3\cdot 7}{4\cdot 7}=\frac{21}{28}

\frac{5}{7}=\frac{5\cdot 4}{7\cdot 4}=\frac{20}{28}

3) \frac{21}{28}> \frac{20}{28} — значит легковой автомобиль проедет большее расстояние.

Ответ: Легковой автомобиль.

250. Теплоход проходит расстояние между двумя пристанями за 9 ч, а катер — за 6 ч. Сравните расстояния: пройденное теплоходом за 7 ч и пройденное катером за 5 ч.

1) 7 : 9 = \frac{7}{9} (часть) — пути пройдет теплоход.

2) 5 : 6 = \frac{5}{6} (часть) — пути пройдет катер.

\frac{7}{0}=\frac{7\cdot 2}{9\cdot 2}=\frac{14}{18}

\frac{5}{6}=\frac{5\cdot 3}{6\cdot 3}=\frac{15}{18}

3) \frac{14}{18}< \frac{15}{18} — значит теплоход пройдёт меньшее расстояние, чем катер.

Ответ: Теплоход пройдёт меньшее расстояние, чем катер.

251. Какие из дробей  \frac{3}{7}, \frac{11}{28}, \frac{1}{2}, \frac{13}{42}, \frac{23}{70} больше дроби \frac{5}{14}?

Приведём \frac{3}{7} и  \frac{5}{14} к общему знаменателю 14: \frac{3}{7}=\frac{3\cdot 2}{7\cdot 2}=\frac{6}{14}> \frac{5}{14}, значит \frac{3}{7}> \frac{5}{14}

Приведём \frac{11}{28} и  \frac{5}{14} к общему знаменателю 28: \frac{5}{14}=\frac{5\cdot 2}{14\cdot 2}=\frac{10}{28}< \frac{11}{28}, значит \frac{11}{28}> \frac{5}{14}

Приведём \frac{1}{2} и  \frac{5}{14}  к общему знаменателю 14: \frac{1}{2}=\frac{1\cdot 7}{2\cdot 7}=\frac{7}{14}> \frac{5}{14}, значит \frac{1}{2}> \frac{5}{14}

Приведём \frac{13}{42} и  \frac{5}{14} к общему знаменателю 42: \frac{5}{14}=\frac{5\cdot 3}{14\cdot 3}=\frac{15}{42}> \frac{13}{42}, значит \frac{13}{42}< \frac{5}{14}

Приведём \frac{23}{70} и  \frac{5}{14} к общему знаменателю 70: \frac{5}{14}=\frac{5\cdot 5}{14\cdot 5}=\frac{35}{70}> \frac{23}{70}, значит \frac{23}{70}< \frac{5}{14}

Ответ: \frac{3}{7}, \frac{11}{28}, \frac{1}{2}.

252. Какие из дробей  \frac{43}{112}, \frac{9}{28}, \frac{3}{14}, \frac{3}{8}, \frac{1}{4} меньше дроби \frac{19}{56}?

Приведём \frac{43}{112} и  \frac{19}{56} к общему знаменателю 112: \frac{19}{56}=\frac{19\cdot 2}{56\cdot 2}=\frac{38}{112}< \frac{43}{112}, значит \frac{43}{112}> \frac{19}{56}

Приведём \frac{9}{28} и  \frac{19}{56} к общему знаменателю 56: \frac{9}{28}=\frac{9\cdot 2}{28\cdot 2}=\frac{18}{56}< \frac{19}{56}, значит \frac{9}{28}<\frac{19}{56}

Приведём \frac{3}{14} и  \frac{19}{56} к общему знаменателю 56: \frac{3}{14}=\frac{3\cdot 3}{14\cdot 3}=\frac{9}{56}< \frac{19}{56}, значит \frac{3}{14}<\frac{19}{56}

Приведём \frac{3}{8} и  \frac{19}{56} к общему знаменателю 56: \frac{3}{8}=\frac{3\cdot 7}{8\cdot 7}=\frac{21}{56}> \frac{19}{56}, значит \frac{3}{14}> \frac{19}{56}

Приведём \frac{1}{4} и  \frac{19}{56} к общему знаменателю 56: \frac{1}{4}=\frac{1\cdot 14}{4\cdot 14}=\frac{14}{56}< \frac{19}{56}, значит \frac{1}{4}<\frac{19}{56}

Ответ: \frac{9}{28}, \frac{3}{14}, \frac{1}{4}.

253. Найдите все натуральные значения x, при которых верно неравенство:

1) \frac{8}{19}< \frac{x}{19}< 1

Так как 1 = \frac{19}{19}, то неравенство можно записать: \frac{8}{19}< \frac{x}{19}< \frac{19}{19}.

Знаменатели у сравниваемых дробей равны, значит надо найти такие натуральные числители x, при которых выполняется неравенство: 8< x< 19.

Этому условию удовлетворяют х = 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 и 18.

2) \frac{1}{3}< \frac{x}{18}< \frac{5}{6}

Приведём дроби к общему знаменателю 18: 

\frac{1}{3}=\frac{1\cdot 6}{3\cdot 6}=\frac{6}{18}

\frac{5}{6}=\frac{5\cdot 3}{6\cdot 3}=\frac{15}{18}

Значит неравенство можно записать: \frac{6}{18}< \frac{x}{18}< \frac{15}{18}.

Знаменатели у сравниваемых дробей равны, значит надо найти такие натуральные числители x, при которых выполняется неравенство: 6< x< 15.

Этому условию удовлетворяют х = 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 и  14.

254. Найдите все натуральные значения х, при которых верно неравенство:

1) \frac{12}{23}< \frac{x}{23}< 1

Так как 1 = \frac{23}{23}, то неравенство можно записать: \frac{12}{23}< \frac{x}{23}< \frac{23}{23}.

Знаменатели у сравниваемых дробей равны, значит надо найти такие натуральные числители x, при которых выполняется неравенство: 12< x< 23.

Этому условию удовлетворяют х = 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21 и 22.

2) \frac{4}{9}< \frac{x}{36}< \frac{11}{12}

Приведём дроби к общему знаменателю 36: 

\frac{4}{9}=\frac{4\cdot 4}{9\cdot 4}=\frac{16}{36}

\frac{11}{12}=\frac{11\cdot 3}{12\cdot 3}=\frac{33}{36}

Значит неравенство можно записать: \frac{16}{36}< \frac{x}{36}< \frac{33}{36}.

Знаменатели у сравниваемых дробей равны, значит надо найти такие натуральные числители x, при которых выполняется неравенство: 16< x< 33.

Этому условию удовлетворяют х = 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32.

255. Какие из дробей \frac{1}{2}, \frac{3}{8}, \frac{5}{6}, \frac{9}{16}, \frac{7}{24}, \frac{11}{24} можно поставить вместо х, чтобы было верно неравенство \frac{11}{48}< x< \frac{29}{48}?

Приведём дроби у общему знаменателю 48:

\frac{1}{2}=\frac{1\cdot 24}{2\cdot 24}=\frac{24}{48}

\frac{3}{8}=\frac{3\cdot 6}{8\cdot 6}=\frac{18}{48}

\frac{5}{6}=\frac{5\cdot 8}{6\cdot 8}=\frac{40}{48}

\frac{9}{16}=\frac{9\cdot 3}{16\cdot 3}=\frac{27}{48}

\frac{7}{24}=\frac{7\cdot 2}{24\cdot 2}=\frac{14}{48}

\frac{11}{24}=\frac{11\cdot 2}{24\cdot 2}=\frac{22}{48}

Знаменатели у сравниваемых дробей равны, значит надо выбрать такие дроби со знаменателем 48, числители которых больше 11 и меньше 29. 

Этому условию удовлетворяют дроби: \frac{24}{48}, \frac{18}{48}, \frac{27}{48}, \frac{14}{48}, \frac{22}{48}.

Значит вместо в заданном неравенстве вместо х можно поставить дроби: \frac{1}{2}, \frac{3}{8}, \frac{9}{16}, \frac{7}{24}, \frac{11}{24}.

256. Какие из дробей \frac{3}{7}, \frac{6}{7}, \frac{9}{14}, \frac{5}{8}, \frac{15}{28}, \frac{11}{14} можно поставить вместо х, чтобы было верно неравенство \frac{19}{56}< x< \frac{37}{56}?

Приведём дроби у общему знаменателю 56:

\frac{3}{7}=\frac{3\cdot 8}{7\cdot 8}=\frac{24}{56}

\frac{6}{7}=\frac{6\cdot 8}{7\cdot 8}=\frac{48}{56}

\frac{9}{14}=\frac{9\cdot 4}{14\cdot 4}=\frac{36}{56}

\frac{5}{8}=\frac{5\cdot 7}{8\cdot 7}=\frac{35}{56}

\frac{15}{28}=\frac{15\cdot 2}{28\cdot 2}=\frac{30}{56}

\frac{11}{14}=\frac{11\cdot 4}{14\cdot 4}=\frac{44}{56}

Знаменатели у сравниваемых дробей равны, значит надо выбрать такие дроби со знаменателем 56, числители которых больше 19 и меньше 37. 

Этому условию удовлетворяют дроби: \frac{24}{56}, \frac{36}{56}, \frac{35}{56}, \frac{30}{56}.

Значит вместо в заданном неравенстве вместо х можно поставить дроби: \frac{3}{7}, \frac{9}{14}, \frac{5}{8}, \frac{15}{28}.

257. Найдите все дроби со знаменателем 48, которые больше \frac{1}{4} , но меньше \frac{1}{3}.

Приведём дроби \frac{1}{4} и \frac{1}{3} у общему знаменателю 48:

\frac{1}{4}=\frac{1\cdot 12}{4\cdot 12}=\frac{12}{48}

\frac{1}{3}=\frac{1\cdot 16}{3\cdot 16}=\frac{16}{48}

Значит искомые дроби должны удовлетворять неравенству: \frac{12}{48}< x< \frac{16}{48}.

Этому условию удовлетворяют дроби: \frac{13}{48}, \frac{14}{48}, \frac{15}{48}.

Ответ: \frac{13}{48}, \frac{14}{48}, \frac{15}{48}.

258. Укажите два числа, каждое из которых:

1) больше \frac{3}{7}, но меньше \frac{4}{7}

Приведём дроби к знаменателю 21: 

\frac{3}{7}=\frac{3\cdot 3}{7\cdot 3}=\frac{9}{21}

\frac{4}{7}=\frac{4\cdot 3}{7\cdot 3}=\frac{12}{21}

Можно составить неравенство: \frac{9}{21}< x< \frac{12}{21}.

Значит искомыми двумя числами могут быть дроби: \frac{10}{21},\frac{11}{21}.

2) больше \frac{1}{5}, но меньше \frac{1}{4}

Приведём дроби к знаменателю 80: 

\frac{1}{5}=\frac{1\cdot 16}{5\cdot 16}=\frac{16}{80}

\frac{1}{4}=\frac{1\cdot 20}{4\cdot 20}=\frac{20}{80}

Можно составить неравенство: \frac{16}{80}< x< \frac{20}{80}.

Значит искомыми двумя числами могут быть дроби: \frac{17}{80},\frac{18}{80}.

3) больше \frac{1}{7}, но меньше \frac{1}{6}

Приведём дроби к знаменателю 126: 

\frac{1}{7}=\frac{1\cdot 18}{7\cdot 18}=\frac{18}{126}

\frac{1}{6}=\frac{1\cdot 21}{6\cdot 21}=\frac{21}{126}

Можно составить неравенство: \frac{18}{126}< x< \frac{21}{126}.

Значит искомыми двумя числами могут быть дроби: \frac{19}{126},\frac{20}{126}.

4) больше \frac{98}{99}, но меньше 1

Приведём дроби к знаменателю 297: 

\frac{98}{99}=\frac{98\cdot 3}{99\cdot 3}=\frac{294}{297}

1=\frac{297}{297}

Можно составить неравенство: \frac{294}{297}< x< \frac{297}{297}.

Значит искомыми двумя числами могут быть дроби: \frac{295}{297},\frac{296}{297}.

259. Укажите три числа, каждое из которых:

1) больше \frac{1}{3}, но меньше \frac{1}{2}

Приведём дроби к знаменателю 24: 

\frac{1}{3}=\frac{1\cdot 8}{3\cdot 8}=\frac{8}{24}

\frac{1}{2}=\frac{1\cdot 12}{2\cdot 12}=\frac{12}{24}

Можно составить неравенство: \frac{8}{24}< x< \frac{12}{24}.

Значит искомыми двумя числами могут быть дроби: \frac{9}{24},\frac{10}{24}, \frac{11}{24}.

2) больше \frac{3}{5}, но меньше \frac{4}{5}

Приведём дроби к знаменателю 60: 

\frac{3}{5}=\frac{3\cdot 12}{5\cdot 12}=\frac{36}{60}

\frac{4}{5}=\frac{4\cdot 12}{5\cdot 12}=\frac{48}{24}

Можно составить неравенство: \frac{36}{60}< x< \frac{48}{60}.

Значит искомыми двумя числами могут быть дроби: \frac{39}{60},\frac{41}{60}, \frac{47}{60}.

260. Сравните дроби \frac{171}{181} и \frac{171171}{181181}.

Приведём дроби к общему знаменателю 181 181: 

\frac{171}{181}=\frac{171\cdot 1001}{181\cdot 1001}=\frac{171171}{181181} — значит эти дроби равны.

Ответ: \frac{171}{181}=\frac{171171}{181181}

261. Найдите все натуральные значения х, при которых верно неравенство:

1) \frac{x}{17}< \frac{8}{51}

Приведём первую дробь к знаменателю 51:

\frac{x}{17}=\frac{x\cdot 3}{17\cdot 3}=\frac{3x}{51} . Значит \frac{3x}{51}< \frac{8}{51}.

Знаменатели дробей равны, значит в числителе надо подобрать такое натуральное число х, чтобы выполнялось неравенство 3x< 8. Это могут быть натуральные числа:

  • х = 1, так как 3 • 1 = 3 < 8;
  • х = 2, так как 3 • 2 = 6 < 8.

Ответ: 1 и 2.

2) \frac{x}{65}< \frac{1}{13}

Приведём вторую дробь к знаменателю 65:

\frac{1}{13}=\frac{1\cdot 5}{13\cdot 5}=\frac{5}{65} . Значит \frac{x}{65}< \frac{5}{65}.

Знаменатели дробей равны, значит в числителе надо подобрать такое натуральное число х, чтобы выполнялось неравенство x< 5. Это могут быть натуральные числа: 1, 2, 3 и 4.

Ответ: 1, 2, 3, 4.

3) \frac{x}{5}< \frac{3}{15}

Приведём первую дробь к знаменателю 15:

\frac{x}{5}=\frac{x\cdot 3}{5\cdot 3}=\frac{3x}{15} . Значит \frac{3x}{15}< \frac{3}{15}.

Знаменатели дробей равны, значит в числителе надо подобрать такое натуральное число х, чтобы выполнялось неравенство 3x< 3. Таких натуральных чисел не существует. 

Ответ: не существует натуральных чисел, при которых неравенство будет верно.

4) \frac{1}{16}< \frac{x}{8}

Приведём вторую дробь к знаменателю 16:

\frac{x}{8}=\frac{x\cdot 2}{8\cdot 2}=\frac{2x}{16} . Значит \frac{1}{16}< \frac{2x}{16}.

Знаменатели дробей равны, значит в числителе надо подобрать такое натуральное число х, чтобы выполнялось неравенство 1< 2x. Этому условию удовлетворяет любое натуральное число.

Ответ: Любое натуральное число.

Упражнения для повторения

262. Дробь сначала сократили на 2, затем на 3, потом на 7. На какое число можно было сократить эту дробь сразу?

2 • 3 • 7 = 6 • 7 = 42

Ответ: дробь можно было сократить сразу на число 42.

263. Запишите все правильные дроби со знаменателем 12. Сократите те из них, которые не являются несократимыми.

1) \frac{1}{12}

2) \frac{2}{12}=\frac{1}{6}

3) \frac{3}{12}=\frac{1}{4}

4) \frac{4}{12}=\frac{1}{3}

5) \frac{5}{12}

6) \frac{6}{12}=\frac{1}{2}

7) \frac{7}{12}

8) \frac{8}{12}=\frac{2}{3}

9) \frac{9}{12}=\frac{3}{4}

10) \frac{10}{12}=\frac{5}{6}

11) \frac{11}{12}

264. Сумма двух чисел равна 374. Последней цифрой одного из этих чисел является нуль. Если его отбросить, то получим второе число. Найдите эти числа.

Пусть х — второе число, тогда 10х — первое число. Можно составить уравнение:

10х + х = 374
11х = 374
х = 374 : 11
х = 34 — первое число.

10 • 34 = 340 — второе число.

Мерзляк 6 класс - § 9. Приведение дробей к общему знаменателю. Сравнение дробей

Ответ: первое число равно 340, а второе число — 34.

265. Вам наверняка знакомо выражение «от горшка два вершка». В каком случае так говорят? Сколько сантиметров составляют 3 вершка, если 16 вершков равны 1 аршину, или 0,72 м?

Выражение «от горшка два вершка» обозначает, что речь идет либо о ребенке, либо об очень маленьком человеке. Обычно оно употребляется в шутку или с иронией. Например: «От горшка два вершка, а уже в школу собрался».

16 вершков = 1 аршин = 0,72 м = 72 см.

1) 72 : 16 = 4,5 (см) — составляет 1 вершок.

2) 4,5 • 3 = 13,5 (см) — составляют три вершка.

Мерзляк 6 класс - § 9. Приведение дробей к общему знаменателю. Сравнение дробей

Ответ: 3 вершка = 13,5 см.

Готовимся к изучению новой темы

266. Вычислите:

1) \frac{5}{11}+\frac{3}{11}=\frac{5+3}{11}=\frac{8}{11}

2) \frac{7}{15}-\frac{4}{15}=\frac{7-4}{15}=\frac{3}{15}=\frac{3:3}{15:3}=\frac{1}{5}

3) 6+\frac{5}{13}=6\frac{5}{13}

4) 2\frac{4}{13}+5\frac{2}{13}=(2+5)+(\frac{4}{13}+\frac{2}{13})=7+\frac{4+2}{13}=7+\frac{6}{13}=7\frac{6}{13}

5) 4\frac{11}{18}-1\frac{5}{18}=(4-1)+(\frac{11}{18}+\frac{5}{18})=3+\frac{11-5}{18}=3\frac{6}{18}=3\frac{6:3}{18:3}=3\frac{1}{6}

6) 1-\frac{9}{16}=\frac{16}{16}-\frac{9}{16}=\frac{16-9}{16}=\frac{7}{16}

7) 6-3\frac{7}{11}=5\frac{11}{11}-3\frac{7}{11}=(5-3)+(\frac{11}{11}-\frac{7}{11})=2+\frac{11-7}{11}=2\frac{4}{11}

8) 7\frac{2}{9}-2\frac{5}{9}=6\frac{9+2}{9}-2\frac{5}{9}=(6-2)+(\frac{11}{9}-\frac{5}{9})=4+\frac{11-5}{9}=4\frac{6}{9}=4\frac{2}{3}

267. Решите уравнение:

1) \frac{5}{16}+x=\frac{11}{16}

x=\frac{11}{16}-\frac{5}{16}

x=\frac{11-5}{16}

x=\frac{6}{16}

x=\frac{3}{8}

2) (\frac{17}{28}-x)-\frac{11}{28}=\frac{3}{28}

\frac{17}{28}-x=\frac{3}{28}+\frac{11}{28}

\frac{17}{28}-x=\frac{3+11}{28}

\frac{17}{28}-x=\frac{14}{28}

x=\frac{17}{28}-\frac{14}{28}

x=\frac{17-14}{28}

x=\frac{3}{28}

Задача от мудрой совы

268. Из чашки с молоком одну ложку молока переливают в чашку с кофе и тщательно размешивают. После этого одну ложку смеси переливают в чашку с молоком. Чего теперь больше: кофе в чашке с молоком или молока в чашке с кофе?

Чашка с молоком Чашка с кофе
Начало Молоко Кофе
1 шаг Молоко — 1 ложка молока Кофе + 1 ложка молока
2 шаг Молоко — 1 ложка молока + 1 ложка смеси кофе с молоком Кофе + 1 ложка молока — 1 ложка смеси кофе с молоком

Кофе в чашке с молоком меньше, чем молока в чашке с кофе, так как в чашку с кофе добавили целую ложку молока, а в молоко перелили 1 ложку смеси, то есть не целую ложку кофе, а только часть её.