Мерзляк 6 класс — § 11. Умножение дробей
Вопросы к параграфу
1. Сформулируйте правило умножения дроби на натуральное число.
Чтобы умножить дробь на натуральное число, надо:
- числитель умножить на это число;
- знаменатель оставить без изменения.
2. Какая дробь является произведением двух дробей?
Произведением двух дробей является дробь, у которой:
- числитель является произведением числителем исходных дробей;
- знаменатель является произведение знаменателей исходных дробей.
3. Чему равно произведение дроби и числа 0?
Произведение дроби и числа 0 равно 0.
;
4. Какие свойства умножения выполняются при умножении дробей?
Для дробей выполняются точно такие же свойства умножения, как и для натуральных чисел: переместительное свойство, сочетательное свойство и распределительные свойства умножения дробей относительно сложения и вычитания.
Свойства умножения для дробей
Переместительное свойство умножения:
Сочетательное свойство умножения:
Распределительное свойство умножения относительно сложения:
Распределительное свойство умножения относительно вычитания:
Решаем устно
1. Найдите значение выражения:
2. Назовите неправильную дробь, которой равно смешанное число:
1)
2)
3)
4)
3. Найдите целую часть числа:
1)
2)
3)
4)
3. Упростите выражение:
1) 0,2a + 2,4b + 0,8a — 0,4b = (0,2a + 0,8a) + (2,4b — 0,4 b) = 1a + 2b = a + 2b
2) 0,7m + 1,6m + 0,5m = (0,7 + 1,6 + 0,5) • m = 2,8m
3) 0,8m • 3n = 2,4mn
4) 5,2x — 1,7x + x + 8 = (5,2 — 1,7 + 1) • x + 8 = 4,5x + 8
5. Пешеход за ч проходит 1 км. За какое время он пройдет:
1) 5 км
(час) — потребуется пешеходу для того, чтобы пройти 5 км.
2) 15 км
(часа) — потребуется пешеходу для того, чтобы пройти 5 км.
3) км
(часа) — потребуется пешеходу для того, чтобы пройти км.
4) км
(часа) — потребуется пешеходу для того, чтобы пройти км.
6. Назовите дроби со знаменателем 12, которые больше, чем , и меньше, чем .
; .
Значит нам нужны дроби со знаменателем 12, которые больше, чем и меньше, чем .
Этому условию удовлетворяют дроби: .
Ответ: .
Упражнения
333. Выполните умножение:
334. Выполните умножение:
335. Найдите произведение:
336. Найдите произведение:
337. Выполните умножение:
338. Выполните умножение:
339. Найдите произведение:
340. Выполните умножение:
341. Найдите значение выражения:
342. Найдите значение выражения:
343. Какой путь пройдёт поезд за ч, если его скорость составляет 66 км/ч?
Ответ: 55 км.
344. Какое расстояние проедет автомобиль со скоростью 72 км/ч за ч?
Ответ: 162 км.
345. Сколько стоят кг бананов, если цена 1 кг бананов составляет р.?
Ответ: 99 рублей.
346. Сколько стоят кг конфет, если 1 кг конфет стоит р.?
Ответ: 440 рублей.
347. Выполните умножение:
348. Выполните умножение:
349. Найдите значение степени:
1)
2)
3)
4)
350. Найдите значение степени:
1)
2)
3)
4)
351. Найдите значение выражения:
352. Найдите значение выражения:
353. Найдите значение выражения, используя распределительное свойство умножения:
354. Найдите значение выражения, используя распределительное свойство умножения:
355. Вычислите значение выражения наиболее удобным способом:
356. Вычислите значение выражения наиболее удобным способом:
357. Упростите выражение:
358. Упростите выражение:
359. Упростите выражение:
360. Упростите выражение и найдите его значение:
1) , если
Если , то
Ответ:
2) , если
Если с = 2,4, то
Ответ: .
3) , если
Если y = 10, то
Ответ: 12.
361. Упростите выражение и найдите его значение:
1) , если
Если , то
Ответ: 1.
2) , если
Если , то
Ответ: .
3) , если
Если , то
Ответ: 4.
362. Докажите, что значение выражения не зависит от значения переменной:
1)
Ответ: выражение будет равно 1,4 при любом значении х.
2)
Ответ: выражение будет равно 7,4 при любом значении х.
3)
Ответ: выражение будет равно 1 при любом значении a.
4)
Ответ: выражение будет равно 2,4 при любом значении b.
363. Раскройте скобки:
1)
2)
3)
4)
364. Раскройте скобки:
1)
2)
3)
4)
365. Длина прямоугольного параллелепипеда равна см, что на см больше его ширины и в раза меньше его высоты. Вычислите объём прямоугольного параллелепипеда.
1) (см) — ширина прямоугольного параллелепипеда.
2) (см) — высота прямоугольного параллелепипеда.
3) (см³) — объем прямоугольного параллелепипеда.
Ответ: 1 875 см³.
366. Одна из сторон прямоугольника равна м, а соседняя — в раза больше. Вычислите площадь прямоугольника.
1) (м) — длина соседней стороны прямоугольника.
2) (м²) — площадь прямоугольника.
Ответ: м².
367. Турист шёл пешком ч со скоростью км/ч и ехал на велосипеде ч со скоростью км/ч. Какое расстояние больше: то, которое турист преодолел пешком, или то, которое он проехал на велосипеде, и на сколько километров?
1) (км) — турист прошёл пешком.
2) (км) — турист проехал на велосипеде.
3) , значит пешком турист прошёл больше, чем проехал на велосипеде.
4) (км) — турист прошёл больше, чем проехал на велосипеде.
Ответ: Турист прошёл на км больше пешком, чем проехал на велосипеде.
368. Мальвина купила кг апельсинов по цене сольдо за килограмм и кг яблок по цене сольдо. За какие фрукты — апельсины или яблоки — Мальвина заплатила больше и на сколько сольдо?
1) (сольдо) — стоимость апельсинов.
2) (сольдо) — стоимость яблок.
3) , значит стоимость апельсинов больше, чем стоимость яблок.
4) (сольдо) — заплатила Мальвина больше за апельсины, чем за яблоки.
Ответ: За апельсины Мальвина заплатила на больше, чем за яблоки.
369. Велосипедист Андрей ехал со скоростью км/ч, а велосипедист Богдан — со скоростью в раза большей. Каким было расстояние между велосипедистами сначала, если Богдан догнал Андрея через ч после того, как они одновременно начали двигаться?
1) (км/ч) — скорость движения Богдана.
2) (км/ч) — скорость сближения Андрея и Богдана.
3) (км) — было между велосипедистами сначала.
Ответ: км.
370. Из двух городов одновременно навстречу друг другу отправились велосипедист и мотоциклист. Велосипедист ехал со скоростью км/ч, а мотоциклист — со скоростью и раза большей. Найдите расстояние между городами, если велосипедист и мотоциклист встретились через ч после начала движения.
1) (км/ч) — скорость мотоциклиста.
2) (км/ч) — скорость сближения велосипедиста и мотоциклиста.
3) (км) — расстояние между городами.
Ответ: 231 км.
371. Лодка плыла ч против течения реки и ч по течению. Какой путь преодолела лодка за всё время движения, если собственная скорость лодки равна 18 км/ч, а скорость течения — км/ч?
1) (км/ч) — скорость лодки против течения реки.
2) (км) — проплыла лодка против течения реки.
3) (км/ч) — скорость лодки по течению реки.
4) (км) — проплыла лодка по течению реки.
5) 10 + 29 = 39 (км) — весь путь лодки.
Ответ: 39 км.
372. Теплоход шёл 3 ч против течения и ч по течению реки. На сколько километров меньше прошёл теплоход по течению, чем против течения, если скорость течения составляет км/ч, а собственная скорость теплохода — км/ч?
1) (км/ч) — скорость теплохода против течения реки.
2) (км) — прошёл теплоход против течения реки.
3) (км/ч) — скорость теплохода по течению реки.
4) (км) — прошёл теплоход по течению реки.
5) (км) — прошёл теплоход больше против течения, чем по течению реки.
Ответ: Против течения теплоход прошёл на км больше.
373. Одна швея может выполнить закал за 4 ч, а другая — за 6 ч. Какую часть заказа они выполнят за ч. работая вместе? Хватит ли им 3 ч, чтобы, работая вместе, выполнить заказ?
1) (часть) — заказа выполняет первая швея за 1 час.
2) (часть) — заказа выполняет вторая швея за 1 час.
3) (часть) — заказа выполняют две швеи, работая вместе.
4) (часть) — заказа выполняют за часа две швеи, работая вместе.
5) (часть) — заказа выполнят за 3 часа две швеи, работая вместе.
6) , значит для выполнения заказа, работая вместе, им хватит 3 часа.
Ответ: За швеи сделают часть заказа. Трёх часов им хватит на выполнение всего заказа, если они будут работать вместе.
374. Один рабочий может выполнить производственное задание за 5 ч, а другой — за 15 ч. Какую часть задания они выполнят, если будут работать вместе ч? Успеют ли они, работая вместе, выполнить задание за 3 ч?
1) (часть) — задания выполняет первый рабочий за 1 час.
2) (часть) — задания выполняет второй рабочий за 1 час.
3) (часть) — задания выполняют два рабочих, работая вместе.
4) (часть) — заказа выполняют за часа две швеи, работая вместе.
5) (часть) — задания выполнят за 3 часа два рабочих, работая вместе.
6) , значит для выполнения задания, работая вместе, им не хватит 3 часа.
Ответ: За рабочие сделают часть задания. Трёх часов им не хватит на выполнение всего заказа, если они будут работать вместе.
375. Выполните умножение (буквами обозначены натуральные числа):
376. He выполняя умножения, сравните:
1) , так как
2) , так как в процессе умножения и в числителях, и в знаменателях окажутся одинаковые множители:
- в числителе 7 • 3 = 7 • 3
- в знаменателе 8 • 4 = 4 • 8
3) , так как
377. Не выполняя умножения, сравните:
1) , так как
2) , так как
3) , так как
Упражнения для повторения
378. Игорь переложил из одного ящика в другой кг яблок, после чего в каждом ящике стало по 20 кг. Сколько килограммов яблок было в каждом ящике первоначально?
1) (кг) — яблок было в первом ящике первоначально.
2) (кг) — яблок было во втором ящике первоначально.
Ответ: В первом ящике первоначально было кг, а во втором — кг.
379. Запишите все правильные дроби с числителем 3, которые больше .
380. Фермер решил посадить кусты смородины. Он мог посадить их или в четыре ряда, или и шесть. Сколько кустов смородины он решил посадить. если известно, что их было больше 85, но меньше 100?
1) Найдём наименьшее общее кратное для чисел 4 и 6:
НОК (4,6) = 12
2) Запишем числа, кратные числу 12:
12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120 и т.д.
3) Выберем из найденных чисел число, которое больше 85, но меньше 100:
85 < 96 < 100.
Ответ: Фермер решил посадить 96 кустов смородины.
381. С одного аэродрома в одном направлении с интервалом 0,4 ч вылетели два самолёта. Первый самолёт летел со скоростью 640 км/ч, а второй — 720 км/ч. Через сколько часов после своего вылета второй самолёт будет впереди первого на расстоянии 24 км?
1) 640 • 0,4 = 256 (км) — пролетел первый самолёт до взлёта второго самолёта.
2) 256 + 24 = 280 (км) — на столько километров больше должен пролететь второй самолёт, чтобы обогнать первый на 24 км.
3) 720 — 640 = 80 (км/ч) — скорость сближения самолётов.
4) 280 : 80 = 3,5 (ч) — потребуется второму самолёте для того, чтобы обогнать первый на 24 км.
Ответ: 3,5 ч.
382. Сколько равносторонних треугольников изображено на рисунке 9?
На рисунке изображено:
- 1 большой равносторонний треугольник;
- 3 средних равносторонних треугольника;
- 9 маленьких равносторонних треугольников.
1 + 3 + 9 = 13 (шт) — равносторонних треугольника изображено на рисунке.
Ответ: 13 шт.
383. Сравните:
1), так как , а .
2) , так как , а .
3) , так как , а .
384. Сократите дробь:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Готовимся к изучению новой темы
385. Запишите в виде десятичной дроби:
1) 7 % = 0,07
2) 26 % = 0,26
3) 60 % = 0,60 = 0,6
4) 180 % = 1,80 = 1,8
386. Запишите в виде обыкновенной дроби:
1) 6 % = 0,06
2) 36 % = 0,36
3) 80 % = 0,80 = 0,8
4) 140 % = 1,40 = 1,4
387. Запишите в процентах:
1) 0,12 = 12 %
2) 0,05 = 5 %
3) 0,5 = 0,50 = 50 %
4) 0,324 = 32,4 %
5) 0,467 = 46,7 %
6) 4 = 4,00 = 400 %
7) 1,12 = 112 %
8) = 1,04 = 104 %
Задача от мудрой совы
388. На доске написаны три двузначных числа. Первая слева цифра одного из них — 5, второго — 6, а третьего — 7. Учитель попросил троих учащихся сложить любые два из этих чисел. Первый учащийся получил в сумме число 147, второй и третий — разные трёхзначные числа, первые слева две цифры которых 1 и 2. Какие числа написаны на доске?
1) Нам известны первые левые цифры всех записанных на доске двузначных чисел. Если обозначить неизвестные цифры буквами, то можно записать числа так:
- 5а
- 6в
- 7с
2) Мы знаем, что при сложении двух из этих чисел получается число 147. Такое возможно только в том случае, если сумма неизвестных цифр будет больше 10 и даст дополнительный десяток, а сумма известных цифр должна быть равна 13. Значит первый ученик складывал числа 6в + 7с
3) Мы видим, что сумма в + с = 17. Такой результат возможно получить только при сложении цифр 8 и 9: 8 + 9 = 17. Значит задуманными числами могут быть следующие пары чисел:
- 1 вариант — 68 и 79, проверка: 68 + 79 = 147
- 2 вариант — 69 и 78, проверка 69 + 78 = 147
4) При сложении этих чисел с числом 5а должно получиться число, две левые цифры которого равны 12:
5) Вариант 1 в этом случае не имеет решения, так как в сумме 5а + 79 при любом значении а > 0 сумма правых цифр будет больше 10, то есть при сложении десятков надо будет добавить дополнительный десяток: 5 + 7 + 1 = 13, а нам надо получить 5 + 7 = 12. Например:
- 51 + 79 = 130
- 52 + 79= 131
- и т.д.
Если же а = 0, то при вычислении суммы 5а + 68 не получиться число 12*, так как 50 + 68 = 118.
6) При выборе варианта 2 получается, что цифра а может быть равна только 1:
- если а = 1, то 51 + 69 = 120, а 51 + 78 = 129
При значении а > 1 заданные суммы уже не получатся:
- если а = 2, то 52 + 69 = 121, а 52 + 78 = 130
- если а = 3, то 53 + 69 = 122, а 53 + 78 = 131
- и т.д.
7) Значит искомые двузначные числа — это 51, 69 и 78.
Ответ: 51, 69 и 78.