Мерзляк 6 класс — § 11. Умножение дробей

Вопросы к параграфу

1. Сформулируйте правило умножения дроби на натуральное число.

Чтобы умножить дробь на натуральное число, надо:

  • числитель умножить на это число;
  • знаменатель оставить без изменения.

\frac{a}{b}\cdot n=\frac{a\cdot n}{b}

2. Какая дробь является произведением двух дробей?

Произведением двух дробей является дробь, у которой:

  • числитель является произведением числителем исходных дробей;
  • знаменатель является произведение знаменателей исходных дробей.

\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}

3. Чему равно произведение дроби и числа 0?

Произведение дроби и числа 0 равно 0.

0\cdot \frac{a}{b}=0; \frac{a}{b}\cdot 0=0

4. Какие свойства умножения выполняются при умножении дробей?

Для дробей выполняются точно такие же свойства умножения, как и для натуральных чисел: переместительное свойство, сочетательное свойство и распределительные свойства умножения дробей относительно сложения и вычитания.

Свойства умножения для дробей

Переместительное свойство умножения:

\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}=\frac{c}{d}\cdot \frac{a}{b}

Сочетательное свойство умножения:

(\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d})\cdot \frac{p}{q}= \frac{a}{b}\cdot (\frac{c}{d}\cdot \frac{p}{q})

Распределительное свойство умножения относительно сложения:

(\frac{a}{b}+ \frac{c}{d})\cdot \frac{p}{q}= \frac{a}{b}\cdot \frac{p}{q}+\frac{c}{d}\cdot \frac{p}{q}

Распределительное свойство умножения относительно вычитания:

(\frac{a}{b}- \frac{c}{d})\cdot \frac{p}{q}= \frac{a}{b}\cdot \frac{p}{q}-\frac{c}{d}\cdot \frac{p}{q}

Решаем устно

1. Найдите значение выражения:

Мерзляк 6 класс - § 11. Умножение дробей

2. Назовите неправильную дробь, которой равно смешанное число:

1) 1\frac{1}{2}=\frac{1\cdot 2+1}{2}=\frac{3}{2}

2) 4\frac{3}{4}=\frac{4\cdot 4+3}{4}=\frac{19}{4}

3) 7\frac{5}{6}=\frac{7\cdot 6+5}{6}=\frac{47}{6}

4) 2\frac{1}{17}=\frac{2\cdot 17+1}{17}=\frac{35}{17}

3. Найдите целую часть числа:

1) \frac{35}{8}=\frac{4\cdot 8+3}{8}=4\frac{3}{8}

2) \frac{13}{9}=\frac{1\cdot 9+4}{9}=1\frac{4}{9}

3) \frac{23}{6}=\frac{3\cdot 6+5}{6}=3\frac{5}{6}

4) \frac{69}{13}=\frac{5\cdot 13+4}{13}=5\frac{4}{13}

3. Упростите выражение:

1) 0,2a + 2,4b + 0,8a — 0,4b = (0,2a + 0,8a) + (2,4b — 0,4 b) = 1a + 2b = a + 2b

2) 0,7m + 1,6m + 0,5m = (0,7 + 1,6 + 0,5) • m = 2,8m

3) 0,8m • 3n = 2,4mn

4) 5,2x — 1,7x + x + 8 = (5,2 — 1,7 + 1) • x + 8 = 4,5x + 8

5. Пешеход за \frac{1}{5} ч проходит 1 км. За какое время он пройдет:

1) 5 км

\frac{1}{5}\cdot 5=\frac{1\cdot 5}{5}=\frac{5}{5}=1 (час) — потребуется пешеходу для того, чтобы пройти 5 км.

2) 15 км

\frac{1}{5}\cdot 15=\frac{1\cdot 15}{5}=\frac{3}{1}=3 (часа) — потребуется пешеходу для того, чтобы пройти 5 км.

3) \frac{1}{2} км

\frac{1}{5}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1\cdot 1}{5\cdot 2}=\frac{1}{10} (часа) — потребуется пешеходу для того, чтобы пройти \frac{1}{2} км.

4) \frac{5}{8} км

\frac{1}{5}\cdot \frac{5}{8}=\frac{1\cdot 5}{5\cdot 8}=\frac{1}{8} (часа) — потребуется пешеходу для того, чтобы пройти \frac{5}{8} км.

6. Назовите дроби со знаменателем 12, которые больше, чем \frac{1}{6}, и меньше, чем \frac{1}{2}.

\frac{1}{6}=\frac{2}{12}; \frac{1}{2}=\frac{6}{12}.

Значит нам нужны дроби со знаменателем 12, которые больше, чем \frac{2}{12}и меньше, чем \frac{6}{12} .

Этому условию удовлетворяют дроби: \frac{3}{12}, \frac{4}{12}, \frac{5}{12}.

Ответ: \frac{3}{12}, \frac{4}{12}, \frac{5}{12}.

Упражнения

333. Выполните умножение:

Мерзляк 6 класс - § 11. Умножение дробей

334. Выполните умножение:

Мерзляк 6 класс - § 11. Умножение дробей

335. Найдите произведение:

Мерзляк 6 класс - § 11. Умножение дробей

336. Найдите произведение:

Мерзляк 6 класс - § 11. Умножение дробей

337. Выполните умножение:

Мерзляк 6 класс - § 11. Умножение дробей

338. Выполните умножение:

Мерзляк 6 класс - § 11. Умножение дробей

339. Найдите произведение:

Мерзляк 6 класс - § 11. Умножение дробей

340. Выполните умножение:

Мерзляк 6 класс - § 11. Умножение дробей

341. Найдите значение выражения:

Мерзляк 6 класс - § 11. Умножение дробей

Мерзляк 6 класс - § 11. Умножение дробей

342. Найдите значение выражения:

Мерзляк 6 класс - § 11. Умножение дробей

343. Какой путь пройдёт поезд за \frac{5}{6} ч, если его скорость составляет 66 км/ч?

Мерзляк 6 класс - § 11. Умножение дробей

Ответ: 55 км.

344. Какое расстояние проедет автомобиль со скоростью 72 км/ч за 2\frac{1}{4} ч?

Мерзляк 6 класс - § 11. Умножение дробей

Ответ: 162 км.

345. Сколько стоят 3\frac{3}{5} кг бананов, если цена 1 кг бананов составляет 27\frac{1}{2} р.?

Мерзляк 6 класс - § 11. Умножение дробей

Ответ: 99 рублей.

346. Сколько стоят 6\frac{1}{4} кг конфет, если 1 кг конфет стоит 70\frac{2}{5} р.?

Мерзляк 6 класс - § 11. Умножение дробей

Ответ: 440 рублей.

347. Выполните умножение:

Мерзляк 6 класс - § 11. Умножение дробей

348. Выполните умножение:

Мерзляк 6 класс - § 11. Умножение дробей

349. Найдите значение степени:

1) \left (\frac{1}{2} \right )^{4}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1\cdot 1\cdot 1\cdot 1}{2\cdot 2\cdot 2\cdot 2}=\frac{1}{16}

2) \left (\frac{2}{5} \right )^{3}=\frac{2}{5}\cdot \frac{2}{5}\cdot \frac{2}{5}=\frac{2\cdot 2\cdot 2}{5\cdot 5\cdot 5}=\frac{8}{125}

3) \left (1\frac{1}{3} \right )^{4}=\left (\frac{4}{3} \right )^{4}=\frac{4}{3}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{4}{3}=\frac{4\cdot 4\cdot 4\cdot 4}{3\cdot 3\cdot 3\cdot 3}=\frac{256}{81}=3\frac{8}{81}

4) \left (2\frac{3}{3} \right )^{2}=\left (\frac{8}{3} \right )^{2}=\frac{8}{3}\cdot \frac{8}{3}=\frac{8\cdot 8}{3\cdot 3}=\frac{64}{9}=7\frac{1}{9}

350. Найдите значение степени:

1) \left (\frac{1}{3} \right )^{5}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1\cdot 1\cdot 1\cdot 1\cdot 1}{3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3}=\frac{1}{243}

2) \left (\frac{3}{7} \right )^{3}=\frac{3}{7}\cdot \frac{3}{7}\cdot \frac{3}{7}=\frac{3\cdot 3\cdot 3}{7\cdot 7\cdot 7}=\frac{27}{343}

3) \left (1\frac{2}{5} \right )^{2}=\left (\frac{7}{5} \right )^{2}=\frac{7}{5}\cdot \frac{7}{5}=\frac{7\cdot 7}{5\cdot 5}=\frac{49}{25}=1\frac{24}{25}

4) \left (3\frac{1}{4} \right )^{2}=\left (\frac{13}{4} \right )^{2}=\frac{13}{4}\cdot \frac{13}{4}=\frac{13\cdot 13}{4\cdot 4}=\frac{169}{16}=10\frac{9}{16}

351. Найдите значение выражения:

Мерзляк 6 класс - § 11. Умножение дробей

Мерзляк 6 класс - § 11. Умножение дробей

352. Найдите значение выражения:

Мерзляк 6 класс - § 11. Умножение дробей

Мерзляк 6 класс - § 11. Умножение дробей

353. Найдите значение выражения, используя распределительное свойство умножения:

Мерзляк 6 класс - § 11. Умножение дробей

354. Найдите значение выражения, используя распределительное свойство умножения:

Мерзляк 6 класс - § 11. Умножение дробей

355. Вычислите значение выражения наиболее удобным способом:

Мерзляк 6 класс - § 11. Умножение дробей

356. Вычислите значение выражения наиболее удобным способом:

Мерзляк 6 класс - § 11. Умножение дробей

357. Упростите выражение:

Мерзляк 6 класс - § 11. Умножение дробей

358. Упростите выражение:

Мерзляк 6 класс - § 11. Умножение дробей

359. Упростите выражение:

Мерзляк 6 класс - § 11. Умножение дробей

360. Упростите выражение и найдите его значение:

1) \frac{3}{8}x+\frac{4}{9}x-\frac{5}{12}x, если x=3\frac{3}{29}

Мерзляк 6 класс - § 11. Умножение дробей

Если x=3\frac{3}{29}, то 

Мерзляк 6 класс - § 11. Умножение дробей

Ответ: 1\frac{1}{4}

2) \frac{9}{10}c-\frac{2}{15}c-\frac{3}{5}c, если c=2,4

Мерзляк 6 класс - § 11. Умножение дробей

Если с = 2,4, то 

Мерзляк 6 класс - § 11. Умножение дробей

Ответ: \frac{2}{5}.

3) 3\frac{3}{5}y- 2\frac{1}{3}y-\frac{1}{15}y, если y=10

Мерзляк 6 класс - § 11. Умножение дробей

Если y = 10, то 

Мерзляк 6 класс - § 11. Умножение дробей

Ответ: 12.

361. Упростите выражение и найдите его значение:

1) \frac{1}{2}a+ \frac{1}{3}a-\frac{1}{4}a, если a=1\frac{5}{7}

Мерзляк 6 класс - § 11. Умножение дробей

Если a=1\frac{5}{7}, то 

Мерзляк 6 класс - § 11. Умножение дробей

Ответ: 1.

2) \frac{4}{7}b+\frac{5}{21}b-\frac{2}{3}b, если b=2\frac{1}{3}

Мерзляк 6 класс - § 11. Умножение дробей

Если b=2\frac{1}{3}, то 

Мерзляк 6 класс - § 11. Умножение дробей

Ответ: \frac{1}{3}.

3) 1\frac{5}{12}m+ 2\frac{7}{18}m-1\frac{2}{9}m, если m=1\frac{17}{31}

Мерзляк 6 класс - § 11. Умножение дробей

Если m=1\frac{17}{31}, то 

Мерзляк 6 класс - § 11. Умножение дробей

Ответ: 4.

362. Докажите, что значение выражения не зависит от значения переменной:

1) 0,5x+1,4-\frac{7}{18}x-\frac{1}{9}x=(\frac{5}{10}x-\frac{7}{18}x-\frac{1}{9}x)+1,4=(\frac{1}{2}-\frac{7}{18}-\frac{1}{9})\cdot x+1,4=

=(\frac{9}{18}-\frac{7}{18}-\frac{2}{18})\cdot x+1,4=\frac{9-7-2}{18}\cdot x+1,4=\frac{0}{18}\cdot x+1,4=0+1,4=1,4

Ответ: выражение будет равно 1,4 при любом значении х.

2) 0,5x+\frac{1}{7}x+7,4-\frac{9}{14}x=(\frac{5}{10}x+\frac{1}{7}x-\frac{9}{14}x)+7,4=(\frac{1}{2}+\frac{1}{7}-\frac{9}{14})\cdot x+7,4=

=(\frac{7}{14}+\frac{2}{14}-\frac{9}{14})\cdot x+7,4=\frac{7+2-9}{14}\cdot x+7,4=\frac{0}{14}\cdot x+7,4=0+7,4=7,4

Ответ: выражение будет равно 7,4 при любом значении х.

3) 1\frac{17}{18}a+1-1,5a-\frac{4}{9}a=(1\frac{17}{18}a-1\frac{5}{10}a-\frac{4}{9}a)+1=(1\frac{17}{18}-1\frac{1}{2}-\frac{4}{9})\cdot a+1=

(1\frac{17}{18}-1\frac{9}{18}-\frac{8}{18})\cdot a+1=\frac{17-9-8}{18}\cdot a+1=\frac{0}{18}\cdot a+1=0+1=1

Ответ: выражение будет равно 1 при любом значении a.

4) 2,4+1,25b+\frac{5}{6}b-2\frac{1}{12}b=2,4+(1\frac{25 }{100}b+\frac{5}{6}b-2\frac{1}{12}b)=

=2,4+(1\frac{1}{4}+\frac{5}{6}-2\frac{1}{12})\cdot b=2,4+(\frac{15 }{12}+\frac{10}{12}-\frac{25}{12})\cdot b=2,4+\frac{15+10-25}{12}\cdot b=

=2,4+\frac{0}{12}\cdot b=2,4+0=2,4

Ответ: выражение будет равно 2,4 при любом значении b.

363. Раскройте скобки:

1) 6\cdot (\frac{2}{3}a+\frac{5}{12}b)=6\cdot \frac{2}{3}a+6\cdot \frac{5}{12}b=\frac{6\cdot 2}{3}a+\frac{6\cdot 5}{12}b=4a+\frac{5}{2}b=4a+2\frac{1}{2}b

2) \frac{1}{3}\cdot (\frac{9}{11}m-\frac{6}{7}n)=\frac{1}{3}\cdot \frac{9}{11}m-\frac{1}{3}\cdot \frac{6}{7}n=\frac{1\cdot 9}{3\cdot 11}m-\frac{1\cdot 6}{3\cdot 7}n=\frac{3}{11}m-\frac{2}{7}n

3) 12\cdot (\frac{3}{4}x+\frac{13}{18}y-\frac{1}{24}z)=12\cdot \frac{3}{4}x+12\cdot \frac{13}{18}y-12\cdot \frac{1}{24}z=

\frac{12\cdot 3}{4}x+\frac{12\cdot 13}{18}y+\frac{12\cdot 1}{24}z=9x+\frac{26}{3}y-\frac{1}{2}z=9x+8\frac{2}{3}y-\frac{1}{2}z

4)  1\frac{1}{7}\cdot (7p+\frac{21}{24}q-1\frac{3}{4})=1\frac{1}{7}\cdot 7p+1\frac{1}{7}\cdot \frac{21}{24}q-1\frac{1}{7}\cdot 1\frac{3}{4}=\frac{8}{7}\cdot 7p+\frac{8}{7}\cdot \frac{21}{24}q-\frac{8}{7}\cdot \frac{7}{4}=

=\frac{8\cdot 7}{7}\cdot p+\frac{8\cdot 21}{7\cdot 24}\cdot q-\frac{8\cdot 7}{7\cdot 4}=8p+\frac{3}{3}q-\frac{8}{4}=8p+q-2

364. Раскройте скобки:

1) 14\cdot (\frac{1}{2}m+\frac{3}{7}n)=14\cdot\frac{1}{2}m+14\cdot\frac{3}{7}n=\frac{14\cdot 1}{2}m+\frac{14\cdot 3}{7}n=7m+6n

2) \frac{1}{6}\cdot (\frac{12}{17}b-\frac{18}{23}c)=\frac{1}{6}\cdot\frac{12}{17}b-\frac{1}{6}\cdot\frac{18}{23}c=\frac{1\cdot 12}{6\cdot 17}b-\frac{1\cdot 18}{6\cdot 23}c=\frac{2}{17}b-\frac{3}{23}c

3) 8\cdot (\frac{1}{4}p-\frac{5}{24}q+\frac{7}{12}t)=8\cdot \frac{1}{4}p-8\cdot \frac{5}{24}q+8\cdot \frac{7}{12}t=\frac{8\cdot 1}{4}p-\frac{8\cdot 5}{24}q+\frac{8\cdot 7}{12}t=

2p-\frac{5}{3}q+\frac{14}{3}t=2p-1\frac{2}{3}q+3\frac{2}{3}t

4) 1\frac{3}{4}\cdot (4a+\frac{16}{21}b-2\frac{2}{3})=1\frac{3}{4}\cdot 4a+1\frac{3}{4}\cdot \frac{16}{21}b-1\frac{3}{4}\cdot 2\frac{2}{3}=\frac{7}{4}\cdot 4a+\frac{7}{4}\cdot \frac{16}{21}b-\frac{7}{4}\cdot \frac{8}{3}=

=\frac{7\cdot 4}{4}a+\frac{7\cdot 16}{4\cdot 21}b-\frac{7\cdot 8}{4\cdot 3}=7a+\frac{4}{3}b-\frac{14}{3}=7a+1\frac{1}{3}b-4\frac{2}{3}

365. Длина прямоугольного параллелепипеда равна 8\frac{1}{3} см, что на \frac{5}{6} см больше его ширины и в 3\frac{3}{5} раза меньше его высоты. Вычислите объём прямоугольного параллелепипеда. 

Мерзляк 6 класс - § 11. Умножение дробей

1) 8\frac{1}{3}-\frac{5}{6}=8\frac{6}{18}-\frac{15}{18}=7\frac{24}{18}-\frac{15}{18}=7+\frac{24-15}{18}=7+\frac{9}{18}=7\frac{1}{2} (см) — ширина прямоугольного параллелепипеда.

2) 8\frac{1}{3}\cdot 3\frac{3}{5}=\frac{25}{3}\cdot \frac{18}{5}=\frac{25\cdot 18}{3\cdot 5}=5\cdot 6=30 (см) — высота прямоугольного параллелепипеда.

3) 8\frac{1}{3}\cdot 7\frac{1}{2}\cdot 30=\frac{25}{3}\cdot \frac{15}{2}\cdot 30=\frac{25\cdot 15\cdot 30}{3\cdot 2} =25\cdot 5\cdot 15=1875 (см³) — объем прямоугольного параллелепипеда.

Ответ: 1 875 см³.

366. Одна из сторон прямоугольника равна 3\frac{1}{5} м, а соседняя — в 1\frac{1}{4} раза больше. Вычислите площадь прямоугольника.

Мерзляк 6 класс - § 11. Умножение дробей

1) 3\frac{1}{5}\cdot 1\frac{1}{4}=\frac{16}{5}\cdot \frac{5}{4}=\frac{16\cdot 5}{5\cdot 4}=4 (м) — длина соседней стороны прямоугольника.

2) 3\frac{1}{4}\cdot 4=\frac{16\cdot 4}{5}=\frac{64}{5}=12\frac{4}{5} (м²) — площадь прямоугольника.

Ответ: 12\frac{4}{5} м².

367. Турист шёл пешком 5\frac{1}{3} ч со скоростью 4\frac{1}{8} км/ч и ехал на велосипеде 1\frac{7}{15} ч со скоростью 12\frac{1}{2} км/ч. Какое расстояние больше: то, которое турист преодолел пешком, или то, которое он проехал на велосипеде, и на сколько километров?

Мерзляк 6 класс - § 11. Умножение дробей

1) 5\frac{1}{3}\cdot 4\frac{1}{8}=\frac{16}{3}\cdot \frac{33}{8}=\frac{16\cdot 33}{3\cdot 8}=2\cdot 11=22 (км) — турист прошёл пешком.

2) 1\frac{7}{15}\cdot 12\frac{1}{2}=\frac{22}{15}\cdot \frac{25}{2}=\frac{22\cdot 25}{15\cdot 2}=\frac{11\cdot 5}{3}=\frac{55}{3}=18\frac{1}{3} (км) — турист проехал на велосипеде.

3) 22> 18\frac{1}{3}, значит пешком турист прошёл больше, чем проехал на велосипеде.

4) 22-18\frac{1}{3}=21\frac{3}{3}-18\frac{1}{3}=3+\frac{3-1}{2}=3\frac{2}{3} (км) — турист прошёл больше, чем проехал на велосипеде.

Ответ: Турист прошёл на 3\frac{2}{3} км больше пешком, чем проехал на велосипеде.

368. Мальвина купила 4\frac{3}{5} кг апельсинов по цене 7\frac{1}{2} сольдо за килограмм и 5\frac{1}{4} кг яблок по цене 3\frac{1}{5} сольдо. За какие фрукты — апельсины или яблоки — Мальвина заплатила больше и на сколько сольдо?

Мерзляк 6 класс - § 11. Умножение дробей

1) 4\frac{3}{5}\cdot 7\frac{1}{2}=\frac{23}{5}\cdot \frac{15}{2}=\frac{23\cdot 15}{5\cdot 2}=\frac{23\cdot 3}{2}=\frac{69}{2}=34\frac{1}{2} (сольдо) — стоимость апельсинов.

2) 5\frac{1}{4}\cdot 3\frac{1}{5}=\frac{21}{4}\cdot \frac{16}{5}=\frac{21\cdot 16}{4\cdot 5}=\frac{21\cdot 4}{5}=\frac{84}{5}=16\frac{4}{5} (сольдо) — стоимость яблок.

3) 34\frac{1}{2}> 16\frac{4}{5}, значит стоимость апельсинов больше, чем стоимость яблок.

4) 34\frac{1}{2}- 16\frac{4}{5}=34\frac{5}{10}- 16\frac{8}{10}=33\frac{15}{10}- 16\frac{8}{10}=17+\frac{7}{10}=17\frac{7}{10} (сольдо) — заплатила Мальвина больше за апельсины, чем за яблоки.

Ответ: За апельсины Мальвина заплатила на 17\frac{7}{10} больше, чем за яблоки.

369. Велосипедист Андрей ехал со скоростью 8\frac{3}{4} км/ч, а велосипедист Богдан — со скоростью в 1\frac{1}{7} раза большей. Каким было расстояние между велосипедистами сначала, если Богдан догнал Андрея через 3\frac{4}{5} ч после того, как они одновременно начали двигаться?

Мерзляк 6 класс - § 11. Умножение дробей

1) 8\frac{3}{4}\cdot 1\frac{1}{7}=\frac{35}{4}\cdot \frac{8}{7}=\frac{35\cdot 8}{4\cdot 7}=5\cdot 2=10 (км/ч) — скорость движения Богдана.

2) 10-8\frac{3}{4}=9\frac{4 }{4}-8\frac{3}{4}=1\frac{1}{4} (км/ч) — скорость сближения Андрея и Богдана.

3) 1\frac{1}{4}\cdot 3\frac{4}{5}=\frac{5}{4}\cdot \frac{19}{5}=\frac{5\cdot 19}{4\cdot 5}=\frac{19}{4}=4\frac{3}{4} (км) — было между велосипедистами сначала.

Ответ: 4\frac{3}{4} км.

370. Из двух городов одновременно навстречу друг другу отправились велосипедист и мотоциклист. Велосипедист ехал со скоростью 10\frac{4}{5}км/ч, а мотоциклист — со скоростью и 5\frac{5}{12} раза большей. Найдите расстояние между городами, если велосипедист и мотоциклист встретились через 3\frac{1}{3} ч после начала движения.

Мерзляк 6 класс - § 11. Умножение дробей

1) 10\frac{4}{5}\cdot 5\frac{5}{12}=\frac{54}{5}\cdot \frac{65}{12}=\frac{54\cdot 65}{5\cdot 12}=\frac{9\cdot 13}{1\cdot 2}=\frac{117}{2}=58\frac{1}{2} (км/ч) — скорость мотоциклиста.

2) 10\frac{4}{5}+58\frac{1}{2}=10\frac{8}{10}+58\frac{5}{10}=68+\frac{8+5}{10}=68+\frac{13}{10}=68+1\frac{3}{10}=69\frac{3}{10} (км/ч) — скорость сближения велосипедиста и мотоциклиста.

3) 69\frac{3}{10}\cdot 3\frac{1}{3}=\frac{693}{10}\cdot \frac{10}{3}=\frac{693\cdot 10}{10\cdot 3}=\frac{693}{3}=231 (км) — расстояние между городами.

Ответ: 231 км.

371. Лодка плыла \frac{3}{5} ч против течения реки и 1\frac{1}{2} ч по течению. Какой путь преодолела лодка за всё время движения, если собственная скорость лодки равна 18 км/ч, а скорость течения — 1\frac{1}{3} км/ч?

Мерзляк 6 класс - § 11. Умножение дробей

1) 18-1\frac{1}{3}=17\frac{3}{3}-1\frac{1}{3}=16+\frac{3-1 }{3}=16\frac{2}{3} (км/ч) — скорость лодки против течения реки.

2) 16\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{5}=\frac{50}{3}\cdot \frac{3}{5}=\frac{50\cdot 3}{3\cdot 5}=10 (км) — проплыла лодка против течения реки.

3) 18+1\frac{1}{3}=19\frac{1}{3} (км/ч) — скорость лодки по течению реки.

4) 19\frac{1}{3}\cdot 1\frac{1}{2}=\frac{58}{3}\cdot \frac{3}{2}=\frac{58\cdot 3}{3\cdot 2}=29 (км) — проплыла лодка по течению реки.

5) 10 + 29 = 39 (км) — весь путь лодки.

Ответ: 39 км.

372. Теплоход шёл 3 ч против течения и 1\frac{3}{5} ч по течению реки. На сколько километров меньше прошёл теплоход по течению, чем против течения, если скорость течения составляет 2\frac{1}{4} км/ч, а собственная скорость теплохода — 22\frac{1}{3} км/ч?

Мерзляк 6 класс - § 11. Умножение дробей

1) 22\frac{1}{3}-2\frac{1}{4}=22\frac{4}{12}-2\frac{3}{12}=20+\frac{4-3}{12}=20\frac{1}{12} (км/ч) — скорость теплохода против течения реки.

2) 20\frac{1}{12}\cdot 3=\frac{241\cdot 3}{12}=\frac{241}{4}=60\frac{1}{4} (км) — прошёл теплоход против течения реки.

3) 22\frac{1}{3}+2\frac{1}{4}=22\frac{4}{12}+2\frac{3}{12}=24+\frac{4+3}{12}=24\frac{7}{12} (км/ч) — скорость теплохода по течению реки.

4) 24\frac{7}{12}\cdot 1\frac{3}{5}=\frac{295}{12}\cdot \frac{8}{5}=\frac{295\cdot 8}{12\cdot 5}=\frac{59\cdot 2}{3\cdot 1}=\frac{118}{3}=39\frac{1}{3} (км) — прошёл теплоход по течению реки.

5) 60\frac{1}{4}-39\frac{1}{3}=60\frac{3}{12}-39\frac{4}{12}=59\frac{15}{12}-39\frac{4}{12}=20+\frac{15-4}{12}=20\frac{11}{12} (км) — прошёл теплоход больше против течения, чем по течению реки.

Ответ: Против течения теплоход прошёл на 20\frac{11}{12} км больше.

373. Одна швея может выполнить закал за 4 ч, а другая — за 6 ч. Какую часть заказа они выполнят за \frac{3}{4} ч. работая вместе? Хватит ли им 3 ч, чтобы, работая вместе, выполнить заказ?

Мерзляк 6 класс - § 11. Умножение дробей

1) 1:4=\frac{1}{4} (часть) — заказа выполняет первая швея за 1 час.

2) 1:6=\frac{1}{6} (часть) — заказа выполняет вторая швея за 1 час.

3) \frac{1}{4}+\frac{1}{6}=\frac{3}{12}+\frac{2}{12}=\frac{3+2}{12}=\frac{5}{12} (часть) — заказа выполняют две швеи, работая вместе.

4) \frac{3}{4}\cdot \frac{5}{12}=\frac{3\cdot 5}{4\cdot 12}=\frac{1\cdot 5}{4\cdot 4}=\frac{5}{16} (часть) — заказа выполняют за \frac{3}{4} часа две швеи, работая вместе.

5) \frac{5}{12}\cdot 3=\frac{5\cdot 3}{12}=\frac{5}{4}=1\frac{1}{4} (часть) — заказа выполнят за 3 часа две швеи, работая вместе.

6) 1\frac{1}{4}> 1, значит для выполнения заказа, работая вместе, им хватит 3 часа.

Ответ: За \frac{3}{4} швеи сделают \frac{5}{16} часть заказа. Трёх часов им хватит на выполнение всего заказа, если они будут работать вместе.

374. Один рабочий может выполнить производственное задание за 5 ч, а другой — за 15 ч. Какую часть задания они выполнят, если будут работать вместе 1\frac{1}{4} ч? Успеют ли они, работая вместе, выполнить задание за 3 ч?

Мерзляк 6 класс - § 11. Умножение дробей

1) 1:5=\frac{1}{5} (часть) — задания выполняет первый рабочий за 1 час.

2) 1:15=\frac{1}{15} (часть) — задания выполняет второй рабочий за 1 час.

3) \frac{1}{5}+\frac{1}{15}=\frac{3}{15}+\frac{1}{15}=\frac{3+1}{15}=\frac{4}{15} (часть) — задания выполняют два рабочих, работая вместе.

4) 1\frac{1}{4}\cdot \frac{4}{15}=\frac{5}{4}\cdot \frac{4}{15}=\frac{5\cdot 4}{4\cdot 15}=\frac{1\cdot 1}{1\cdot 3}=\frac{1}{3} (часть) — заказа выполняют за 1\frac{1}{4} часа две швеи, работая вместе.

5) \frac{4}{15}\cdot 3=\frac{4\cdot 3}{15}=\frac{4\cdot 1}{5}=\frac{4}{5} (часть) — задания выполнят за 3 часа два рабочих, работая вместе.

6) \frac{4}{5}< 1, значит для выполнения задания, работая вместе, им не хватит 3 часа.

Ответ: За 1\frac{1}{4} рабочие сделают \frac{1}{3} часть задания. Трёх часов им не хватит на выполнение всего заказа, если они будут работать вместе.

375. Выполните умножение (буквами обозначены натуральные числа):

Мерзляк 6 класс - § 11. Умножение дробей

376. He выполняя умножения, сравните:

1) 200\cdot \frac{6}{13}< 200, так как \frac{6}{13}< 1 

2) \frac{7}{8}\cdot \frac{3}{4}=\frac{7}{4}\cdot\frac{3}{8}, так как в процессе умножения и в числителях, и в знаменателях окажутся одинаковые множители:

  • в числителе 7 • 3 = 7 • 3
  • в знаменателе 8 • 4 = 4 • 8

3) \frac{13}{20}> \frac{13}{20}\cdot \frac{7}{8}, так как \frac{7}{8}< 1 

377. Не выполняя умножения, сравните:

1) 1000> 1000\cdot \frac{2}{3}, так как \frac{2}{3}< 1 

2) \frac{19}{6}\cdot \frac{5}{5}=\frac{19}{6}, так как \frac{5}{5}=1

3) \frac{7}{12}< \frac{7}{12}\cdot \frac{9}{8}, так как \frac{9}{8}> 1 

Упражнения для повторения

378. Игорь переложил из одного ящика в другой 2\frac{1}{3} кг яблок, после чего в каждом ящике стало по 20 кг. Сколько килограммов яблок было в каждом ящике первоначально?

Мерзляк 6 класс - § 11. Умножение дробей

1) 20+2\frac{1}{3}=22\frac{1}{3} (кг) — яблок было в первом ящике первоначально.

2) 20-2\frac{1}{3}=19\frac{3}{3}-2\frac{1}{3}=17+\frac{3-1}{3}=17\frac{2}{3} (кг) — яблок было во втором ящике первоначально.

Ответ: В первом ящике первоначально было 22\frac{1}{3} кг, а во втором — 17\frac{2}{3} кг.

379. Запишите все правильные дроби с числителем 3, которые больше \frac{3}{7}.

\frac{3}{6}, \frac{3}{5}, \frac{3}{4}.

380. Фермер решил посадить кусты смородины. Он мог посадить их или в четыре ряда, или и шесть. Сколько кустов смородины он решил посадить. если известно, что их было больше 85, но меньше 100?

1) Найдём наименьшее общее кратное для чисел 4 и 6:

НОК (4,6) = 12

2) Запишем числа, кратные числу 12:

12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120 и т.д.

3) Выберем из найденных чисел число, которое больше 85, но меньше 100:

85 < 96 < 100.

Ответ: Фермер решил посадить 96 кустов смородины.

381. С одного аэродрома в одном направлении с интервалом 0,4 ч вылетели два самолёта. Первый самолёт летел со скоростью 640 км/ч, а второй — 720 км/ч. Через сколько часов после своего вылета второй самолёт будет впереди первого на расстоянии 24 км?

Мерзляк 6 класс - § 11. Умножение дробей

1) 640 • 0,4 = 256 (км) — пролетел первый самолёт до взлёта второго самолёта.

2) 256 + 24 = 280 (км) — на столько километров больше должен пролететь второй самолёт, чтобы обогнать первый на 24 км.

3) 720 — 640 = 80 (км/ч) — скорость сближения самолётов.

4) 280 : 80 = 3,5 (ч) — потребуется второму самолёте для того, чтобы обогнать первый на 24 км.

Мерзляк 6 класс - § 11. Умножение дробей

Ответ: 3,5 ч.

382. Сколько равносторонних треугольников изображено на рисунке 9?

Мерзляк 6 класс - § 11. Умножение дробей

На рисунке изображено:

  • 1 большой равносторонний треугольник;
  • 3 средних равносторонних треугольника;
  • 9 маленьких равносторонних треугольников.

1 + 3 + 9 = 13 (шт) — равносторонних треугольника изображено на рисунке.

Ответ: 13 шт.

383. Сравните:

1)\frac{14}{3}> 4, так как \frac{14}{3}=4\frac{2}{3}, а 4\frac{2}{3}> 4.

2) \frac{12}{5}<3, так как \frac{12}{5}=2\frac{2}{5}, а 2\frac{2}{5}< 3.

3) 6> \frac{35}{6}, так как \frac{35}{6}=5\frac{5}{6}, а 6> 5\frac{5}{6}.

384. Сократите дробь:

1) \frac{124}{279}=\frac{124:31 }{279:31}=\frac{4}{9}

2) \frac{324}{378}=\frac{324:54}{378:54}=\frac{6}{7}

3) \frac{888}{999}=\frac{888:111}{999:111}=\frac{8}{9}

4) \frac{1111}{111111}=\frac{1111:11 }{111111:11}=\frac{101}{10101}

5) \frac{2323}{3434}=\frac{2323:101 }{3434:101}=\frac{23}{34}

6) \frac{121212}{191919}=\frac{121212:10101 }{191919:10101}=\frac{12}{19}

Готовимся к изучению новой темы

385. Запишите в виде десятичной дроби:

1) 7 % = 0,07

2) 26 % = 0,26

3) 60 % = 0,60 = 0,6

4) 180 % = 1,80 = 1,8

386. Запишите в виде обыкновенной дроби:

1) 6 % = 0,06

2) 36 % = 0,36

3) 80 % = 0,80 = 0,8

4) 140 % = 1,40 = 1,4

387. Запишите в процентах:

1) 0,12 = 12 %

2) 0,05 = 5 %

3) 0,5 = 0,50 = 50 %

4) 0,324 = 32,4 %

5) 0,467 = 46,7 %

6) 4 = 4,00 = 400 %

7) 1,12 = 112 %

8) 1\frac{1}{25}=1\frac{4}{100} = 1,04 = 104 %

Задача от мудрой совы

388. На доске написаны три двузначных числа. Первая слева цифра одного из них — 5, второго — 6, а третьего — 7. Учитель попросил троих учащихся сложить любые два из этих чисел. Первый учащийся получил в сумме число 147, второй и третий — разные трёхзначные числа, первые слева две цифры которых 1 и 2. Какие числа написаны на доске?

1) Нам известны первые левые цифры всех записанных на доске двузначных чисел. Если обозначить неизвестные цифры буквами, то можно записать числа так:

2) Мы знаем, что при сложении двух из этих чисел получается число 147. Такое возможно только в том случае, если сумма неизвестных цифр будет больше 10 и даст дополнительный десяток, а сумма известных цифр должна быть равна 13. Значит первый ученик складывал числа 6в + 7сМерзляк 6 класс - § 11. Умножение дробей

3) Мы видим, что сумма в + с = 17. Такой результат возможно получить только при сложении  цифр 8 и 9: 8 + 9 = 17. Значит задуманными числами могут быть следующие пары чисел:

  • 1 вариант — 68 и 79, проверка: 68 + 79 = 147
  • 2 вариант — 69 и 78, проверка 69 + 78 = 147

4) При сложении этих чисел с числом 5а должно получиться число, две левые цифры которого равны 12:

Мерзляк 6 класс - § 11. Умножение дробей

5) Вариант 1 в этом случае не имеет решения, так как в сумме 5а + 79 при любом значении а > 0 сумма правых цифр будет больше 10, то есть при сложении десятков надо будет добавить дополнительный десяток: 5 + 7 + 1 = 13, а нам надо получить 5 + 7 = 12. Например:

  • 51 + 79 = 130
  • 52 + 79= 131 
  • и т.д.

Если же а = 0, то при вычислении суммы 5а + 68 не получиться число 12*, так как 50 + 68 = 118.

6) При выборе варианта 2 получается, что цифра а может быть равна только 1:

  • если а = 1, то 51 + 69 = 120, а 51 + 78 = 129

При значении а > 1 заданные суммы уже не получатся:

  • если а = 2, то 52 + 69 = 121, а 52 + 78 = 130
  • если а = 3, то 53 + 69 = 122, а 53 + 78 = 131
  • и т.д.

7) Значит искомые двузначные числа — это 51, 69 и 78.

Ответ: 51, 69 и 78.