Мерзляк 6 класс — § 12. Нахождение дроби от числа

Опубликовано автором

Вопросы к параграфу

1. Как найти дробь от числа?

Чтобы найти дробь от числа, можно умножить число на эту дробь.

2. Как найти проценты от числа?

Чтобы найти проценты от числа, можно представить проценты в виде дроби и умножить число на эту дробь.

Решаем устно

1. Корнем какого из данных уравнений является число 3\frac{1}{2}:

1) 7x=1 — нет, так как 7\cdot 3\frac{1}{2}\neq 1

2) \frac{7}{2}x=1 — нет, так как \frac{7}{2}\cdot 3\frac{1}{2}=\frac{7}{2}\cdot \frac{7}{2}\neq 1

3) \frac{2}{7}x=1 — да, так как \frac{2}{7}\cdot 3\frac{1}{2}=\frac{2}{7}\cdot \frac{7}{2}=\frac{2\cdot 7}{7\cdot 2}=1

4) 2x=1 — нет, так как 2\cdot 3\frac{1}{2}=2\cdot \frac{7}{2}=\frac{2\cdot 7}{2}=7\neq 1

Ответ: 3\frac{1}{2} является корнем уравнения \frac{2}{7}x=1.

2. Вычислите, используя распределительное свойство умножения:

1) (\frac{3}{7}+\frac{5}{14})\cdot 14=\frac{3}{7}\cdot 14+\frac{5}{14}\cdot 14=\frac{3\cdot 14}{7}+\frac{5\cdot 14}{14}=3\cdot 2+5=6+5=11

2) (\frac{1}{8}+\frac{1}{6})\cdot 24=\frac{1}{8}\cdot 24+\frac{1}{6}\cdot 24=\frac{1\cdot 24}{8}+\frac{1\cdot 24}{6}=1\cdot 3+1\cdot 4=3+4=7

3) (\frac{4}{15}-\frac{1}{30})\cdot 30=\frac{4}{15}\cdot 30-\frac{1}{30}\cdot 30=\frac{4\cdot 30}{15}-\frac{1\cdot 30}{30}=4\cdot 2-1=8-1=7

3. Трое друзей поймали 5 кг рыбы и поделили её между собой поровну. Какую часть улова получил каждый из друзей? Сколько килограммов рыбы досталось каждому?

1) 1:3=\frac{1}{3} (часть) — улова получил каждый из друзей.

2) 5:3=\frac{5}{3}=1\frac{2}{3} (кг) — рыбы получил каждый из друзей.

Ответ: Каждый из друзей получил по \frac{1}{3} части улова, что составило по 1\frac{2}{3} кг рыбы на каждого.

Упражнения

389. Найдите:

1) \frac{3}{5} от числа 60 равно 60\cdot \frac{3}{5}=\frac{60\cdot 3}{5}=12\cdot 3=36

2) 0,16 от числа 20 равно 20 • 0,16 = 3,2

3) \frac{5}{6} от числа \frac{3}{20} равно \frac{3}{20}\cdot \frac{5}{6}=\frac{3\cdot 5}{20\cdot 6}=\frac{1\cdot 1}{4\cdot 2}=\frac{1}{8}

4) \frac{24}{65} от числа \frac{39}{40} равно \frac{39}{40}\cdot \frac{24}{65}=\frac{39\cdot 24}{40\cdot 65}=\frac{3\cdot 3}{5\cdot 5}=\frac{9}{25}

5) \frac{3}{7} от числа 5\frac{3}{5} равно 5\frac{3}{5}\cdot \frac{3}{7}=\frac{28}{5}\cdot \frac{3}{7}=\frac{28\cdot 3}{5\cdot 7}=\frac{4\cdot 3}{5\cdot 1}=\frac{12}{5}=2\frac{2}{5}

6) \frac{3}{8} от числа 2\frac{2}{3} равно 2\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{8}=\frac{8}{3}\cdot \frac{3}{8}=\frac{8\cdot 3}{3\cdot 8}=1

390. Найдите:

1) 14 % от числа 60 равно 60 • 0,14 = 8,4

2) 40 % от числа 32 равно 32 • 0,4 = 12,8

3) 8 % от числа \frac{3}{16} равно \frac{3}{16}\cdot \frac{8}{100}=\frac{3\cdot 8}{16\cdot 100}=\frac{3\cdot 1}{2\cdot 100}=\frac{3}{200}

4) 180 % от числа 3\frac{1}{3} равно 3\frac{1}{3}\cdot \frac{180}{100}=\frac{10}{3}\cdot \frac{180}{100}=\frac{10\cdot 180}{3\cdot 100}=\frac{1\cdot 60}{1\cdot 10}=\frac{60}{10}=6

391. Сколько градусов содержит угол, который составляет:

1) \frac{2}{15} прямого угла

Прямой угол равен 90º.

90\cdot \frac{2}{15}=\frac{90\cdot 2}{15}=6\cdot 2=12

Ответ: 12º.

2) \frac{13}{20} развёрнутого угла

Развёрнутый угол равен 180º.

180\cdot \frac{13}{20}=\frac{180\cdot 13}{20}=9\cdot 13=117

Ответ: 117º.

392. Сколько градусов содержит угол, который составляет:

1) \frac{23}{18} прямого угла

Прямой угол равен 90º.

90\cdot \frac{23}{18}=\frac{90\cdot 23}{18}=5\cdot 23=115

Ответ: 115º.

2) \frac{11}{12} развёрнутого угла

Развёрнутый угол равен 180º.

180\cdot \frac{11}{12}=\frac{180\cdot 11}{12}=15\cdot 11=165

Ответ: 165º.

393. Миша собрал 91 гриб, из них \frac{5}{13} составляли белые. Сколько белых грибов собрал Миша?

91\cdot \frac{5}{13}=\frac{91\cdot 5}{13}=7\cdot 5=35 (шт) — белые грибы.

Ответ: Миша собрал 35 белых грибов.

394. Оля испекла 45 пирожков, из них  \frac{4}{9} составляли пирожки с вишнями. Сколько пирожков с вишнями испекла Оля?

45\cdot \frac{4}{9}=\frac{45\cdot 4}{9}=5\cdot 4=20 (шт) — пирожки с вишнями.

Ответ: Оля испекла 20 пирожков с вишнями.

395. Магазин продал 480 кг огурцов и помидоров, причём масса огурцов составляла 85% массы этих овощей. Сколько килограммов огурцов продали?

480 • 0,85 = 408 (кг) — масса огурцов.

Мерзляк 6 класс - § 12. Нахождение дроби от числа

Ответ: магазин продал 408 кг огурцов.

396. Отряд из 120 человек отправился в поход на лодках. В каждую лодку село 12,5% отряда. Сколько человек было в каждой лодке? На скольких лодках отряд отправился в поход?

1) 120 • 0,125 = 15 (чел) — было в каждой лодке.

2) 120 : 15 = 8 (шт) — лодок было всего.

Мерзляк 6 класс - § 12. Нахождение дроби от числа

Ответ: Отряд отправился на 8 лодках, в каждой лодке было по 15 человек.

397. Агрофирма владеет 140 га земли, 16% которой занимает яблоневый сад. Найдите площадь сада.

140 • 0,16 = 22,4 (га) — площадь сада.

Мерзляк 6 класс - § 12. Нахождение дроби от числа

Ответ: Площадь сада составляет 22,4 га.

398. Медь составляет \frac{4}{7} массы сплава. Сколько килограммов меди содержится в 280 кг такого сплава?

280\cdot \frac{4}{7}=\frac{280\cdot 4}{7}=40\cdot 4=160 (кг) — меди содержится в 280 кг сплава.

Ответ: 160 кг.

399. Соль составляет \frac{5}{9} массы раствора. Сколько килограммов соли содержится в 18 кг такого раствора?

18\cdot \frac{5}{9}=\frac{18\cdot 5}{9}=2\cdot 5=10 (кг) — соли содержится в 18 кг раствора.

Ответ: 10 кг.

400. Продали m порций мороженого, \frac{5}{8} которых составляло эскимо. Составьте выражение для нахождения количества порций эскимо и вычислите его значение при m = 120.

m\cdot \frac{5}{8}=\frac{5m}{8} — порций эскимо продали.

Если m = 120, то:

\frac{5m}{8}=\frac{5\cdot 120}{8}=5\cdot 15=75 (порций) — эскимо, если всего продали 120 порций мороженого.

Ответ: 75 порций эскимо.

401. В саду растёт a кустов роз, \frac{3}{14} которых составляют розовые. Составьте выражение для нахождения количества кустов розовых роз и вычислите его значение при а = 210.

a\cdot \frac{3}{14}=\frac{3a}{14} — кустов роз — розовые.

Если a = 210, то:

\frac{3a}{14}=\frac{3\cdot 210}{14}=3\cdot 15=45 (кустов) — розовые, если всего растёт 210 кустов роз.

Ответ: 45 кустов роз розового цвета.

402. В дом отдыха привезли 1 440 кг апельсинов и мандаринов. Апельсины составляли \frac{7}{12} массы привезённых фруктов. Сколько килограммов мандаринов привезли в дом отдыха?

1) 1440\cdot \frac{7}{12}=\frac{1440\cdot 7}{12}=120\cdot 7=840 (кг) — привезли апельсинов.

2) 1 400 — 840 = 600 (кг) — привезли мандаринов.

Мерзляк 6 класс - § 12. Нахождение дроби от числа

Ответ: Привезли 600 кг мандаринов.

403. Построили 192 коттеджа, из них \frac{7}{16} —  двухэтажные, а остальные — трёхэтажные. Сколько построили трехэтажных коттеджей?

1) 192\cdot \frac{7}{16}=\frac{192\cdot 7}{16}=12\cdot 7=84 (шт) -коттеджей — двухэтажные.

2) 192 — 84 = 108 (шт) — коттеджей — трёхэтажные.

Ответ: 108 шт.

404. На сколько 3,5 % от числа 32 больше, чем \frac{2}{9} от числа 0,45?

1) 32\cdot 3,5=32\cdot \frac{35}{1000}=\frac{32\cdot 7}{200}=\frac{32\cdot 7}{200}=\frac{4\cdot 7}{25}=\frac{28}{25}=1\frac{3}{25}=1\frac{12}{100}=1,12 — составляет 3,5% от числа 32.

2) 0,45\cdot \frac{2}{9}=\frac{45 }{100}\cdot \frac{2}{9}=\frac{45\cdot 2}{100\cdot 9}=\frac{5\cdot 1}{50\cdot 1}=\frac{5}{50}=\frac{1}{10}=0,1 — составляет \frac{2}{9} от числа 0,45.

3) 1,12 — 0,1 = 1,02 — настолько 3,5 % от числа 32 больше, чем \frac{2}{9} от числа 0,45.

Ответ: на 1,02.

405. На сколько \frac{8}{27} от числа 5,4 больше, чем 4\frac{2}{3} % от числа \frac{6}{7} ?

1) 5,4\cdot \frac{8}{27}=\frac{54}{10}\cdot \frac{8}{27}=\frac{54\cdot 8}{10\cdot 27}=\frac{2\cdot 4}{5\cdot 1}=\frac{8}{5}=1\frac{3}{5} — составляет \frac{8}{27} от числа 5,4.

1% — это \frac{1}{100} часть. Значит 4\frac{2}{3}% =4\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{100}=\frac{14}{3}\cdot \frac{1}{100}=\frac{14\cdot 1}{3\cdot 100}.

2) \frac{6}{7}\cdot \frac{14\cdot 1}{3\cdot 100}=\frac{6\cdot 14\cdot 1}{7\cdot 3\cdot 100}=\frac{2\cdot 2\cdot 1}{1\cdot 1\cdot 100}=\frac{1}{25} — составляет 4\frac{2}{3} % от числа \frac{6}{7}.

3) 1\frac{3}{5}-\frac{1}{25}=1\frac{15}{25}-\frac{1}{25}=1\frac{14}{25} — на столько\frac{8}{27} от числа 5,4 больше, чем 4\frac{2}{3} % от числа \frac{6}{7}.

Ответ: на 1\frac{14}{25}.

406. Учебники составляют \frac{1}{3} всех книг школьной библиотеки, а учебники по математике — \frac{6}{25} всех учебников. Какую часть всех книг, имеющихся в библиотеке, составляют учебники по математике?

\frac{1}{3}\cdot \frac{6}{25}=\frac{1\cdot 6}{3\cdot 25}=\frac{2}{25}  (часть) — всех книг в библиотеке составляют учебники по математике.

Ответ: \frac{2}{25} часть.

407. Каштаны составляют \frac{5}{18} всех деревьев, растущих в парке, а дубы — \frac{9}{10} количества каштанов. Какую часть всех деревьев в парке составляют дубы?

\frac{5}{18}\cdot \frac{9}{10}=\frac{5\cdot 9}{18\cdot 10}=\frac{1\cdot 1}{2\cdot 2}=\frac{1}{4} (часть) — всех деревьев в парке составляют дубы.

Ответ: \frac{1}{4} часть.

408. Трое рабочих изготовили 216 деталей. Первый рабочий изготовил \frac{7}{18} этих деталей, второй — \frac{13}{36}. Сколько деталей изготовил третий рабочий?

1) \frac{7}{18}+\frac{13}{36}=\frac{14}{36}+\frac{13}{36}=\frac{14+13}{36}=\frac{27}{36} (часть) — деталей изготовили первый и второй рабочий.

2) 1-\frac{27}{36}=\frac{36}{36}-\frac{27}{36}=\frac{36-27}{36}=\frac{9}{36}=\frac{1}{4} (часть) — деталей изготовил третий рабочий.

3) 216\cdot \frac{1}{4}=\frac{216\cdot 1}{4}=54 (детали) — изготовил третий рабочий.

Ответ: 54 детали.

409. Баром Мюнхгаузен рассказывал, что, посланный с важным донесением из Москвы в Париж, он проскакал на коне 2 460 км за четыре дня. В первый день он преодолел \frac{3}{20} расстояния, во второй — \frac{4}{15}, в третий — \frac{7}{30}. Сколько километров проскакал барон Мюнхгаузен в четвёртый день? 

1) \frac{3}{20}+\frac{4}{15}+\frac{7}{30}=\frac{9}{60}+\frac{16}{60}+\frac{14}{60}=\frac{9+16+14}{60}=\frac{39}{60}=\frac{13}{20} (часть) — всего пути проскакал барон в первые три дня.

2) 1-\frac{13}{20}=\frac{20}{20}-\frac{13}{20}=\frac{20-13}{20}=\frac{7}{20} (часть) — всего пути проскакал барон в четвёртый день.

3) 2460\cdot \frac{7}{20}=\frac{2460\cdot 7}{20}=123\cdot 7=861 (км) — проскакал барон в третий день.

Ответ: 861 км.

410. Железный Дровосек нарубил 9\frac{3}{8} м³ дров. В первый день он нарубил \frac{2}{5} всего объёма дров, а во второй — \frac{4}{9} остатка. Сколько кубометров дров нарубил Железный Дровосек во второй день?

1) 9\frac{3}{8}\cdot \frac{2}{5}=\frac{75\cdot 2}{8\cdot 5}=\frac{15\cdot 1}{4\cdot 1}=3\frac{3}{4} (м³) — дров нарубил дровосек в первый день.

2) 9\frac{3}{8}-3\frac{3}{4}=8\frac{11}{8}-3\frac{6}{8}=5+\frac{11-6}{8}=5\frac{5}{8} (м³) — дров осталось нарубить после первого дня.

3) 5\frac{5}{8}\cdot \frac{4}{9}=\frac{45}{8}\cdot \frac{4}{9}=\frac{45\cdot 4}{8\cdot 9}=\frac{5\cdot 1}{2\cdot 1}=\frac{5}{2}=2\frac{1}{2} (м³) — дров дровосек нарубил во второй день.

Ответ: 2\frac{1}{2} м³ дров.

411. За три недели продали 324 коробки конфет. За первую неделю продали \frac{5}{18} этого количества, за вторую — \frac{15}{26} остатка. Сколько коробок конфет продали за третью неделю?

1) 324\cdot \frac{5}{18}=\frac{324\cdot 5}{18}=18\cdot 5=90 (шт) — коробок конфет продали за первую неделю.

2) 324 — 90 = 234 (шт) — коробки конфет осталось после первой недели.

3) 234\cdot \frac{15}{26}=\frac{234\cdot 15}{26}=9\cdot 15=135 (шт) — коробок конфет продали за вторую неделю.

4) 234 — 135 = 99 (шт) — коробок продали за третью неделю.

Ответ: За третью неделю продали 99 коробок конфет.

412. Том Сойер покрасил забор прямоугольной формы, длина которого равна 9\frac{1}{3} фута (1 фут = 30,48 см), а высота составляет \frac{5}{14} длины. Сколько фунтов краски израсходовал Том, если на 1 квадратный фут пошло 4\frac{1}{2} фунта (1 фунт = 451 г) краски?

1) 9\frac{1}{3}\cdot \frac{5}{14}=\frac{28}{3}\cdot \frac{5}{14}=\frac{28\cdot 5}{3\cdot 14}=\frac{2\cdot 5}{3\cdot 1}=\frac{10}{3}=3\frac{1}{3} (фута) — высота забора.

2) (9\frac{1}{3}\cdot 3\frac{1}{3})\cdot 4\frac{1}{2}=\frac{28}{3}\cdot \frac{10}{3}\cdot \frac{9}{2}=\frac{28\cdot 10\cdot 9}{3\cdot 3\cdot 2}=\frac{14\cdot 10\cdot 3}{1\cdot 3\cdot 1}=\frac{14\cdot 10\cdot 1}{1\cdot 1\cdot 1}=140 (фунтов) краски пошло на покраску забора.

Ответ: На покраску забора пошло 140 фунтов краски.

413. Для банка заказали новый сейф, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда. Длина сейфа равна 3 м, ширина составляет \frac{13}{50} длины, а высота — \frac{15}{26} ширины. Сколько слитков золота, имеющих форму куба с ребром 6 см можно положить в этот сейф?

3 м = 300 см

1) 300\cdot \frac{13}{50}=\frac{300\cdot 13}{50}=6\cdot 13=78 (см) — ширина сейфа.

2) 78\cdot \frac{15}{26}=\frac{78\cdot 15}{26}=3\cdot 15=45 (см) — высота сейфа.

3) 300 : 6 = 50 (шт) — слитков войдёт в сейф по длине.

4) 78 : 6 = 13 (шт) — слитков войдёт в сейф по ширине.

5) 45:6 = \frac{45}{6}=7\frac{3}{6}=7\frac{1}{2} (шт) — слитков войдёт в сейф по высоте.

Так как слитки должны быть целыми, то по высоте войдёт только 7 целых слитков.

6) 50 • 13 • 7 = 650 • 7 = 4 550 (шт) — слитков, имеющих форму куба с ребром 6 см, войдёт в сейф.

Ответ: В сейф войдёт 4 550 золотых слитков.

414. Банк «Ломаный грош» получил в июне 200 сольдо прибыли, в июле — 0,65 прибыли июня, в августе — \frac{16}{13} прибыли июля. Сколько сольдо составляла прибыль банка за три летних месяца?

1) 200 • 0,65 = 130 (сольдо) — прибыль банка в июле.

2) 130\cdot \frac{16}{13}=\frac{130\cdot 16}{13}=10\cdot 16=160 (сольдо) — прибыль банка в августе.

3) 200 + 130 + 160 = 490 (сольдо) — прибыль банка за 3 летних месяца.

Ответ: 490 сольдо.

415. Акционерное общество «Поле чудес» имело в декабре 1 200 сольдо убытков, в январе — 135% от убытков декабря, в феврале — \frac{25}{18} убытков января. Сколько сольдо составили убытки АО «Поле чудес» за три зимних месяца?

135% = 1,35

1) 1 200 • 1,35 = 1 620 (сольдо) — сумма убытков в январе.

2) 1620 \cdot \frac{25}{18}=\frac{1620\cdot 25}{18}=90\cdot 25=2250 (сольдо) — сумма убытков в феврале.

3) 1 200 + 1 620 + 2 250 = 5 070 (сольдо) — сумма убытков за 3 летних месяца.

Мерзляк 6 класс - § 12. Нахождение дроби от числа

Ответ: 5 070 сольдо.

416. В столовую привезли 405 кг овощей: капусту, морковь и картофель. Морковь составляла 32% массы капусты, картофель — 138% массы капусты. Сколько килограммов капусты привезли в столовую?

Мерзляк 6 класс - § 12. Нахождение дроби от числа

  • 32% = 0,32
  • 138% = 1,38

Пусть капусты привезли х кг. Тогда моркови привезли х • 0,32 = 0,32 х кг (32% массы капусты), а картофеля — х • 1,38 = 1,38 х кг (138% массы капусты). Составим уравнение:

х + 0,32 х + 1,38 х = 405
х • (1 + 0,32 + 1,38) = 405
2,7 х = 405
х = 405 : 2,7
х = 150 (кг) — капусты привезли в столовую.

Мерзляк 6 класс - § 12. Нахождение дроби от числа

Ответ: Капусты привезли 150 кг.

417. Федоров, Иванов и Петров выиграли вместе в лотерею 1 800 р. Выигрыш Иванова составлял 64% выигрыша Фёдорова, а выигрыш Петрова — 76 % выигрыша Фёдорова. Сколько рублей составлял выигрыш каждого из них?

Мерзляк 6 класс - § 12. Нахождение дроби от числа

  • 64% = 0,64
  • 76% = 0,76

Пусть выигрыш Федорова составил х рублей. Тогда выигрыш Иванова составил х • 0,64 = 0,64 х рублей (64% выигрыша Федорова), а выигрыш Петрова составил х • 0,76 = 0,76 х рублей (78% выигрыша Федорова). Составим уравнение:

х + 0,64 х + 0,76 х = 1 800
х • (1 + 0,64 + 0,76) = 1 800
х • 2,4 = 1 800
х = 1 800 : 2,4
х = 750 (рублей) — выигрыш Федорова.

750 • 0,64 = 480 (рублей) — выигрыш Иванова.

750 • 0,76 = 570 (рублей) — выигрыш Петрова.

Мерзляк 6 класс - § 12. Нахождение дроби от числа

Ответ: Федоров выиграл 750 рублей, Иванов — 480 рублей, а Петров — 570 рублей.

418. С поля площадью 14\frac{2}{7} га собрали урожай сахарной свёклы по 280 ц каждого гектара. На сахарный завод отвезли \frac{9}{16} урожая. Сколько центнеров сахара произвёл завод из этой свёклы, если выход сахара составляет \frac{1}{6} массы переработанной свёклы?

1) 280\cdot 14\frac{2}{7}=280\cdot \frac{100}{7}=\frac{280\cdot 100}{7}=40\cdot 100=4000 (ц) — урожай сахарной свеклы.

2) 4000\cdot \frac{9}{16}=\frac{4000\cdot 9}{16}=250\cdot 9=2250 (ц) — отвезли на сахарный завод.

3) 2250\cdot \frac{1}{6}=\frac{2250\cdot 1}{6}=375 (ц) — сахара произвёл сахарный завод из этой свеклы.

Ответ: 375 ц сахара.

419. С поля площадью 11\frac{1}{4}  га собрали урожай семян подсолнечника по 21\frac{1}{3} ц с каждого гектара. На масло переработали \frac{33}{40} собранной массы семян. Сколько центнеров масла получили, если его выход составляет \frac{1}{3} массы переработанных семян?

1) 21\frac{1}{3}\cdot 11\frac{1}{4}=\frac{64}{3}\cdot \frac{45}{4}=\frac{64\cdot 45}{3\cdot 4}=16\cdot 15=240 (ц) — урожай семян подсолнечника.

2) 240\cdot \frac{33}{40}=\frac{240\cdot 33}{40}=6\cdot 33=198 (ц) — отправили на переработку.

3) 198\cdot \frac{1}{3}=\frac{198\cdot 1}{3}=66 (ц) -масла получили.

Ответ: 66 ц масла.

420. Казак Данила сварил кулеш. Сам съел \frac{1}{4} казана, казаку Чубу дал \frac{1}{3} остатка, казаку Белоусу — \frac{1}{2} нового остатка, а казаку Ворону — остальное. После обеда казаки никак не могли выяснить, кому из них досталось больше кулеша. Помогите им разобраться.

Пусть всего кулеша было 1 (1 целый казан). Тогда:

1) 1\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{4} (часть) — казана съел казак Данила.

2) (1-\frac{1}{4})\cdot \frac{1}{3}=(\frac{4}{4}-\frac{1}{4})\cdot \frac{1}{3}=\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{3}=\frac{3\cdot 1}{4\cdot 3}=\frac{1}{4} (часть) — казана съел казак Чуб.

3) \frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1+1}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2} (часть) — казана съели Данила и Чуб вместе.

4) (1-\frac{1}{2})\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1\cdot 1}{2\cdot 2}=\frac{1}{4} (часть) — казана съел казак Белоус.

5) \frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{2}{4}+\frac{1}{4}=\frac{2+1}{4}=\frac{3}{4} (часть) — казана съели Данила, Чуб и Белоус.

6) 1-\frac{3}{4}=\frac{4}{4}-\frac{3}{4}=\frac{4-3}{4}=\frac{1}{4} (часть) — казана съел казак Ворон.

Получилось, что каждый из казаков съел по \frac{1}{4} части казана, то есть поровну.

Ответ: Казаки съели кулеша поровну.

421. Числа а и b не равны 0. Какое из них больше, если:

1) \frac{3}{4} числа a равны \frac{2}{3} числа b

Приведём дроби к общему знаменателю:

\frac{3}{4}=\frac{9}{12}, \frac{2}{3}=\frac{8}{12}

Так как \frac{9}{12}> \frac{8}{12}. значит и \frac{3}{4}> \frac{2}{3}.

Значит для того, чтобы получить равенство, число a умножили на бОльшее число, чем число b. Вывод: a< b.

Ответ: a< b.

2) \frac{2}{5} числа a равны \frac{5}{7} числа b

Приведём дроби к общему знаменателю:

\frac{2}{5}=\frac{14}{35}, \frac{5}{7}=\frac{25}{35}

Так как \frac{14}{35}< \frac{25}{35}. значит и \frac{2}{5}< \frac{5}{7}.

Значит для того, чтобы получить равенство, число a умножили на мЕньшее число, чем число b. Вывод: a> b.

Ответ: a> b.

422. От шнура длиной 10 м сначала отрезали \frac{1}{5} его длины, затем — \frac{1}{25} начальной длины, а потом — \frac{1}{19} того, что осталось. Сколько метров шнура осталось после этих трёх операций?

1) 10\cdot \frac{1}{5}=\frac{10}{5}=2 (м) — шнура отрезали сначала.

2) 10\cdot \frac{1}{25}=\frac{10}{25}=\frac{2}{5} (м) — шнура отрезали во время второй операции.

3) 10-2-\frac{2}{5}=8-\frac{2}{5}=7\frac{5}{5}-\frac{2}{5}=7+\frac{5-2}{5}=7+\frac{3}{5}=7\frac{3}{5} (м) — осталось от шнура после двух операций.

4) 7\frac{3}{5}\cdot \frac{1}{19}=\frac{38}{5}\cdot \frac{1}{19}=\frac{38\cdot 1}{5\cdot 19}=\frac{2}{5} (м) — шнура отрезали во время третьей операции.

5) 4\frac{3}{5 }-\frac{2}{5}=7+\frac{3-2}{5}=7\frac{1}{5} (м) — шнура осталось после трёх операций.

Ответ: 7\frac{1}{5} м шнура.

423. Докажите, что а % от числа b равны b % от числа а.

а % от числа b можно записать как  b\cdot \frac{a}{100}=\frac{ab}{100}

b % от числа а можно записать как a\cdot \frac{b}{100}=\frac{ab}{100}

\frac{ab}{100}=\frac{ab}{100}, значит а % от числа b равны b % от числа а.

Что и требовалось доказать.

424. Известно, что \frac{1}{2} одного числа равна \frac{1}{3} другого. Какое из этих чисел больше (данные числа отличны от 0)?

Мы знаем, что \frac{1}{2}> \frac{1}{3}. 

Значит, для получения равенства надо первое число умножить на бОльшее значение, чем второе число. Можно сделать вывод, что первое число меньше, чем второе число.

Ответ: Больше второе число.

425. Контрольную работу по математике писали менее 50 шестиклассников. Оценку «5» получили \frac{1}{7} учащихся, писавших работу, оценку «4» — \frac{1}{3} учащихся, оценку «3» — \frac{1}{2} учащихся. Остальные, к сожалению, получили оценку «2». Сколько учащихся получили оценку «2»?

Найдём наименьшее общее кратное для знаменателей дробей: 

1) НОК (2, 3, 7) = 42

42 < 50 — значит контрольную работу могли писать 42 ученика.

2) 1-(\frac{1}{7}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2})=1-(\frac{6}{42}+\frac{14}{42}+\frac{21}{42})=1-\frac{6+14+21}{42}=1-\frac{41}{42}=\frac{1}{42} (часть) — учеников получили оценку «2».

3) 42\cdot \frac{1}{42}=\frac{42\cdot 1}{42}=1 (ученик) — получил оценку «2».

Ответ: 1 учащийся.

426. Вода при замораживании увеличивает свой объём на \frac{1}{11}. На какую часть уменьшится объём льда при превращении его в воду?

Пусть первоначальный объём воды равен x, тогда при замораживании её объем увеличится на \frac{1}{11}x.Если принять, что полученный объем льда стал равен 1, то можно записать уравнение:

x+\frac{1}{11}x=1

(\frac{11}{11}+\frac{1}{11})x=1

\frac{12}{11}x=1 

Методом подбора получаем, что первоначальный объём воды x=\frac{11}{12} частей от объёма льда, так как \frac{12}{11}\cdot \frac{11}{12}=\frac{12\cdot 11}{11\cdot 12}=1

То есть если объём льда равен 1, а первоначальный объём воды в нём составляет \frac{11}{12} частей, то значит при превращении в воду лёд потеряет:

1-\frac{11}{12}=\frac{12}{12}-\frac{11}{12}=\frac{12-11}{12}=\frac{1}{12} часть.

Ответ: Объём льда уменьшится на \frac{1}{12} часть.

427. На футбольный матч «Зенит» — ЦСКА из Москвы приехали 13 автобусов с болельщиками. На стадионе их разделили на две равные группы. Сколько болельщиков приехало, если \frac{11}{17} всех московских болельщиков не превышает 300, а в каждом автобусе ехало одинаковое количество пассажиров?

Количество болельщиков должно быть целым числом, которое может делится нацело на:

  • 13, так как болельщики расселись поровну в 13 автобусах;
  • 2, так как их разделили поровну на 2 группы;
  • 17, так как \frac{11}{17} болельщиков — это целое число, не большее 300.

НОК (2, 13, 17) = 442.

Значит минимальное возможное число болельщиков может быть 442.

Проверим: 

442\cdot \frac{11}{17}=\frac{442\cdot 11}{17}=26\cdot 11=286 (человек) — составляет \frac{11}{17} часть всех болельщиков.

  • 286 < 300 — удовлетворяет условию;
  • 286 — делится на 2 нацело, так как чётное число — удовлетворяет условию;
  • 286 делится на 13 нацело, так как 286 : 13 = 22 — удовлетворяет условию.

Все условия задачи выполнены.

Ответ: Приехало 442 болельщика.

428. В саду растут груши и яблони, всего 100 деревьев. Сколько яблонь растёт и саду, если 20 % их количества равно 60 % количества груш?

Пусть в саду росло всего х шт. груш (100%).

1) х • 0,6 = 0,6 х (шт.) — количество 60 % груш

100 % = 20 % • 5.

Если 20% яблонь равно 60% груш и равно 0,6 х шт., то 100 % яблонь будет равно:

2) 0,6 х • 5 = (0,6 • 5) = х = 3х (шт) — количество всех яблонь в саду (100 %).

Всего деревьев в саду — 100 штук (100 % груш и 100 % яблонь). Можно составить уравнение:

3х + х = 100
4х = 100
х = 100 : 4
х = 25 (шт) — количество всех груш в саду.

3) 25 • 3 = 75 (шт) — количество всех яблонь в саду.

Проверка:

1) 75 • 0,2 = 15 (шт.) — деревьев составляют 20% яблонь.

2) 25 • 0,6 = 15 (шт.) — деревьев составляют 60 % груш.

3) 15 = 15 — верно.

Ответ: В саду растет 75 яблонь.

429. Количество отсутствующих и классе учащихся составляло \frac{1}{6} количества присутствующих. После того как один ученик вышел из класса, количество отсутствующих составило \frac{1}{5} количества присутствующих. Сколько всего учащихся и этом классе?

1) \frac{1}{6} — это шестая часть от количества присутствующих учеников. Значит общая численность класса: 6 частей присутствующих учеников + 1 часть — отсутствующих, то есть общую численность класса можно нацело разделить на 7 частей (6 + 1).

2) После того, как 1 ученик вышел из класса стало: \frac{1}{5} — 1 пятая часть — отсутствующие и 5 точно таких же частей — присутствующие. Значит общую численность класса можно нацело разделить на 6 частей (5 + 1).

3) НОК (6, 7) = 42. Это наименьшее число, которое можно разделить нацело как на 6 частей, так и на 7 равных частей.

Значит в классе могло бы быть 42 ученика.

Ответ: Всего в классе 42 ученика.

Упражнения для повторения

430. Сравните:

1) \frac{26}{63}> \frac{17}{56}

НОК (56, 63) = 504

\frac{26}{63}=\frac{26\cdot 8}{63\cdot 8}=\frac{208}{504}

\frac{17}{56}=\frac{17\cdot 9}{56\cdot 9}=\frac{153}{504}

\frac{207}{504}> \frac{153}{504}. Значит и \frac{26}{63}> \frac{17}{56}

2) \frac{31}{42}< \frac{19}{24}

НОК (42, 24) = 168

\frac{31}{42}=\frac{31\cdot 4}{42\cdot 4}=\frac{124}{168}

\frac{19}{24}=\frac{19\cdot 7}{24\cdot 7}=\frac{133}{168}

\frac{124}{168}< \frac{133}{128}. Значит и \frac{31}{42}< \frac{19}{24}

3) \frac{2003}{2004}< \frac{2004}{2005}

НОК (2 004, 2 005) = 4 018 020

\frac{2003}{2004}=\frac{2003\cdot 2005}{2004\cdot 2005}=\frac{4016015}{4018020}

\frac{2004}{2005}=\frac{2004\cdot 2004}{2005\cdot 2004}=\frac{4016016}{4018020}

\frac{4016015}{4018020}< \frac{4016016}{4018020}. Значит и \frac{2003}{2004}< \frac{2004}{2005}

431. Найдите значение выражения:

Мерзляк 6 класс - § 12. Нахождение дроби от числа

432. Что больше и на сколько: разность чисел 1\frac{1}{9} и \frac{3}{8} или их произведение?

1) 1\frac{1}{9}-\frac{3}{8}=\frac{10}{9}-\frac{3}{8}=\frac{80}{72}-\frac{27}{72}=\frac{53}{72} — разность чисел.

2) 1\frac{1}{9}\cdot \frac{3}{8}=\frac{10}{9}\cdot \frac{3}{8}=\frac{10\cdot 3}{9\cdot 8}=\frac{30}{72} — произведение чисел.

3) \frac{53}{72}> \frac{30}{72} — значит разность чисел больше, чем их произведение.

4) \frac{53}{72}-\frac{30}{72}=\frac{53-30}{72}=\frac{23}{72} — на столько разность чисел больше их произведения.

Ответ: Разность чисел на \frac{23}{72} больше их произведения. 

Задача от мудрой совы

433. Черепаха ползёт по плоскости с постоянной скоростью, изменяя направление движения на 90° через каждые 15 мин. Докажите, что вернуться в точку- «старта» она сможет только через целое количество часов после начала движения.

  • Для того, чтобы вернуться в точку старта, черепахе надо будет сделать «полный круг», то есть развернуться на 360º.
  • При изменении движения она поворачивается на 90º. Значит для «полного круга» ей надо будет повернуться 360º : 90º = 4 раза (или кратное 4 количество раз).
  • 15 • 4 = 60 минут = 1 час — потребуется черепахе для совершения полного круга.
  • Значит для возвращения в точку старта черепахе потребуется время в 1 час или кратное ему, то есть целое количество часов.

Что и требовалось доказать.