Мерзляк 6 класс — § 13. Взаимно обратные числа

Опубликовано 10.03.202221.08.2023 автором mmetalnik

Ответы к учебнику для 6 класса. А. Г. Мерзляк

Переход на главную страницу сайта

Вопросы к параграфу

1. Какие два числа называют взаимно обратными?

Взаимно обратные — это числа, произведение которых равно 1.

2. Существует ли число, обратное самому себе?

Да, это число 1, так как 1 • 1 = 1.

3. Для любого ли числа существует обратное ему число?

Нет, не существует обратного числа для числа 0, так как при умножении любого числа на 0 всегда получается 0.

4. Какое число является обратным числу $\frac{a}{b}$ ?

Для числа $\frac{a}{b}$ обратным является число $\frac{b}{a}$ , так как $\frac{a}{b}\cdot \frac{b}{a}=1$ .

5. Какое число является обратным натуральному числу n.

Для натурального числа n обратным числом является $\frac{1}{n}$ , так как $n\cdot \frac{1}{n}=\frac{n}{n}=1$ .

6. Как найти число, обратное смешанному числу?

Чтобы найти число, обратное смешанному числу, надо привести смешанное число в виде неправильной дроби, а затем поменять местами числитель и знаменатель. Например:

Найдём число, обратное числу $3\frac{2}{7}$ . Для этого:

1. Представим его в виде неправильной дроби: $3\frac{2}{7}=\frac{23}{7}$ .

2. Поменяем местами числитель и знаменатель этой неправильной дроби: $\frac{7}{23}$ .

Ответ: для смешанного числа $3\frac{2}{7}$ обратным является число $\frac{7}{23}$ , так как $3\frac{2}{7}\cdot \frac{7}{23 }=\frac{23}{7}\cdot \frac{7}{23}=1$ .

Решаем устно

1. Найдите произведение:

1) $0,25\cdot 4=\frac{25}{100}\cdot 4=\frac{25}{25}=1$

2) $\frac{3}{7}\cdot \frac{7}{3}=1$

3) $2\frac{4}{9}\cdot \frac{9}{22}=\frac{22}{9}\cdot \frac{9}{22}=1$

2. Какое из чисел $0,7; 1\frac{1}{7}; 7; \frac{1}{7}$ является корнем уравнения 7х= 1?

7х = 1

х = 1 : 7

х = $\frac{1}{7}$

Ответ: корнем уравнения 7х = 1 является число $\frac{1}{7}$ .

3. Назовите все дроби, которые больше, чем $\frac{1}{10}$ и числитель которых равен 1.

Такому условию удовлетворяют дроби: $\frac{1}{9}; \frac{1}{8}; \frac{1}{7}; \frac{1}{6}; \frac{1}{5}; \frac{1}{4}; \frac{1}{3}; \frac{1}{2}; \frac{1}{1}.$

Упражнения

434. Являются ли взаимно обратными числа:

1) да, так как $3\frac{1}{6}\cdot \frac{6}{19}=\frac{19}{6}\cdot \frac{6}{19}=1$

2) да, так как $0,4\cdot 2\frac{1}{2}=\frac{4}{10}\cdot \frac{5}{2}=\frac{4}{10}\cdot \frac{10}{4}=1$

3) нет, так как $0,4\cdot 0,25=\frac{4}{10}\cdot \frac{25}{100}=\frac{40}{100}\cdot \frac{25}{100}\neq 1$

4) да, так как $1,2\cdot \frac{5}{6}=\frac{12}{10}\cdot \frac{5}{6}=\frac{6}{5}\cdot \frac{5}{6}=1$

5) нет, так как $1,4\cdot \frac{6}{7}=\frac{14}{10}\cdot \frac{6}{7}=\frac{7}{5}\cdot \frac{6}{7}\neq 1$

6) да, так как $1\frac{3}{7}\cdot 0,7=\frac{10}{7}\cdot \frac{7}{10}=1$

435. Укажите число, обратное числу:

1) Для числа $\frac{3}{5}$ обратным будет число $\frac{5}{3}=1\frac{2}{3}$ , так как $\frac{3}{5}\cdot \frac{5}{3}=1$ .

2) Для числа $12$ обратным будет число $\frac{1}{12}$ , так как $12\cdot \frac{1}{12}=1$ .

3) Для числа $3\frac{2}{9}$ обратным будет число $\frac{9}{29}$ , так как $3\frac{2}{9}=\frac{29}{9}$ , а $\frac{29}{9}\cdot \frac{9}{29}=1$ .

4) Для числа $0,16$ обратным будет число $\frac{25}{4}=6\frac{1}{4}$ , так как $0,16=\frac{16}{100}=\frac{4}{25}$ , а $\frac{4}{25}\cdot\frac{25}{4}=1$ .

5) Для числа $\frac{1}{17}$ обратным будет число $17$ , так как $\frac{1}{17}\cdot 17=1$ .

6) Для числа $2,3$ обратным будет число $\frac{10}{23}$ , так как $2,3=\frac{23}{10}$ , а $\frac{23}{10}\cdot\frac{10}{23}=1$ .

436. Укажите число, обратное числу:

1) Для числа $\frac{7}{11}$ обратным будет число $\frac{11}{7}=1\frac{4}{7}$ , так как $\frac{7}{11}\cdot \frac{11}{7}=1$ .

2) Для числа $6$ обратным будет число $\frac{1}{6}$ , так как $6\cdot \frac{1}{6}=1$ .

3) Для числа $2\frac{2}{5}$ обратным будет число $\frac{5}{12}$ , так как $2\frac{2}{5}=\frac{12}{5}$ , а $\frac{12}{5}\cdot \frac{5}{12}=1$ .

4) Для числа $0,23$ обратным будет число $\frac{100}{23}=4\frac{8}{23}$ , так как $0,23=\frac{23}{100}$ , а $\frac{23}{100}\cdot\frac{100}{23}=1$ .

5) Для числа $\frac{1}{9}$ обратным будет число $9$ , так как $\frac{1}{9}\cdot 9=1$ .

6) Для числа $3,6$ обратным будет число $\frac{10}{36}=\frac{5}{18}$ , так как $3,6=\frac{36}{10}$ , а $\frac{36}{10}\cdot\frac{10}{36}=1$ .

437. Верно ли, что:

1) для любой правильной дроби обратное число будет неправильной дробью

Да, верно: У правильной дроби числитель всегда меньше знаменателя. Значит у обратной ей дроби числитель будет всегда больше знаменателя, то есть дробь будет неправильной.

2) для любой неправильной дроби обратное число будет правильной дробью

Нет, неверно: У неправильной дроби числитель всегда больше либо равен знаменателю. Значит у обратной ей дроби числитель будет меньше либо равен знаменателю, а если числитель равен знаменателю, то дробь считается неправильной.

438. Вычислите наиболее удобным способом:

1) $\frac{12}{19}\cdot (1\frac{7}{12}\cdot 4\frac{13}{21})=(\frac{12}{19}\cdot 1\frac{7}{12})\cdot 4\frac{13}{21}=(\frac{12}{19}\cdot \frac{19}{12})\cdot 4\frac{13}{21}=1\cdot 4\frac{13}{21}=4\frac{13}{21}$

2) $(3\frac{2}{7}\cdot 25,8)\cdot \frac{7}{23}=(3\frac{2}{7}\cdot \frac{7}{23})\cdot 25,8=(\frac{23}{7}\cdot \frac{7}{23})\cdot 25,8=1\cdot 25,8=25,8$

439. Вычислите наиболее удобным способом:

1) $(6\frac{8}{11}\cdot \frac{4}{5})\cdot 1\frac{1}{4}=6\frac{8}{11}\cdot (\frac{4}{5}\cdot 1\frac{1}{4})=6\frac{8}{11}\cdot (\frac{4}{5}\cdot \frac{5}{4})=6\frac{8}{11}\cdot1=6\frac{8}{11}$

2) $2\frac{5}{6}\cdot (17,8\cdot \frac{6}{17})=(2\frac{5}{6}\cdot \frac{6}{17})\cdot 17,8=(\frac{17}{6}\cdot \frac{6}{17})\cdot 17,8=1\cdot 17,8=17,8$

440. Найдите число, обратное:

1) сумме чисел $\frac{7}{18}$ и $\frac{7}{12}$

$\frac{7}{18}+\frac{7}{12}=\frac{14}{36}+\frac{21}{36}=\frac{14+21}{36}=\frac{35}{36}$

Обратное ему чисто — $\frac{36}{35}=1\frac{1}{35}$ , так как $\frac{35}{36}\cdot \frac{36}{35}=1$

Ответ: $1\frac{1}{35}$ .

2) разности чисел $\frac{13}{60}$ и $\frac{7}{40}$

$\frac{13}{60}-\frac{7}{40}=\frac{26}{120}-\frac{21}{120}=\frac{26-21}{120}=\frac{5}{120}=\frac{1}{24}$

Обратное ему чисто — $24$ , так как $\frac{1}{24}\cdot 24=1$

Ответ: $24$ .

3) произведению чисел $\frac{22}{35}$ и $\frac{11}{44}$

$\frac{22}{35}\cdot \frac{11}{44}=\frac{22\cdot 11}{35\cdot 44}=\frac{1\cdot 11}{35\cdot 2}=\frac{11}{70}$

Обратное ему чисто — $\frac{70}{11}=6\frac{4}{11}$ , так как $\frac{11}{70}\cdot \frac{70}{11}=1$

Ответ: $6\frac{4}{11}$ .

441. Найдите число, обратное:

1) сумме чисел $2\frac{13}{14}$ и $1\frac{20}{21}$

$2\frac{13}{14}+1\frac{20}{21}=(2+1)+(\frac{13}{14}+\frac{20}{21})=3+\frac{39+40}{42}=3+\frac{79}{42}=4\frac{37}{42}=\frac{205}{42}$

Обратное ему чисто — $\frac{42}{205}$ , так как $\frac{205}{42}\cdot \frac{42}{205}=1$

Ответ: $\frac{42}{205}$ .

2) разности чисел $8\frac{3}{4}$ и $7\frac{5}{6}$

$8\frac{3}{4}-7\frac{5}{6}=\frac{35}{4}-\frac{47}{6}=\frac{105-94}{12}=\frac{11}{12}$ , обратное ему чисто — $\frac{12}{11}=1\frac{1}{11}$ , так как $\frac{11}{12}\cdot \frac{12}{11}=1$

Ответ: $1\frac{1}{11}$ .

3) произведению чисел $1\frac{1}{15}$ и $\frac{5}{16}$

$1\frac{1}{15}\cdot \frac{5}{16}=\frac{16\cdot 5}{15\cdot 16}=\frac{1\cdot 1}{3\cdot 1}=\frac{1}{3}$ , обратное ему чисто — $3$ , так как $\frac{1}{3}\cdot 3=1$

Ответ: $3$ .

442. Найди:

1) Первое число составляет $\frac{1}{2}$ второго. Во сколько раз второе число больше первого?

$\frac{1}{2}$ — это половина от целого. Значит второе число, равное целому, будет равно двум половинам, то есть второе число в 2 раза больше первого числа.

Ответ: в 2 раза.

2) Первое число составляет $\frac{3}{2}$ второго. Какую часть первого числа составляет второе?

Второе число от первого будет составлять часть, обратную тому, которое первое число составляет от второго.

Для $\frac{3}{2}$ обратным числом является $\frac{2}{3}$ . Значит второе число составляет $\frac{2}{3}$ часть от первого числа.

Ответ: $\frac{2}{3}$ часть.

Упражнения для повторения

443. Найдите среди чисел $1,4; 1\frac{2}{5}; \frac{20}{28}; 1,04; 1\frac{6}{15}; \frac{7}{5}; \frac{35}{30}; 1\frac{2}{7}$ равные.

Чтобы сравнить дробные числа, надо привести их равному знаменателю и найти дроби с одинаковыми числителями:

$1,4=\frac{14}{10}$

$1\frac{2}{5}=\frac{7}{5}=\frac{14}{10}$

$\frac{28}{20}=\frac{7}{5}=\frac{14}{10}$

$1,04=\frac{104}{100}=\frac{26}{25}$

$1\frac{6}{15}=\frac{21}{15}=\frac{7}{5}=\frac{14}{10}$

$\frac{7}{5}=\frac{14}{10}$

$\frac{35}{30}=\frac{7}{6}$

$1\frac{2}{7}=\frac{9}{7}$

Значит, среди данных числе равными будут: $1,4=1\frac{2}{5}=\frac{28}{20}=1\frac{6}{15}=\frac{7}{5}$ , так как они все равны дроби $\frac{14}{10}$ .

444. Расстояние между городами А и В равно 63 км. Из города А в город В выехал велосипедист со скоростью 12 км/ч. Через 3 ч после отъезда велосипедиста из города А в город В выехал мотоциклист, который догнал велосипедиста на расстоянии 42 км от города А. Па каком расстоянии от города В будет велосипедист, когда туда приедет мотоциклист?

Мерзляк 6 класс - § 13. Взаимно обратные числа

1) 42 : 12 = 3,5 (часа) — двигался велосипедист до встречи с мотоциклистом.

2) 3,5 — 3 = 0,5 (часа) — двигался мотоциклист до встречи с велосипедистом.

3) 42 : 0,5 = 84 (км/ч) — скорость мотоциклиста.

4) 63 : 84 = 0,75 (ч) — всего провёл в дороги мотоциклист.

5) 0,75 — 0,5 = 0,25 (ч) — продолжалось движение мотоциклиста и велосипедиста после встречи.

6) 12 • 0,25 = 3 (км) — проехал велосипедист после встречи.

7) 42 + 3 = 45 (км) — проехал велосипедист всего.

8) 63 — 45 = 18 (км) — останется велосипедисту до города В, когда мотоциклист приедет в город В.

Ответ: 18 км.

Задача от мудрой совы

445. Вася и Саша играют и такую игру: они но очереди (Вася первым) ломают шоколадку, имеющую 6 х 8 квадратных долек. За один ход разрешается сделать прямолинейный разлом любого куска вдоль углубления между дольками шоколадки. Проигрывает тот, кто в очередной раз не сможет этого сделать. Кто из них выиграет?

Общее число долек у шоколадки: 6 • 8 = 48 — чётное количество.

1 ход: играет Вася — после разлома образуется 2 куска (четное число);
2 ход: играет Саша — после разлома образуется 3 куска (нечётное число);
3 ход и далее ходы Васи: образуется чётное число кусков шоколадки;
4 ход и далее все ходы Саши: образуется нечётное число кусков шоколадки.

Так как после последнего хода должно получиться 48 кусочков (чётное количество), то последний ход сможет сделать только игрок, вступающий в игру первым, а это Вася.

Ответ: в игре выиграет Вася.