Мерзляк 6 класс — § 7. Основное свойство дроби

Опубликовано автором

Вопросы к параграфу

1. Сформулируйте основное свойство дроби.

Если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же число, то получиться равная ей дробь:

\frac{a}{b}=\frac{a\cdot c}{b\cdot c}

\frac{a}{b}=\frac{a:k}{b:k}

Решаем устно

1. Прочитайте дроби \frac{5}{7}, \frac{1}{9}, \frac{7}{12}, \frac{12}{12}, \frac{3}{8}, \frac{5}{3} и назовите в каждой из них числитель и знаменатель.

\frac{5}{7} — пять седьмых: числитель 5, знаменатель 7;

\frac{1}{9} — одна девятая: числитель 1, знаменатель 9;

\frac{7}{12} — семь двенадцатых: числитель 7, знаменатель 12;

\frac{12}{12} — двенадцать двенадцатых: числитель 12, знаменатель 12;

\frac{3}{8} — три восьмых: числитель 3, знаменатель 8;

\frac{5}{3} — пять третьих: числитель 5, знаменатель 3.

2. В школьном саду растёт 14 яблонь и 13 вишен. Какую часть всех деревьев составляют: 1) яблони; 2) вишни?

14 + 13 = 27 (шт) — деревьев растёт в саду всего.

Значит:

  • яблони составляют \frac{14}{27}  всех деревьев;
  • вишни составляют \frac{13}{27} всех деревьев.

Ответ: 1) яблони —  \frac{14}{27}; 2) вишни — \frac{13}{27} всех деревьев.

3. Когда сгорела половина свечки и ещё 5 см, то высота свечки стала 5 см. Какой была высота свечки первоначально?

  1. Когда сгорела половина свечки осталась другая половина свечки.
  2. Потом сгорело ещё 5 см и 5 см осталось. Значит оставшаяся половина свечки была 5 + 5 = 10 см.
  3. Две половины свечки равны между собой. Значит высота свечки 10 • 2 = 20 см.

Ответ: 20 см.

Упражнения

187. Начертите координатный луч, взяв за единичный отрезок, длина которого в 20 раз больше стороны клетки тетради. Отметьте на луче точки, соответствующие числам:

\frac{1}{20}, \frac{3}{20}, \frac{4}{20}, \frac{5}{20}, \frac{6}{20}, \frac{8}{20}, \frac{10}{20}, \frac{12}{20}, \frac{13}{20}, \frac{15}{20}, \frac{18}{20}, \frac{19}{20}, \frac{2}{10}, \frac{3}{10}, \frac{4}{10}, \frac{5}{10}, \frac{6}{10}, \frac{9}{10}, \frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{3}{5}, \frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}, \frac{1}{2.}

Мерзляк 6 класс - § 7. Основное свойство дроби

Какие из этих чисел изображаются на луче одной и той же точкой? Запишите соответствующие равенства.

\frac{1}{5}=\frac{2}{10}=\frac{4}{20}

\frac{1}{4}=\frac{5}{20}

\frac{3}{10}=\frac{6}{20}

\frac{2}{5}=\frac{4}{10}=\frac{8}{20}

\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{5}{10}=\frac{10}{20}

\frac{3}{5}=\frac{6}{10}=\frac{12}{20}

\frac{3}{4}=\frac{15}{20}

\frac{9}{10}=\frac{18}{20}

188. Начертите координатный луч, взяв за единичный отрезок, длина которого в 18 раз больше стороны клетки тетради. Отметьте на луче точки, соответствующие числам:

\frac{1}{18}, \frac{2}{18}, \frac{3}{18}, \frac{4}{18}, \frac{6}{18}, \frac{7}{18}, \frac{9}{18}, \frac{10}{18}, \frac{12}{18}, \frac{15}{18}, \frac{16}{18}, \frac{18}{18}, \frac{1}{9}, \frac{2}{9}, \frac{3}{9}, \frac{5}{9}, \frac{8}{9}, \frac{1}{6}, \frac{2}{6}, \frac{3}{6}, \frac{4}{6}, \frac{5}{6}, \frac{6}{6}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{2}, 1.

Мерзляк 6 класс - § 7. Основное свойство дроби

Какие из этих чисел изображаются на луче одной и той же точкой? Запишите соответствующие равенства. 

\frac{1}{9}=\frac{2}{18}

\frac{1}{6}=\frac{3}{18}

\frac{2}{9}=\frac{4}{18}

\frac{1}{3}=\frac{2}{6}=\frac{3}{9}=\frac{6}{18}

\frac{1}{2}=\frac{3}{6}=\frac{9}{18}

\frac{5}{9}=\frac{10}{18}

\frac{2}{3}=\frac{4}{6}=\frac{12}{18}

\frac{5}{6}=\frac{15}{18}

\frac{8}{9}=\frac{16}{18}

\frac{6}{6}=\frac{18}{18}=1

189. Умножьте на 4 числитель и знаменатель каждой из дробей \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{5}{6}, \frac{4}{7}, \frac{10}{19}. Запишите соответствующие равенства.

1) \frac{1}{2}=\frac{1\cdot 4}{2\cdot 4}=\frac{4}{8}

2) \frac{1}{3}=\frac{1\cdot 4}{3\cdot 4}=\frac{4}{12}

3) \frac{5}{6}=\frac{5\cdot 4}{6\cdot 4}=\frac{20}{24}

4) \frac{4}{7}=\frac{4\cdot 4}{7\cdot 4}=\frac{16}{28}

5) \frac{10}{19}=\frac{10\cdot 4}{19\cdot 4}=\frac{40}{76}

190. Разделите на 3 числитель и знаменатель каждой из дробей \frac{3}{9}, \frac{12}{33}, \frac{30}{45}, \frac{15}{36}, \frac{99}{240}. Запишите соответствующие равенства.

1) \frac{3}{9}=\frac{3:3}{9:3}=\frac{1}{3}

2) \frac{12}{33}=\frac{12:3}{33:3}=\frac{4}{11}

3) \frac{30}{45}=\frac{30:3}{45:3}=\frac{10}{15}

4) \frac{15}{36}=\frac{15:3}{36:3}=\frac{5}{12}

5) \frac{99}{240}=\frac{99:3}{240:3}=\frac{33}{80}

191. Укажите пропущенное значение числителя или знаменателя, при котором данная запись будет верной:

1) \frac{1}{3}=\frac{2}{6}=\frac{6}{18}=\frac{7}{21}

2) \frac{2}{5}=\frac{6}{15}=\frac{10}{25}=\frac{28}{70}

3) \frac{6}{11}=\frac{12}{22}=\frac{30}{55}=\frac{36}{66}

4) \frac{13}{7}=\frac{26}{14}=\frac{130}{70}=\frac{104}{56}

5) \frac{80}{120}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}=\frac{10}{15}

6) \frac{30}{48}=\frac{5}{8}=\frac{10}{16}=\frac{15}{24}

192. Объясните, почему верно равенство:

1) \frac{1}{6}=\frac{1\cdot 7}{6\cdot 7}=\frac{7}{42} — равенство верно, так как и числитель, и знаменатель умножили на число 7.

2) \frac{100}{240}=\frac{100 : 20}{240 : 20}=\frac{5}{12} — равенство верно, так как и числитель, и знаменатель разделили на число 20.

3) \frac{3}{4}=\frac{3\cdot 11}{4\cdot 11}=\frac{33}{44} — равенство верно, так как и числитель, и знаменатель умножили на число 11.

4) \frac{6}{54}=\frac{6 : 6}{54 : 6}=\frac{1}{9} — равенство верно, так как и числитель, и знаменатель разделили на число 6.

193. Запишите три дроби, равные:

1) \frac{1}{7}=\frac{3}{21}=\frac{7}{49}=\frac{10}{70}

2) \frac{2}{5}=\frac{4}{10}=\frac{12}{30}=\frac{16}{40}

3) \frac{7}{11}=\frac{28}{44}=\frac{35}{55}=\frac{63}{99}

4) \frac{3}{12}=\frac{6}{24}=\frac{9}{36}=\frac{12}{48}

194. Какие изданных равенств неверны:

1) \frac{3}{8}=\frac{9}{24} — верно, так как \frac{3}{8}=\frac{3\cdot 3}{8\cdot 3}=\frac{9}{24}

2) \frac{4}{5}=\frac{16}{25} — неверно, так как \frac{4}{5}=\frac{4\cdot 4}{5\cdot 4}=\frac{16}{20}\neq \frac{16}{25}

3) \frac{72}{90}=\frac{8}{9} — неверно, так как \frac{72}{90}=\frac{72 : 9}{90 : 9}=\frac{8}{10}\neq \frac{8}{9}

4) \frac{42}{49}=\frac{6}{7} — верно, так как \frac{42}{49}=\frac{42 : 7}{49 : 7}=\frac{6}{7}

195. Каждую из данных дробей замените равной ей дробью, знаменатель которой равен 42:

1) \frac{1}{6}=\frac{1\cdot 7}{6\cdot 7}=\frac{7}{42}

2) \frac{3}{7}=\frac{3\cdot 6}{7\cdot 6}=\frac{18}{42}

3) \frac{5}{14}=\frac{5\cdot 3}{14\cdot 3}=\frac{15}{42}

4) \frac{2}{3}=\frac{2\cdot 14}{3\cdot 14}=\frac{28}{42}

5) \frac{16}{21}=\frac{16\cdot 2}{21\cdot 2}=\frac{32}{42}

6) \frac{1}{2}=\frac{1\cdot 21}{2\cdot 21}=\frac{21}{42}

196. Каждую из данных дробей замените равной ей дробью, знаменатель которой равен 72:

1) \frac{2}{3}=\frac{2\cdot 24}{3\cdot 24}=\frac{48}{72}

2) \frac{5}{4}=\frac{5\cdot 18}{4\cdot 18}=\frac{90}{72}

3) \frac{1}{6}=\frac{1\cdot 12}{6\cdot 12}=\frac{12}{72}

4) \frac{8}{9}=\frac{8\cdot 8}{9\cdot 8}=\frac{64}{72}

5) \frac{17}{36}=\frac{17\cdot 2}{36\cdot 2}=\frac{34}{72}

6) \frac{11}{8}=\frac{11\cdot 9}{8\cdot 9}=\frac{99}{72}

197. Запишите:

1) число 3 в виде дроби, знаменатель которой равен 6

3=\frac{3\cdot 6}{1\cdot 6}=\frac{18}{6}

2) число 13 в виде дроби, знаменатель которой равен 5

13=\frac{13\cdot 5}{1\cdot 5}=\frac{65}{5}

3) число 1 в виде дроби, знаменатель которой равен 29

29=\frac{1\cdot 29}{1\cdot 29}=\frac{29}{29}

198. Запишите:

1) число 5 в виде дроби, знаменатель которой равен 8

5=\frac{5\cdot 8}{1\cdot 8}=\frac{40}{8}

2) число 10 и виде дроби, знаменатель которой равен 14

10=\frac{10\cdot 14}{1\cdot 14}=\frac{140}{14}

3) число 16 в виде дроби, знаменатель которой равен 16

16=\frac{16\cdot 16}{1\cdot 16}=\frac{256}{16}

199. Пользуясь основным свойством дроби, найдите значение а, при котором верно равенство:

1) \frac{a}{6}=\frac{9}{54} — равенство будет верно при a = 1, так как  \frac{9}{54}=\frac{9 : 9}{54 : 9}=\frac{1}{6}

2) \frac{7}{a}=\frac{49}{28} — равенство будет верно при a = 4, так как  \frac{49}{28}=\frac{49 : 7}{28 : 7}=\frac{7}{4}

3) \frac{27}{45}=\frac{3}{a} — равенство будет верно при a = 5, так как \frac{27}{45}=\frac{27 : 9}{45 : 9}=\frac{3}{5}

4) \frac{a}{32}=\frac{5}{8} — равенство будет верно при a = 20, так как \frac{5}{8}=\frac{5\cdot 4}{8\cdot 4}=\frac{20}{32}

200. Пользуясь основным свойством дроби, найдите значение a, при котором верно равенство:

1) \frac{a}{5}=\frac{6}{15} — равенство будет верно при a = 2, так как \frac{6}{15}=\frac{6 : 3}{15 : 3}=\frac{2}{5}

2) \frac{1}{12}=\frac{4}{a} — равенство будет верно при a = 48, так как \frac{1}{12}=\frac{1\cdot 4}{12\cdot 4}=\frac{4}{48}

3) \frac{56}{70}=\frac{8}{a} — равенство будет верно при a = 10, так как \frac{56}{70}=\frac{56 : 7}{70 : 7}=\frac{8}{10}

4) \frac{a}{60}=\frac{6}{5} — равенство будет верно при a = 72, так как \frac{6}{5}=\frac{6\cdot 12}{5\cdot 12}=\frac{72}{60}

201. Решите уравнение:

Мерзляк 6 класс - § 7. Основное свойство дроби

202. Решите уравнение:

Мерзляк 6 класс - § 7. Основное свойство дроби

Упражнения для повторения

203. Леденец стоит 16 сольдо. У Буратино есть 20 монет по 10 сольдо. Какое наибольшее количество леденцов может купить Буратино, чтобы продавцу не нужно было давать ему сдачу?

1) Найдём наименьшее общее кратное (НОК) чисел 16 и 10. Для этого разложим данные числа на произведение степеней простых множителей:

  • 10 = 2 • 5
  • 16 = 2^{4}

Значит НОК (10, 16) = 2^{4}\cdot 5 = 16 • 5 = 80.

2) 10 • 20 = 200 (сольдо) — всего у Буратино.

3) Найдём наибольшее число, которое кратно и 16, и 10, и, при этом, меньше 200. Для этого запишем все числа меньшие 200 и кратные 80 (НОК (10, 16)) и выберем наибольшее из них:

  • 80, 160.

Значит наибольшее количество денег, на которое Буратино может купить леденцы без сдачи, это 160 сольдо.

4) 160 : 16 = 10 (шт) — леденцов может купить Буратино без сдачи.

Ответ: 10 шт.

204. Число делится нацело на 2, на 5 и на 9. Каким ещё числам кратно это число?

1) Разложим числа 2, 5 и 9 на простые множители:

  • 2 = 2, так как это простое число;
  • 5 = 5, так как это простое число;
  • 9 = 3²

Значит делителями задуманного числа будут все возможные числа, которые получатся в результате перемножения между собой простых множителей, а также числа 1:

  1. 1 
  2. 2 • 1 = 2
  3. 3 • 1 = 3
  4. 5 • 1 = 5
  5. 2 • 3 = 6
  6. 3 • 3 = 9
  7. 2 • 5 = 10
  8. 5 • 3 = 15
  9. 2 • 3 • 3 = 18
  10. 2 • 3 • 5 = 30
  11. 5 • 3 • 3 = 45
  12. 2 • 3 • 3 • 5 = 90

Ответ: задуманное число кратно числам: 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90.

205. В среднем сердце человека делает 75 ударов в минуту. Сколько ударов делает сердце в течение суток? Сколько литров крови оно перекачивает за 1 мин, если сердце перекачивает за сутки 8 640 л крови?

Мерзляк 6 класс - § 7. Основное свойство дроби

1) 60 • 24 = 1 440 (минут) — в одних сутках.

2) 1 440 • 75 = 108 000 (шт) — ударов делает сердце за 1 сутки.

3) 8 640 : 1 440 = 6 (л) крови перекачивает сердце за 1 минуту.

Мерзляк 6 класс - § 7. Основное свойство дроби

Ответ: 108 000 ударов за сутки, 6 литров крови за минуту.

206. Начертите острый угол ABC. Проведите луч BD так, чтобы угол ABD был прямым, а угол BCD:

1) тупым

  • ∠ABC — острый;
  • ∠ABD — прямой;
  • ∠BCD — тупой.

Мерзляк 6 класс - § 7. Основное свойство дроби

2) острым

  • ∠ABC — острый;
  • ∠ABD — прямой;
  • ∠BCD — острый.

Мерзляк 6 класс - § 7. Основное свойство дроби

207. От пристани отправился теплоход со скоростью 18 км/ч. Через 3 ч после этого от пристани в том же направлении отправился второй теплоход, который догнал первый через 9 ч после своего выхода. Найдите скорость второго теплохода.

Мерзляк 6 класс - § 7. Основное свойство дроби

1) 9 + 3 = 12 (ч) — двигался от пристани до места встречи первый теплоход.

2) 18 • 12 = 216 (км) — расстояние между пристанью и точкой встречи.

3) 216 : 9 = 24 (км/ч) — скорость второго теплохода.

Мерзляк 6 класс - § 7. Основное свойство дроби

Ответ: 24 км/ч.

208. Из одного города в другой со скоростью 60 км/ч выехал автомобиль. Через 3 ч из другого города навстречу ему выехал второй автомобиль. Они встретились через 7 ч после начала движения первого автомобиля. Найдите скорость второго автомобиля, если расстояние между городами равно 700 км.

Мерзляк 6 класс - § 7. Основное свойство дроби

1) 60 • 7 = 420 (км) — проехал до встречи первый автомобиль.

2) 700 — 420 = 280 (км) — проехал до встречи второй автомобиль.

3) 7 — 3 = 4 (ч) — находился в пути второй автомобиль.

4) 280 : 4 = 70 (км/ч) — скорость второго автомобиля.

Ответ: 70 км/ч.

Задача от мудрой совы

209. Па поле размером 10 х 10 клеток для игры в «Морской бой» поставили корабль в прямоугольник размером 1 х 3 клетки. Можно ли, сделав 33 выстрела, наверняка в него попасть?

Мерзляк 6 класс - § 7. Основное свойство дроби

1) 10 • 10 = 100 ( шт) — всего клеток на поле.

2) 100 — 3 = 97 (шт) — клеток не занято кораблём.

3) 3 • 33 = 99 (шт) — клеток — максимальное количество клеток, которое можно поразить за 33 хода (стрелять надо в каждую третью клетку, а не подряд в каждую).

4) 99 > 97 — значит в течении 33 ходов можно наверняка попасть корабль размером в 3 клетки.

Ответ: да, можно.