Мерзляк 6 класс — § 8. Сокращение дробей

Опубликовано автором

Вопросы к параграфу

1. Что называют сокращением дроби?

Сокращением дроби называют деление числителя и знаменателя на их общий делитель, отличный от 1.

2. Какую дробь называют несократимой?

Несократимая дробь — это дробь, у которой числитель и знаменатель являются взаимно простыми числами.

3. На какое число надо сократить дробь, чтобы получилась несократимая дробь?

Чтобы получилась несократимая дробь, надо разделить числитель и знаменатель дроби на их наибольший общий делитель (НОД).

Решаем устно

1. Объясните, почему верно равенство:

1) \frac{2}{7}=\frac{6}{21}

Равенство верно потому, что если умножить числитель и знаменатель первой дроби на число 3, то получиться вторая дробь:

\frac{2}{7}=\frac{2\cdot 3}{7\cdot 3}=\frac{6}{21}

2) \frac{30}{36}=\frac{5}{6}

Равенство верно потому, что если разделить числитель и знаменатель первой дроби на число 6, то получиться вторая дробь:

\frac{30}{36}=\frac{30 :6}{36:6}=\frac{5}{6}

2. Сколько двенадцатых частей:

1) в \frac{1}{4}  — три двенадцатых части, так как \frac{1}{4}=\frac{1\cdot 3}{4\cdot 3}=\frac{3}{12};

2) в \frac{1}{3} — четыре двенадцатых части, так как \frac{1}{3}=\frac{1\cdot 4}{3\cdot 4}=\frac{4}{12};

3) в \frac{3}{4}— девять двенадцатых частей, так как \frac{3}{4}=\frac{3\cdot 3}{4\cdot 3}=\frac{9}{12};

4) в \frac{5}{6}— десять двенадцатых частей, так как \frac{5}{6}=\frac{5\cdot 2}{6\cdot 2}=\frac{10}{12};

5) в \frac{3}{2}— восемнадцать двенадцатых частей, так как \frac{3}{2}=\frac{3\cdot 6}{2\cdot 6}=\frac{18}{12}.

3. Сколько сотых частей:

1) в \frac{1}{10}  — десять сотых части, так как \frac{1}{10}=\frac{1\cdot 10}{10\cdot 10}=\frac{10}{100};

2) в \frac{3}{20} — пятнадцать сотых части, так как \frac{3}{20}=\frac{3\cdot 5}{20\cdot 5}=\frac{15}{100};

3) в \frac{7}{25}— двадцать восемь сотых частей, так как \frac{7}{25}=\frac{7\cdot 4}{25\cdot 4}=\frac{28}{100};

4) в \frac{23}{50}— двадцать шесть сотых частей, так как \frac{23}{50}=\frac{23\cdot 2}{50\cdot 2}=\frac{26}{100};

5) в \frac{124}{200}— шестьдесят две сотых частей, так как \frac{124}{200}=\frac{124:2}{200:2}=\frac{62}{100}.

4. Какую часть года составляет:

Мы знаем, что всего в году 12 месяцев. Значит:

1) 1 месяц — это \frac{1}{12} часть года.

2) 2 месяца — это \frac{2}{12}=\frac{2:2}{12:2}=\frac{1}{6} часть года.

3) 6 месяцев — это \frac{6}{12}=\frac{6:6}{12:6}=\frac{1}{2} часть года.

5. Сколько граммов составляет:

Мы знаем, что 1 кг = 1 000 грамм.

1) \frac{1}{2} кг = 1 000 : 2 = 500 г;

2) \frac{1}{4} кг = 1 000 : 4 = 250 г;

3) \frac{1}{8} кг = 1 000 : 8 = 125 г;

4) \frac{2}{5} кг = 1 000 : 5 • 2 = 200 •2 = 400 г

6. Сократимой или несократимой дробью является значение выражения \frac{4563}{10^{3}-1}?

1) Сумма цифр числителя дроби 4 563 равна 4 + 5 + 6 + 3 = 18. Это число делится нацело на 9. Значит числитель нацело делится на 9.

2) Знаменатель дроби 10³ — 1 = 1 000 — 1 = 999. Сумма цифр этого числа 9 + 9 + 9 = 27. Значит и знаменатель нацело делится на 9.

3) Если и числитель, и знаменатель можно нацело поделить на одно и то же число, то дробь является сократимой.

Ответ: да, выражение сократимо.

Упражнения

210. Сократите дробь:

1) \frac{5}{15}=\frac{5:5}{15:5}=\frac{1}{3}

2) \frac{6}{20}=\frac{6:2}{20:2}=\frac{3}{10}

3) \frac{14}{35}=\frac{14:7}{35:7}=\frac{2}{5}

4) \frac{21}{39}=\frac{21:3}{39:3}=\frac{7}{13}

5) \frac{10}{60}=\frac{10:10}{60:10}=\frac{1}{6}

6) \frac{28}{84}=\frac{28:28}{84:28}=\frac{1}{3}

7) \frac{56}{72}=\frac{56:8}{72:8}=\frac{7}{9}

8) \frac{20}{25}=\frac{20:5}{25:5}=\frac{4}{5}

9) \frac{120}{180}=\frac{120:60}{180:60}=\frac{2}{3}

10) \frac{207}{243}=\frac{207:9}{243:9}=\frac{23}{27}

211. Сократите дробь:

1) \frac{3}{12}=\frac{3:3}{12:3}=\frac{1}{4}

2) \frac{4}{12}=\frac{4:4}{12:4}=\frac{1}{3}

3) \frac{6}{54}=\frac{6:6}{54:6}=\frac{1}{9}

4) \frac{25}{70}=\frac{25:5}{70:5}=\frac{5}{14}

5) \frac{26}{65}=\frac{26:13}{65:13}=\frac{2}{5}

6) \frac{12}{60}=\frac{12:12}{60:12}=\frac{1}{5}

7) \frac{36}{48}=\frac{36:12}{48:12}=\frac{3}{4}

8) \frac{35}{105}=\frac{35:35}{105:35}=\frac{1}{3}

9) \frac{480}{720}=\frac{480:240}{720:240}=\frac{2}{3}

10) \frac{204}{306}=\frac{204:102}{306:102}=\frac{2}{3}

212. Какие из дробей \frac{11}{12}, \frac{7}{42}, \frac{9}{111}, \frac{5}{42}, \frac{12}{68}, \frac{13}{36} несократимы?

\frac{11}{12} — несократимая дробь, так как у числителя и знаменателя нет общих делителей, кроме единицы.

\frac{7}{42} — сократимая дробь, так как и числитель, и знаменатель можно разделить на 7.

\frac{9}{111} — сократимая дробь, так как и числитель, и знаменатель можно разделить на 3.

\frac{5}{42} — несократимая дробь, так как у числителя и знаменателя нет общих делителей, кроме единицы.

\frac{12}{68} — сократимая дробь, так как и числитель, и знаменатель можно разделить на 4.

\frac{13}{36} — несократимая дробь, так как у числителя и знаменателя нет общих делителей, кроме единицы.

Ответ: несократимыми являются дроби: \frac{11}{12}, \frac{5}{42}, \frac{13}{36}.

213. Найдите среди дробей \frac{15}{25}, \frac{24}{99}, \frac{28}{45}, \frac{26}{51}, \frac{16}{42}, \frac{22}{69} несократимые.

\frac{15}{25} — сократимая дробь, так как и числитель, и знаменатель можно разделить на 5.

\frac{24}{99} — сократимая дробь, так как и числитель, и знаменатель можно разделить на 3.

\frac{28}{45} — несократимая дробь, так как у числителя и знаменателя нет общих делителей, кроме единицы.

\frac{26}{51} — несократимая дробь, так как у числителя и знаменателя нет общих делителей, кроме единицы.

\frac{16}{42} — сократимая дробь, так как и числитель, и знаменатель можно разделить на 2.

\frac{22}{69} — несократимая дробь, так как у числителя и знаменателя нет общих делителей, кроме единицы.

Ответ: несократимыми являются дроби: \frac{28}{45}, \frac{26}{51}, \frac{22}{69}.

214. Запишите десятичную дробь к виде обыкновенной дроби и результат, если возможно, сократите:

1) 0,4=\frac{4}{10}=\frac{4:2}{10:2}=\frac{2}{5}

2) 0,5=\frac{5}{10}=\frac{5:5}{10:5}=\frac{1}{2}

3) 0,12=\frac{12}{100}=\frac{12:4}{100:4}=\frac{3}{25}

4) 0,84=\frac{84}{100}=\frac{84:4}{100:4}=\frac{21}{25}

5) 0,16=\frac{16}{100}=\frac{16:4}{100:4}=\frac{4}{25}

6) 0,59=\frac{59}{100}

7) 0,128=\frac{128}{1000}=\frac{128:8}{1000:8}=\frac{16}{125}

8) 0,96=\frac{96}{100}=\frac{96:4}{100:4}=\frac{24}{25}

9) 0,2348=\frac{2348}{10000}=\frac{2348:4}{10000:4}=\frac{587}{2500}

10) 0,975=\frac{975}{1000}=\frac{975:25}{1000:25}=\frac{39}{40}

215. Найдите среди данных дробей равные между собой. Запишите соответствующие равенства.

1) \frac{44}{56}, \frac{1}{2}, \frac{5}{10}, \frac{11}{14}, \frac{16}{32}

\frac{44}{56}=\frac{11}{14}, так как \frac{44}{56}=\frac{44:4}{56:4}=\frac{11}{14}

\frac{1}{2}=\frac{5}{10}=\frac{16}{32}, так как \frac{1}{2}=\frac{1\cdot 5}{2\cdot 5}=\frac{5}{10} и \frac{1}{2}=\frac{1\cdot 16}{2\cdot 16}=\frac{16}{32}

2) \frac{5}{4}, \frac{81}{99}, \frac{27}{33}, \frac{20}{16}, \frac{35}{28}

\frac{5}{4}=\frac{20}{16}=\frac{35}{28}, так как \frac{5}{4}=\frac{5\cdot 4}{4\cdot 4}=\frac{20}{16} и \frac{5}{4}=\frac{5\cdot 7}{4\cdot 7}=\frac{35}{28}

\frac{81}{99}=\frac{27}{33}, так как \frac{81}{99}=\frac{81:3}{99:3}=\frac{27}{33}

216. Найдите среди дробей \frac{24}{27}, \frac{1}{10}, \frac{6}{60}, \frac{8}{9}, \frac{40}{45} равные между собой и запишите соответствующие равенства.

\frac{24}{27}=\frac{8}{9}=\frac{40}{45}, так как \frac{24}{27}=\frac{24:3}{27:3}=\frac{8}{9} и \frac{40}{45}=\frac{40:5}{45:5}=\frac{8}{9}

\frac{1}{10}=\frac{6}{60}, так как \frac{1}{10}=\frac{1\cdot 6}{10\cdot 6}=\frac{6}{60}

217. Какую часть часа составляют:

1 час = 60 минут. Значит:

1) 4 мин = \frac{1}{15} часа, так как  \frac{4}{60}=\frac{4:4}{60:4}=\frac{1}{15} 

2) 10 мин = \frac{1}{6} часа, так как \frac{10}{60}=\frac{10:10}{60:10}=\frac{1}{6} 

3) 36 мин = \frac{3}{5} часа, так как \frac{36}{60}=\frac{36:12}{60:12}=\frac{3}{5} 

4) 54 мин = \frac{9}{10} часа, так как \frac{54}{60}=\frac{54:6}{60:6}=\frac{9}{10} 

5) 72 мин = \frac{6}{5} часа, так как \frac{72}{60}=\frac{72:12}{60:12}=\frac{6}{5} 

218. Какую часть суток составляют:

1 сутки = 24 часа. Значит:

1) 3 ч = \frac{1}{8} суток, так как \frac{3}{24}=\frac{3:3}{24:3}=\frac{1}{8} 

2) 8 ч = \frac{1}{3} суток, так как \frac{8}{24}=\frac{8:8}{24:8}=\frac{1}{3} 

3) 12 ч = \frac{1}{2} суток, так как \frac{12}{24}=\frac{12:12}{24:12}=\frac{1}{2} 

4) 16 ч = \frac{2}{3} суток, так как \frac{16}{24}=\frac{16:8}{24:8}=\frac{2}{3} 

5) 21 ч = \frac{7}{8} суток, так как \frac{21}{24}=\frac{21:3}{24:3}=\frac{7}{8} 

219. Какую часть развёрнутого угла составляет угол, градусная мера которого равна:

Развёрнутый угол составляет 180°. Значит:

1) 4° = \frac{1}{45} части развёрнутого угла, так как \frac{4}{180}=\frac{4:4}{180:4}=\frac{1}{45} 

2) 12° = \frac{1}{15} части развёрнутого угла, так как \frac{12}{180}=\frac{12:12}{180:12}=\frac{1}{15} 

3) 27° = \frac{3}{20} части развёрнутого угла, так как \frac{27}{180}=\frac{27:9}{180:9}=\frac{3}{20} 

4) 126° = \frac{7}{10} части развёрнутого угла, так как \frac{126}{180}=\frac{126:18}{180:18}=\frac{7}{10} 

5) 153° = \frac{17}{20} части развёрнутого угла, так как \frac{153}{180}=\frac{153:9}{180:9}=\frac{17}{20} 

220. Какую часть прямого угла составляет угол, градусная мера которого равна:

Прямой угол составляет 90°. Значит:

1) 2° = \frac{1}{45} части прямого угла, так как \frac{2}{90}=\frac{2:2}{90:2}=\frac{1}{45} 

2) 15° = \frac{1}{6} части прямого угла, так как \frac{15}{90}=\frac{15:15}{90:15}=\frac{1}{6} 

3) 36° = \frac{2}{5} части прямого угла, так как \frac{36}{90}=\frac{36:18}{90:18}=\frac{2}{5} 

4) 75° = \frac{5}{6} части прямого угла, так как \frac{75}{90}=\frac{75:15}{90:15}=\frac{5}{6} 

5) 54° = \frac{3}{5} части прямого угла, так как \frac{54}{90}=\frac{54:18}{90:18}=\frac{3}{5} 

221. Выполните действие и сократите результат:

1) \frac{7}{12}+\frac{3}{12}=\frac{7+3}{12}=\frac{10}{12}=\frac{10:2}{12:2}=\frac{5}{6}

2) \frac{32}{39}-\frac{6}{39}=\frac{32-6}{39}=\frac{26}{39}=\frac{26:13}{39:13}=\frac{2}{3}

3) 4\frac{17}{45}+3\frac{13}{45}=\left (4+3 \right )+\frac{17+13}{45}=7+\frac{30}{45}=7+\frac{30:15}{45:15}=7\frac{2}{3}

4) 9\frac{59}{63}-5\frac{24}{63}=(9-5)+\frac{59-24}{63}=4+\frac{35}{63}=4+\frac{35:7}{63:9}=4\frac{5}{9}

222. Выполните действие и сократите результат:

1) \frac{16}{63}+\frac{12}{63}=\frac{16+12}{63}=\frac{28}{63}=\frac{28:7}{63:7}=\frac{4}{9}

2) \frac{53}{85}-\frac{19}{85}=\frac{53-19}{85}=\frac{34}{85}=\frac{34:17}{85:17}=\frac{2}{5}

3) 8\frac{34}{81}+2\frac{38}{81}=\left (8+2 \right )+\frac{34+38}{81}=10+\frac{72}{81}=10+\frac{72:9}{81:9}=10\frac{8}{9}

4) 3\frac{49}{56}-3\frac{17}{56}=(3-3)+\frac{49-17}{56}=0+\frac{32}{56}=\frac{32:8}{56:8}=\frac{4}{7}

223. Запишите все правильные несократимые дроби со знаменателем 18.

Для того, чтобы дробь со знаменателем 18 была несократимой, надо подобрать такой числитель, который будет взаимно простым числом с 18. При этом числитель должен быть меньше числа 18, чтобы дробь была правильной.

\frac{1}{18}, \frac{5}{18}, \frac{7}{18}, \frac{11}{18}, \frac{13}{18}, \frac{17}{18}.

224. Запишите все неправильные несократимые дроби с числителем 20.

Для того, чтобы дробь с числителем 20 была несократимой, надо подобрать такой знаменатель, который будет взаимно простым числом с 20. При этом знаменатель должен быть меньше или равен числу 20, чтобы дробь была неправильной.

\frac{20}{1}, \frac{20}{3}, \frac{20}{7}, \frac{20}{9}, \frac{20}{11}, \frac{20}{13}, \frac{20}{17}, \frac{20}{19}.

225. Сократите:

Мерзляк 6 класс - § 8. Сокращение дробей

226. Сократите:

Мерзляк 6 класс - § 8. Сокращение дробей

227. Сократите (буквами обозначены натуральные числа):

Мерзляк 6 класс - § 8. Сокращение дробей

228. Дробь \frac{x}{6} сократили на 2 и получили дробь \frac{2}{y}. Найдите значения x и y.

Условие задачи можно записать так:

\frac{x}{6}=\frac{x:2}{6:2}=\frac{2}{y}

У равных дробей числители и знаменатели равны между собой. Можно составить уравнения:

х : 2 = 2
х = 2 • 2
х = 4

6 : 2 = y
y = 6 : 2
y = 3

Ответ: х = 4, y = 3.

229. После сокращении дроби \frac{21}{a} на 3 получили дробь \frac{b}{4} . Найдите значения а и b.

Условие задачи можно записать так:

\frac{21}{a}=\frac{21:3}{a:3}=\frac{b}{4}

У равных дробей числители и знаменатели равны между собой. Можно составить уравнения:

21 : 3 = b
b = 21 : 3
b = 7

a : 3 = 4
a = 4 • 3
a = 12

Ответ: a = 12, b = 7.

Упражнения для повторения

230. Запишите, используя каждую цифру от 0 до 9 только один раз:

1) наименьшее число, кратное 2:

1 023 456 798 — Это число чётное, а значит оно кратно 2. 

2) наибольшее число, кратное 18.

9 876 543 210 — Это число чётное, а значит оно кратно 2. Кроме того, сумма чисел данного числа делится на 9, то есть число кратно 9. Значит число кратно и числу 18, так как 2 • 9 = 18.

231. К какому числу надо прибавить 5,7, чтобы произведение полученной суммы и числа 3,6 было равно 120,6?

Пусть х — неизвестное число. Составим и решим уравнение:

Мерзляк 6 класс - § 8. Сокращение дробей

Ответ: Неизвестное число равно 27,8.

232. Из какого числа надо вычесть 3,8, чтобы произведение полученной разности и числа 5,5 было равно 34,1?

Пусть х — неизвестное число. Составим и решим уравнение:

Мерзляк 6 класс - § 8. Сокращение дробей

Ответ: Неизвестное число равно 10.

Готовимся к изучению новой темы

233. Расположите в порядке возрастания дроби: \frac{9}{19}, \frac{1}{19}, \frac{16}{19}, \frac{5}{19}, \frac{14}{19}, \frac{10}{19}.

\frac{1}{19}, \frac{5}{19}, \frac{9}{19}, \frac{10}{19}, \frac{14}{19}, \frac{16}{19}.

234. Сравните:

1) \frac{10}{21}> \frac{8}{21}, так как знаменатели дробей одинаковы, а числитель первой дроби больше, чем числитель второй дроби.

2) \frac{8}{19}< \frac{8}{9}, так как числители дробей одинаковы, а знаменатель первой дроби больше, чем знаменатель второй дроби.

3) \frac{4}{7}< 1, так как  \frac{4}{7} — это правильная дробь, а правильная дробь всегда меньше единицы.

4) \frac{7}{4} < 1, так как  \frac{7}{4} — это неправильная дробь, а неправильная дробь может быть только больше либо равна единицы, но наша дробь не равна единице, то есть она больше 1.

5) 1> \frac{11}{15}, так как  \frac{11}{15} — это правильная дробь, а правильная дробь всегда меньше единицы.

6) \frac{11}{15}< \frac{15}{11}, так первая дроби правильная, а вторая — неправильная, а правильная дробь всегда меньше неправильной.

7) 2> \frac{5}{3}, так как \frac{5}{3}=1\frac{2}{3} , а единица с правильной дробью всегда меньше, чем 2 целых.

8) 2< \frac{7}{3}, так как \frac{7}{3}=2\frac{1}{3} , а две целых с правильной дробью всегда больше, чем 2 целых.

Задача от мудрой совы

235. Из старинной книги выпала часть страниц, идущих подряд. Первая выпавшая страница имеет номер 251, а номер последней записан теми же цифрами в другом порядке. Какой номер последней выпавшей страницы?

  • Теми же цифрами можно записать только 2 трёхзначных числа, больших, чем 251. Это числа: 512 и 521.
  • Номер страницы 251 — это нечётный номер, значит на обратной стороне листа будет располагаться чётный номер.
  • На последнем выпавшем листе также будет располагаться две страницы — первая с нечётным номером, а вторая (она же и последняя выпавшая страница) — с чётным.
  • Значит последняя выпавшая страница будет обозначена чётным номером. Это число 512.

Ответ: номер последней выпавшей страницы — 512.